第三单元 多位数乘两位数（用计算器探索规律）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学四年级上册（新教材）

第三单元 多位数乘两位数（用计算器探索规律）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、计算器的基本使用 计算器是大数计算和规律探索的常用工具，能快速、准确地完成复杂计算，把精力放在发现规律上。 1. 常用按键功能 　　- ON/C：开机键，也可清除当前屏幕的计算内容； 　　- OFF：关机键； 　　- 数字键0~9：输入计算的数字； 　　- 运算符号键＋－×÷：选择运算类型； 　　- ＝：按下后得出最终计算结果。 2. 计算步骤：按ON/C开机 → 依次输入第一个数 → 按运算符号键 → 输入第二个数 → 按＝键，屏幕显示的数就是结果。 3. 适用场景：多位数大数计算、验证计算结果、探索算式规律。 二、探索规律的一般步骤 用计算器探索规律，遵循"算→观→猜→验"四步流程： 1. 计算：用计算器算出前3~4个简单算式的结果； 2. 观察：对比因数的特征、积的数字变化，找出共同的规律； 3. 猜想：根据发现的规律，直接写出后续复杂算式的结果； 4. 验证：用计算器计算猜想的结果，检验规律是否正确。 三、小学阶段经典乘法规律 1. 回文数规律（全1因数相乘） 两个因数完全相同，且都只由数字1组成，它们的积是回文数（从左往右读和从右往左读完全一样）。 ● 规律：因数有n个1（n≤9），积的数字就从1开始依次递增到n，再依次递减回到1。 ● 示例：（3个1相乘，中间最大数字是3） 2. 全9数乘法规律 由若干个9组成的多位数乘一位数，积的数字呈现固定规律： ● 积的首位数字 = 一位数 - 1； ● 中间全是数字9，9的个数 = 原9的个数 - 1； ● 积的末位数字 = 10 - 一位数。 ● 示例：（4个9乘2，首位1，中间2个9，末位8） 3. 缺8数规律 （数字1~9中唯独缺少8，称为"缺8数"）乘9的倍数，结果是9个完全相同的数字。 ● 乘9得9个1，乘18得9个2，乘27得9个3…… ● 本质：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几，和积的变化规律一致。 四、规律探索的核心思想 从简单算式入手，通过归纳推理发现普遍规律，再运用规律解决复杂计算，体现了"从简单到复杂、从特殊到一般"的数学思想。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：四步探索法 【解题思路】 探索未知算式的规律，严格按照"计算—观察—猜想—验证"四步走，先算简单算式，再总结共性规律，最后推广验证。 【操作步骤】 第一步：用计算器算出前3个算式的结果； 第二步：对比因数和积的变化，圈出相同点和变化点； 第三步：总结规律，写出后续算式的结果； 第四步：用计算器验算1~2个，确认规律正确。 【易错提升】 ● 易错点：只算1个算式就总结规律，规律不具有普遍性。 　　→ 规避技巧：至少计算3个算式，再归纳规律，避免偶然巧合。 方法点拨2：特征定位法 【解题思路】 快速识别规律，重点看三个特征：因数的数字特征、积的首尾数字、积的中间数字，三个维度对应就能快速锁定规律类型。 【操作步骤】 第一步：看因数是全1、全9还是特殊固定数； 第二步：看积的首位和末位数字的变化规律； 第三步：看中间数字是重复、递增还是对称。 【易错提升】 ● 易错点：只看中间不看首尾，或者只看首尾不看位数。 　　→ 规避技巧：首尾、中间、位数三个维度都检查，完全符合才是对应规律。 方法点拨3：规律应用法 【解题思路】 运用规律直接写结果，不用逐位计算，核心是对应好倍数和位置，直接套用规律。 【操作步骤】 第一步：判断算式符合哪条已知规律； 第二步：对应规律的特征，写出完整结果； 第三步：检查位数、首尾、中间是否符合规律。 【易错提升】 ● 易错点：倍数对应错误，比如缺8数乘36，误以为结果是9个3。 　　→ 规避技巧：先算第二个因数是9的几倍，结果就是9个几。 【第三部分】考点讲练 考点一：计算器的基本使用 考查重点：掌握计算器的操作方法，能正确计算多位数乘两位数。 【典例精讲】 题目：用计算器计算下面各题。 （1） （2） （3） 【变式训练】 题目：用计算器计算，判断结果是否正确，对的画"√"，错的画"×"并改正。 （1）（　） （2）（　） 考点二："全1数"相乘的回文规律 考查重点：发现全1因数相乘的回文规律，能根据规律直接写出结果。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再直接写出第4题的结果。 【变式训练】 题目：根据上面的规律，直接写出下面算式的结果。 考点三："全9数"相乘的规律 考查重点：发现多个9组成的数乘一位数的规律，能快速写出计算结果。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再直接写出后面的结果。 【变式训练】 题目：根据规律，直接写出的结果。 考点四："缺8数"的乘法规律 考查重点：认识缺8数，发现缺8数乘9的倍数的规律，能运用规律计算。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再填空。 【变式训练】 题目：用规律计算： 考点五：规律的综合应用 考查重点：能综合运用多种规律，解决复杂的计算和填空问题。 【典例精讲】 题目：不计算，根据规律直接比较大小。 ○ ○ 【变式训练】 题目：找规律填数： （　） （　）（　） 【第四部分】专项提升练习 1．填一填，并用计算器验证结果。 (1)99×33＝3267，999×333＝332667，9999×3333＝33326667，99999×33333＝( )，999999×333333＝( )。 (2)11×11＝121，11×22＝242，11×33＝363，11×44＝( )，11×77＝( )。 (3)123×11＝1353，234×11＝2574，345×11＝3795，456×11＝( )，567×11＝( )。 2．先用计算器计算出前三题的得数，再按照规律填一填。 123456789×9＝( )      123456789×18＝( ) 123456789×27＝( )     123456789×( )＝( ) ( )×45＝( )              ( )×( )＝( ) 3．找规律，填一填，并用计算器检验。 1×9＋1×2＝11             12×18＋2×3＝222           123×27＋3×4＝3333 1234×( )＋4×5＝44444    ( )×45＋5×( )＝555555 4．认真观察左边三个算式的特点，直接写出右边两个算式的得数。           ( )       ( ) 5．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 3×9＝( )        33×99＝( )        333×999＝( ) 3333×9999＝( )          3333333×9999999＝( ) 6．小华在计算器上发现一个有趣的现象。 1999.998÷9＝222.222 2999.997÷9＝333.333 3999.996÷9＝444.444 按照这个规律，4999.995÷9＝( )。 ( )÷9＝888.888。 7．按规律填一填。 44×99＝4356     444×999＝443556     4444×9999＝( ) 如果A×999999＝444443555556，那么A＝( )。 8．先观察前面三个算式，找出规律后再填一填。 19＋9×9＝100 118＋98×9＝1000 1117＋987×9＝10000 11116＋9876×9＝( ) ( )＋( )×9＝1000000 9．请仔细观察下面含有“缺8数”的算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 … ( )×( )＝777777777 10．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 1111×11＝( ) 1111×12＝( ) 1111×13＝( ) 1111×14＝( ) 1111×15＝( ) 11．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 21×9＝( ) 321×9＝( ) 4321×9＝( ) 54321×9＝( ) 654321×9＝( ) 12．找规律填空。 (1)9×9＝81                             98×9＝882                                 987×9＝8883                                 9876×9＝( )                             987654×9＝( ) (2)1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝( ) 1234567×8＋7＝( ) 13．先用计算器计算前三题的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 5×5＝______ 95×95＝______ 995×995＝______ 9995×9995＝______ 99995×99995＝______ 999995×999995＝______ 9999995×9999995＝______ 14．先用计算器算出前三个算式的得数,再根据规律直接写出后面算式的数。                          15．先用计算器算出前五题的得数，再直接填出后两题横线上的数．(从上到下填写) 9×6＝________ 99×96＝________ 999×996＝________ 9999×9996＝________ 99999×99996＝________ 999999×999996＝________ 9999999×9999996＝________ 16．用计算器计算． 9＋9×9＝ 18＋98×9＝ 117＋987×9＝ 1116＋9876×9＝ 根据你发现的规律，直接写出下题的结果． 11115＋98765×9＝ 17．用计算器探索规律． 先用计算器算出前四个算式，再根据规律直接写出其他算式的得数． 1×8＋1＝ 12×8＋2＝ 123×8＋3＝ 1234×8＋4＝ 12345×8＋5＝ 123456×8＋6＝ 1234567×8＋7＝ 18．计算 9×9-1= 98×9-2= 987×9-3= 9876×9-4= 98765×9-5= 987654×9-6= 19．请找出下列算式的规律，并直接写出最后一个算式的结果。 1×9×123456789＝ 2×9×123456789＝ 3×9×123456789＝ 4×9×123456789＝ 20．用计算器验算下面等式是否成立。 12×462＝264×21 42×132＝231×24 96×253＝352×69 93×286＝682×39 像上面这样的等式叫回文式。你还能写出两位数与三位相乘的回文式吗？ 回文式： 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多位数乘两位数（用计算器探索规律）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、计算器的基本使用 计算器是大数计算和规律探索的常用工具，能快速、准确地完成复杂计算，把精力放在发现规律上。 1. 常用按键功能 　　- ON/C：开机键，也可清除当前屏幕的计算内容； 　　- OFF：关机键； 　　- 数字键0~9：输入计算的数字； 　　- 运算符号键＋－×÷：选择运算类型； 　　- ＝：按下后得出最终计算结果。 2. 计算步骤：按ON/C开机 → 依次输入第一个数 → 按运算符号键 → 输入第二个数 → 按＝键，屏幕显示的数就是结果。 3. 适用场景：多位数大数计算、验证计算结果、探索算式规律。 二、探索规律的一般步骤 用计算器探索规律，遵循"算→观→猜→验"四步流程： 1. 计算：用计算器算出前3~4个简单算式的结果； 2. 观察：对比因数的特征、积的数字变化，找出共同的规律； 3. 猜想：根据发现的规律，直接写出后续复杂算式的结果； 4. 验证：用计算器计算猜想的结果，检验规律是否正确。 三、小学阶段经典乘法规律 1. 回文数规律（全1因数相乘） 两个因数完全相同，且都只由数字1组成，它们的积是回文数（从左往右读和从右往左读完全一样）。 ● 规律：因数有n个1（n≤9），积的数字就从1开始依次递增到n，再依次递减回到1。 ● 示例：（3个1相乘，中间最大数字是3） 2. 全9数乘法规律 由若干个9组成的多位数乘一位数，积的数字呈现固定规律： ● 积的首位数字 = 一位数 - 1； ● 中间全是数字9，9的个数 = 原9的个数 - 1； ● 积的末位数字 = 10 - 一位数。 ● 示例：（4个9乘2，首位1，中间2个9，末位8） 3. 缺8数规律 （数字1~9中唯独缺少8，称为"缺8数"）乘9的倍数，结果是9个完全相同的数字。 ● 乘9得9个1，乘18得9个2，乘27得9个3…… ● 本质：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几，和积的变化规律一致。 四、规律探索的核心思想 从简单算式入手，通过归纳推理发现普遍规律，再运用规律解决复杂计算，体现了"从简单到复杂、从特殊到一般"的数学思想。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：四步探索法 【解题思路】 探索未知算式的规律，严格按照"计算—观察—猜想—验证"四步走，先算简单算式，再总结共性规律，最后推广验证。 【操作步骤】 第一步：用计算器算出前3个算式的结果； 第二步：对比因数和积的变化，圈出相同点和变化点； 第三步：总结规律，写出后续算式的结果； 第四步：用计算器验算1~2个，确认规律正确。 【易错提升】 ● 易错点：只算1个算式就总结规律，规律不具有普遍性。 　　→ 规避技巧：至少计算3个算式，再归纳规律，避免偶然巧合。 方法点拨2：特征定位法 【解题思路】 快速识别规律，重点看三个特征：因数的数字特征、积的首尾数字、积的中间数字，三个维度对应就能快速锁定规律类型。 【操作步骤】 第一步：看因数是全1、全9还是特殊固定数； 第二步：看积的首位和末位数字的变化规律； 第三步：看中间数字是重复、递增还是对称。 【易错提升】 ● 易错点：只看中间不看首尾，或者只看首尾不看位数。 　　→ 规避技巧：首尾、中间、位数三个维度都检查，完全符合才是对应规律。 方法点拨3：规律应用法 【解题思路】 运用规律直接写结果，不用逐位计算，核心是对应好倍数和位置，直接套用规律。 【操作步骤】 第一步：判断算式符合哪条已知规律； 第二步：对应规律的特征，写出完整结果； 第三步：检查位数、首尾、中间是否符合规律。 【易错提升】 ● 易错点：倍数对应错误，比如缺8数乘36，误以为结果是9个3。 　　→ 规避技巧：先算第二个因数是9的几倍，结果就是9个几。 【第三部分】考点讲练 考点一：计算器的基本使用 考查重点：掌握计算器的操作方法，能正确计算多位数乘两位数。 【典例精讲】 题目：用计算器计算下面各题。 （1） （2） （3） 【分析】 按照计算器的操作步骤，依次输入数字和运算符号，按等号得出结果，注意因数中间有0的要准确输入。 【详解】 （1）按ON/C开机，输入136，按×，输入28，按＝，屏幕显示3808。 （2）输入205，按×，输入42，按＝，屏幕显示8610。 （3）输入125，按×，输入88，按＝，屏幕显示11000。 【答案】（1）3808；（2）8610；（3）11000 【变式训练】 题目：用计算器计算，判断结果是否正确，对的画"√"，错的画"×"并改正。 （1）（　） （2）（　） 【分析】 用计算器重新计算两个算式，和给出的结果对比，判断对错并改正错误。 【详解】 （1），和计算结果一致，正确。 （2），原题结果7550错误。 【答案】（1）√；（2）×，改正： 考点二："全1数"相乘的回文规律 考查重点：发现全1因数相乘的回文规律，能根据规律直接写出结果。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再直接写出第4题的结果。 【分析】 先用计算器算出前三个算式的积，观察发现：两个因数相同且都由1组成，积是对称的回文数，数字从1递增到因数的位数，再递减回到1。 【详解】 计算前3题： 规律：n个1乘n个1，积的数字从1依次升到n，再依次降到1，呈左右对称。 所以 【答案】1；121；12321；1234321 【变式训练】 题目：根据上面的规律，直接写出下面算式的结果。 【分析】 根据回文规律：5个1相乘，中间最大数字是5；9个1相乘，中间最大数字是9，数字依次对称排列。 【详解】 5个1相乘，数字从1到5再回到1： 9个1相乘，数字从1到9再回到1： 【答案】123454321；12345678987654321 考点三："全9数"相乘的规律 考查重点：发现多个9组成的数乘一位数的规律，能快速写出计算结果。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再直接写出后面的结果。 【分析】 计算前三个算式，观察积的特征：4个9乘一位数，积是五位数，首位比一位数少1，末位和一位数相加得10，中间三个数字都是9。 【详解】 计算前3题： 规律：4个9乘一位数n（n＞1），积的首位 = n-1，末位 = 10-n，中间3个9。 所以： 【答案】9999；19998；29997；49995；89991 【变式训练】 题目：根据规律，直接写出的结果。 【分析】 5个9乘一位数，积是六位数，首位=6-1=5，末位=10-6=4，中间4个数字都是9。 【详解】 ，首位5，中间4个9，末位4，结果是。 【答案】599994 考点四："缺8数"的乘法规律 考查重点：认识缺8数，发现缺8数乘9的倍数的规律，能运用规律计算。 【典例精讲】 题目：先用计算器计算前3题，找出规律，再填空。 【分析】 计算前三个算式，发现规律：缺8数乘9的几倍，结果就是9个几。18是9的2倍，积是9个2；27是9的3倍，积是9个3。 【详解】 计算前3题： 规律：缺8数乘9的n倍，结果是9个n。 45是9的5倍，所以 结果是9个7，说明n=7，，所以 【答案】111111111；222222222；333333333；555555555；63 【变式训练】 题目：用规律计算： 【分析】 先算72是9的几倍，结果就是9个几。 【详解】 ，所以结果是9个8，即。 【答案】888888888 考点五：规律的综合应用 考查重点：能综合运用多种规律，解决复杂的计算和填空问题。 【典例精讲】 题目：不计算，根据规律直接比较大小。 ○ ○ 【分析】 第一组：一个因数不变，另一个因数越大，积越大； 第二组：全1数相乘，因数的位数越多，积越大。 【详解】 都有因数9999，，所以； 5个1相乘的积是123454321，4个1相乘的积是1234321，位数多的积大，所以。 【答案】＜；＞ 【变式训练】 题目：找规律填数： （　） （　）（　） 【分析】 观察规律：第一个因数从9开始依次在末尾加递减的数字，加的数依次减1，结果依次多一个8。 【详解】 第一个因数到987654，加2时： 【答案】88888；987654；8888888 【第四部分】专项提升练习 1．填一填，并用计算器验证结果。 (1)99×33＝3267，999×333＝332667，9999×3333＝33326667，99999×33333＝( )，999999×333333＝( )。 (2)11×11＝121，11×22＝242，11×33＝363，11×44＝( )，11×77＝( )。 (3)123×11＝1353，234×11＝2574，345×11＝3795，456×11＝( )，567×11＝( )。 【答案】(1) 3333266667 333332666667 (2) 484 847 (3) 5016 6237 【分析】1．观察已知算式：2个9乘2个3，积为3267，包含1个3、1个2、1个6、1个7；3个9乘3个3，积为332667，包含2个3、1个2、2个6、1个7；4个9乘4个3，积为33326667，包含3个3、1个2、3个6、1个7；所以规律为：n个9乘n个3，积的组成是（n－1）个3、1个2、（n－1）个6、1个7，按顺序排列即可。 2．观察已知算式，可得规律为：11乘11的a倍，积就是121的a倍，也可表示为积的百位和个位都是a，十位是2a。 3．观察已知算式可得规律为：三位数乘11，积的千位是三位数的百位数字，积的个位是三位数的个位数字，积的百位是三位数百位与十位数字的和，积的十位是三位数十位与个位数字的和，相加满十则向前一位进1。 【详解】（1）5个9乘5个3，n＝5，n－1＝4，积为4个3＋2＋4个6＋7，即99999×33333＝3333266667。 6个9乘6个3，n＝6，n－1＝5，积为5个3＋2＋5个6＋7，即999999×333333＝333332666667。 （2）11×44：a＝4，121×4＝484；所以11×44＝484。 11×77：a＝7，121×7＝847；所以11×77＝847。 （3）456×11，千位是4，百位是4＋5＝9，十位是5＋6＝11，向百位进1，百位变为9＋1＝10，向千位进1，千位变为4＋1＝5，十位剩1，个位是6，结果为5016，所以，456×11＝5016。 567×11：千位是5，百位是5＋6＝11，向千位进1，千位变为5＋1＝6，百位剩1，十位是6＋7＝13，向百位进1，百位变为1＋1＝2，十位剩3，个位是7，结果为6237，所以567×11＝6237。 2．先用计算器计算出前三题的得数，再按照规律填一填。 123456789×9＝( )      123456789×18＝( ) 123456789×27＝( )     123456789×( )＝( ) ( )×45＝( )              ( )×( )＝( ) 【答案】 1111111101 2222222202 3333333303 36 4444444404 123456789 5555555505 123456789 54 6666666606 【分析】使用计算器计算前3个算式的结果；观察5个算式得出规律：第一个乘数固定为123456789，第二个乘数是9的n倍（n为整数）所得的积就是1111111101的n倍；积的结果前8位是相同数字n，第9位是0，最后一位是数字n；按照规律填写剩余算式。 【详解】123456789×9＝1111111101 123456789×18＝2222222202 123456789×27＝3333333303 123456789×36＝4444444404 123456789×45＝5555555505 123456789×54＝6666666606（答案不唯一） 3．找规律，填一填，并用计算器检验。 1×9＋1×2＝11             12×18＋2×3＝222           123×27＋3×4＝3333 1234×( )＋4×5＝44444    ( )×45＋5×( )＝555555 【答案】 36 12345 6 【分析】先看每个算式中左边乘法的第一个乘数：第一个算式中是1，第二个算式中是12，第三个算式中是123，第四个算式中是1234，是依次多一位连续自然数； 然后看每个算式中左边乘法的第二个乘数：第一个算式中是9＝1×9，第二个算式中是18＝2×9，第三个算式中是27＝3×9，所以第几个算式中这个数就是几乘9； 再看每个算式中右边乘法：第一个算式中是1×2，第二个算式中是2×3，第三个算式中是3×4，第四个算式中是4×5，两个数是连续的，第几个算式中右边乘法就是几×（几＋1）。 【详解】算式中左边乘法的第一个乘数是1234，说明这是第4个算式，第二个乘数就是4×9＝36，所以1234×36＋4×5＝44444。 算式中左边乘法的第二个乘数是45，45＝5×9，说明这是第5个算式，第一个乘数就是12345；右边乘法是5×（5＋1），也就是5×6，所以12345×45＋5×6＝555555。 4．认真观察左边三个算式的特点，直接写出右边两个算式的得数。           ( )       ( ) 【答案】 【分析】通过左边的三个算式可得出规律：积中的数字“7”和“2”的个数等于因数中“7”的个数减去1；数字“6”和“3”的个数只有一个，数字“6”在“7”和“2”之间；数字“3”在末尾，依照这个规律填写即可。 【详解】 5．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 3×9＝( )        33×99＝( )        333×999＝( ) 3333×9999＝( )          3333333×9999999＝( ) 【答案】 27 3267 332667 33326667 33333326666667 【分析】用计算器计算出前三道题的答案如下： 3×9＝27 33×99＝3267 333×999＝332667 通过观察以上三个算式可得出：算式的积是在27这个数的基础上添加数字3和6得到的，2前面3的个数和7前面6的个数比因数中3或9的个数少1，依此写出后面算式的积。 【详解】分析可知： 3×9＝27 33×99＝3267 333×999＝332667 3333×9999＝33326667 3333333×9999999＝33333326666667 6．小华在计算器上发现一个有趣的现象。 1999.998÷9＝222.222 2999.997÷9＝333.333 3999.996÷9＝444.444 按照这个规律，4999.995÷9＝( )。 ( )÷9＝888.888。 【答案】 【分析】观察发现，被除数的整数部分千位数字依次为1、2、3，小数部分末位数字依次为8、7、6，千位数字与末位数字之和为9，其余数位数字固定为9。商是三位小数，每一位上的数字都相同，且该数字比被除数的千位数字大1。 【详解】4＋1＝5 4999.995÷9＝555.555 8－1＝7，9－7＝2 7999.992÷9＝888.888 7．按规律填一填。 44×99＝4356     444×999＝443556     4444×9999＝( ) 如果A×999999＝444443555556，那么A＝( )。 【答案】 44435556 444444 【分析】观察前三个算式：第一个因数中4的个数每次增加1，第二个因数中9的个数也增加1；积中4和5的个数相应各增加1，中间始终是3，末尾是6。据此写出下一个积，并反过来确定A中4的个数。 【详解】44×99＝4356，积中有1个4、1个3、1个5和1个6。 444×999＝443556，积中有2个4、1个3、2个5和1个6。 所以4444×9999的积中有3个4、1个3、3个5和1个6。 4444×9999＝44435556。 444443555556中有5个4、1个3、5个5和1个6，对应的第一个因数应有6个4。 所以A＝444444。 8．先观察前面三个算式，找出规律后再填一填。 19＋9×9＝100 118＋98×9＝1000 1117＋987×9＝10000 11116＋9876×9＝( ) ( )＋( )×9＝1000000 【答案】 100000 111115 98765 【分析】根据题意可知，从上到下：一个加数的个位从9开始依次递减1，其他数位均是1，且加数的位数从2依次递增1位；另一个加数是一个一位数乘多位数，一位数均是9，多位数的位数从上到下依次递增1，多位数最高位是9，从最高位到个位数依次递减1，积的最高位均是1，其他数位都是0，从上到下0的个数依次增加1个。据此计算。 【详解】19＋9×9＝100 118＋98×9＝1000 1117＋987×9＝10000 11116＋9876×9＝100000 111115＋98765×9＝1000000 9．请仔细观察下面含有“缺8数”的算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 … ( )×( )＝777777777 【答案】 36 1234567 63 【分析】观察算式前三个算式可知，其中一个因数都是12345679，另一个因数都9的倍数，另一个因数是9的几倍，算式的乘积就是9个几；观察第四个算式：算式的积是9个4，则其中一个因数已知是12345679，则另一个因数是9的4倍；观察第五个算式：算式的积是9个7，则一个因数是12345679，另一个因数是9的7倍；据此解答。 【详解】由分析可得： 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝444444444 12345679×63＝777777777 10．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 1111×11＝( ) 1111×12＝( ) 1111×13＝( ) 1111×14＝( ) 1111×15＝( ) 【答案】 12221 13332 14443 15554 16665 【分析】由题意得，可以先用计算器计算出前三个算式的结果，然后再观察它们的结果与乘数之间的关系来发现规律即可。1111×11＝12221，1111×12＝13332，1111×13＝14443。仔细观察算式可知，它们的第一个乘数都是1111，第二个乘数都是十几，得到的结果都是五位数。积的最高位上的数都是1，个位上的数和第二个乘数个位上的数相同。积的中间数位上的数相同且等于积的个位上的数加1。1111×14，第二个乘数是14，所以积的最高位上的数是1，个位上的数是4，其余数位上的数是5；1111×15，第二个乘数是15，所以积的最高位上的数是1，个位上的数是5，其余数位上的数是6。 【详解】1111×11＝12221 1111×12＝13332 1111×13＝14443 1111×14＝15554 1111×15＝16665 11．先用计算器算出前三道算式的积，再直接写出其他算式的积。 21×9＝( ) 321×9＝( ) 4321×9＝( ) 54321×9＝( ) 654321×9＝( ) 【答案】 189 2889 38889 488889 5888889 【分析】由题意得，可以先用计算器计算出前三个算式的结果，然后再观察它们的结果与乘数之间的关系来发现规律即可。21×9＝189，321×9＝2889，4321×9＝38889。仔细观察算式可知，它们的第二个乘数都是9，它们的第一个乘数是几位数，那么得到的结果的位数就比第一个乘数的位数多一位。积的最高位上的数等于第一个乘数的位数减1，积的个位上都是9且积的中间数位上的数都是8。54321×9，第一个乘数是五位数，所以积是六位数且最高位上为4，积的个位上是9且其它数位上都是8，所以54321×9＝488889；654321×9，第一个乘数是六位数，所以积是七位数且最高位上为6，积的个位上是9且其它数位上都是8，所以654321×9＝5888889。 【详解】21×9＝189 321×9＝2889 4321×9＝38889 54321×9＝488889 654321×9＝5888889 12．找规律填空。 (1)9×9＝81                             98×9＝882                                 987×9＝8883                                 9876×9＝( )                             987654×9＝( ) (2)1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝( ) 1234567×8＋7＝( ) 【答案】(1) 88884 8888886 (2) 9876 9876543 【分析】（1）第一个因数从9开始，依次在后面按从大到小的顺序添加数字，即9、98、987、9876…，第二个因数始终为9保持不变。积的位数比第一个因数多1位，积的个位数字等于第一个因数的位数，其余数字都是8，8的个数和第一个因数的位数相同。例如987×9＝8883，第一个因数是987三位数，积的个位就是3，积中的8个数为3个。 （2）第一个因数从1开始，依次在后面按从小到大的顺序增加数字，即1、12、123、1234…第二个因数始终为8保持不变。加数依次是1、2、3、4…与第一个因数的最后一位数字相同。结果是从9开始，依次在后面按从大到小的顺序排列数字，且结果的位数与第一个因数的位数相同。例如123×8＋3＝987，第一个因数123是三位数，结果987也是三位数；据此可解此题。 【详解】（1）由分析可知，9876×9中，第一个因数是四位数所以积是五位数，积的个位上是4，其余位上是8；所以9876×9＝88884； 987654×9中，第一个因数是六位数所以积是七位数，积的个位上是6，其余位上是8；所以987654×9＝8888886； 综上可知，9876×9＝88884，987654×9＝8888886。 （2）由分析可知，1234×8＋4中，第一个因数是1234，是四位数，所以积也是四位数，积从9开始，依次在后面按从大到小的顺序排列数字；那么1234×8＋4＝9876； 1234567×8＋7中，第一个因数是1234567，是七位数，所以积也是七位数，积从9开始，依次在后面按从大到小的顺序排列数字；1234567×8＋7＝9876543； 综上可知，1234×8＋4＝9876，1234567×8＋7＝9876543。 13．先用计算器计算前三题的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 5×5＝______ 95×95＝______ 995×995＝______ 9995×9995＝______ 99995×99995＝______ 999995×999995＝______ 9999995×9999995＝______ 【答案】 25 9025 990025 99900025 9999000025 999990000025 99999900000025 【分析】先用计算器算出前三个结果后，即5×5＝25，95×95＝9025，995×995＝990025，能找到简单规律：算式里的乘数，末尾都是5，前面有几个9，乘积的开头就先写几个9，接着写和9的数量一样多的0，最后末尾固定跟上25。比如995前面有2个9，结果就是先写2个9，再写2个0，最后加25，得到990025。 【详解】规律：算式里的乘数，末尾都是5，前面有几个9，乘积的开头就先写几个9，接着写和9的数量一样多的0，最后末尾固定跟上25。 5×5＝25 95×95＝9025 995×995＝990025 9995×9995＝99900025 99995×99995＝9999000025 999995×999995＝999990000025 9999995×9999995＝99999900000025 14．先用计算器算出前三个算式的得数,再根据规律直接写出后面算式的数。                          【答案】（1）1  12  123  1234  12345   123456  1234567 （2）9999   19998   29997  39996  49995   59994  69993 （3）63  7623  776223  77762223   7777622223  7777777622222223 【解析】略 15．先用计算器算出前五题的得数，再直接填出后两题横线上的数．(从上到下填写) 9×6＝________ 99×96＝________ 999×996＝________ 9999×9996＝________ 99999×99996＝________ 999999×999996＝________ 9999999×9999996＝________ 【答案】 54 9504 995004 99950004 9999500004 999995000004 99999950000004 【详解】用计算器计算时先键入第一个数字，再键入运算符号，接着键入第二个数字和等号即可得到得数。总结出规律后直接写出后面两题的得数。 16．用计算器计算． 9＋9×9＝ 18＋98×9＝ 117＋987×9＝ 1116＋9876×9＝ 根据你发现的规律，直接写出下题的结果． 11115＋98765×9＝ 【答案】90    900    9000    90000   900000 【详解】先找到规律，加数各个数位上的数字之和是9，和的最高位是9，算式中第一个因数是几位数，9后面就有几个0． 17．用计算器探索规律． 先用计算器算出前四个算式，再根据规律直接写出其他算式的得数． 1×8＋1＝ 12×8＋2＝ 123×8＋3＝ 1234×8＋4＝ 12345×8＋5＝ 123456×8＋6＝ 1234567×8＋7＝ 【答案】9 98 987 9876 98765 987654 9876543 【详解】略 18．计算 9×9-1= 98×9-2= 987×9-3= 9876×9-4= 98765×9-5= 987654×9-6= 【答案】9×9-1=80 98×9-2=880 987×9-3=8880 9876×9-4=88880 98765×9-5= 888880 987654×9-6= 8888880 【详解】可以先用计算器计算出前两题，我们再可以根据规律写出后面的答案． 19．请找出下列算式的规律，并直接写出最后一个算式的结果。 1×9×123456789＝ 2×9×123456789＝ 3×9×123456789＝ 4×9×123456789＝ 【答案】1111111101；2222222202；3333333303；4444444404 【分析】根据题意，前两个因数都是123456789与9，结果都是十位数，且前面八个数字与最后一个数字都相同，十位上都是0；如果这两个数与2相乘，结果中前面八个数字与最后一个数字都是2；与3相乘，结果中前面八个数字与最后一个数字都是3，按此规律即可写出第一个，按照前面的规律进行解答即可。 【详解】1×9×123456789＝1111111101 2×9×123456789＝2222222202 3×9×123456789＝3333333303 4×9×123456789＝4444444404 【点睛】此题是关于算式中的规律的题目，依据题目中的规律进行解答。 20．用计算器验算下面等式是否成立。 12×462＝264×21 42×132＝231×24 96×253＝352×69 93×286＝682×39 像上面这样的等式叫回文式。你还能写出两位数与三位相乘的回文式吗？ 回文式： 【答案】见详解 【分析】观察算式可知，等号左边的式子与右边的式子关于等号对称，而这种式子又叫做回文式。据此即可写出算式，然后用计算器验算即可。 【详解】12×693＝396×21 13×682＝286×31 84×132＝231×48 82×154＝451×28 【点睛】正确理解回文式算式的特点是解决本题的关键。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 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