江苏省苏州市2026-2027学年高二上学期数学期中自编模拟卷4

2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知a，b，c成等差数列，，b，c和a，b，都分别成等比数列，则b的值为(    ) A. 16 B. 15 C. 14 D. 12 2.若直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为 A. B. C. D. 3.点到直线距离的最大值是(    ) A. 1 B. 2 C. D. 4.已知公比为的等比数列的前n项和为，则数列的前n项和为(    ) A. B. C. D. 5.设等差数列，的前n项和分别是，，若，则(    ) A. B. C. 1 D. 6.从点向圆引切线，切点为A，则的最小值为    A. 5 B. C. D. 7.某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为      A. 1分钟 B. 分钟 C. 2分钟 D. 分钟 8.已知数列满足，，则数列的前100项的和为       A. 50 B. 98 C. 100 D. 102 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数;接着，在剩余的数中留下2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数;接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则(    ) A. 2到20的全部素数和为77 B. 挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为134 C. 2到30的全部素数和为100 D. 挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为335 10.设点和均在上，圆心M在直线上，则下列结论正确的是    A. 圆心为 B. 半径为5 C. 一般方程为 D. 点M到直线AB的距离为 11.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆．湖面上有桥是圆O的直径，湖的一侧有一条直线型公路l，，，已知，，单位：千米，现规划在公路l上选两个点P，Q，分别修建两条直线型公路PB，要求公路PB，QA不穿过圆O，则(    ) A. 的最小值为4千米 B. 的最小值为千米 C. 当取得最小值时，四边形ABPQ的面积为平方千米 D. 当取得最小值时，四边形ABPQ的面积为平方千米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线，，，若，则与之间的距离为          . 13.已知数列满足，，则          . 14.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为若点，则          ；已知点，点M是直线上的动点，的最小值为           . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知直线和直线 若，求实数a的值； 若，求实数a的值. 16.本小题15分 已知数列和满足，，， 证明：是等比数列，是等差数列； 求和的通项公式. 17.本小题15分 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心在直线上. 求圆C的方程; 在直线上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E，F，使为正三角形?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由. 18.本小题17分 某校校徽由3个圆组成，代表三种德性：一是虚心，代表学习;二是不断，代表工作;三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这3个圆圆心分别是，，都在坐标轴上，半径均为2，且过彼此圆的圆心，是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点P在圆上运动，M，N分别在与上，且，求： 直线和的方程; 的取值范围. 19.本小题17分 已知数列满足， ①求的值; ②求数列的前30项和 已知公差为正数的等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，，， ①求数列的前n项和 ②设，求数列的前2n项和. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】由题意得，，，联立可得 2.【答案】C  【解析】解：将直线整理为斜截式得，其斜率为3， 直线l与该直线平行，直线l的斜率，又直线l过点， 代入点斜式得，化简得，对应选项C。 3.【答案】D  【解析】略 4.【答案】D  【解析】数列仍为等比数列，且公比为，所以数列的前n项和 5.【答案】B  【解析】法一等差数列，的前n项和分别是，， 故选 法二设，， 则，， 故选 6.【答案】C  【解析】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆Q相离. 如图，连接PQ，AQ， 则， 所以的最小值为 7.【答案】C  【解析】以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则，，可得：，圆O：记从N处开始被监测，到M处监测结束，  因为O到的距离为 米，  所以米，  故监测时长为分钟 8.【答案】C  【解析】由，依次令，2，可得，，两式相加可得依次令，4，可得，，两式相加得依次令，6，可得，，两式相加得归纳推理可得，，，所以对任意的，，所以数列的前100项的和为故选 9.【答案】AD  【解析】由题可知，2到20的全部整数和，  2到20的全部素数和为，故A正确；  所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故B错误；  2到30的全部整数和，2到30的全部素数和为，故C错误；  所以挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为，故D正确． 10.【答案】AC  【解析】对于A，因为点和均在上，所以圆心M在线段AB的中垂线上，直线AB的斜率为，线段AB的中点为，所以线段AB的中垂线方程为，即，又圆心M在直线上，联立解得 故圆心为，A正确; 对于B，圆M的半径为，B错误; 对于C，圆M的标准方程为，其一般方程为，C正确; 对于D，直线AB的截距式方程为，化为一般式方程为， 故点M到直线AB的距离为，D错误. 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查圆的方程及其应用，圆中的最值问题等知识，属于中档题． 过点B作交l于点P，设BD与圆交于M，连接MA，则，过点A作交l于点Q，过点A作交l于点利用几何光学判断出的最小值为求出的最小值为千米，即可判断A、B；再求出四边形的面积，即可判断C、 【解答】 解：如图，过点B作交l于点P，设BD与圆交于M，连接MA，则， 过点A作交l于点Q，过点A作交l于点 由图可知，点P及其左侧的点与点B的连线不经过圆内部， 点Q及其右侧的点与点A的连线不经过圆内部， 则的最小值为 由同弧对应的圆周角等于弦切角可得， ，， 所以，，， 即的最小值为千米，故A错误，B正确． 在四边形中，，， 所以平方千米， 故C正确，D错误． 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线的位置关系和两条平行直线之间的距离，属于基础题. 先利用平行求出参数，然后利用两条平行直线之间的距离公式. 【解答】 解：当时，有， 解得， 此时，，的方程分别为：即，，  故它们之间的距离为 故答案为： 13.【答案】  【解析】【解】方法一设，即比较系数，得 所以 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 所以 所以 方法二将的两边同时除以，得 设，则 设，则比较系数，得 由，，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以所以 所以 故填. 14.【答案】4  ；   【解析】【分析】 本题考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键，属于中档题． 直接利用新定义求出的值;设出M的坐标，利用新定义表示，然后讨论它的最小值即可. 【解答】 解：由题意可知： 设直线上的任意一点坐标，则直角距离， 要求它的最小值就是的最小值，也就是 画出此函数的图象，由图分析得： 当时， 最小值为： 当时， 最小值为： 所以最小值是： 故答案为：4； 15.【答案】解：若，则 ，解得或2； 若，则 ，解得或 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以   【解析】本题主要考查两条直线平行的判定及应用，两条直线垂直的判定及应用，属于基础题. 根据两直线垂直的公式有 ，即可求解； 根据两直线平行，，求解a，再代回直线验证即可. 16.【答案】证明两式相加得 ， 即 又因为， 所以是首项为1，公比为的等比数列. 两式相减得， 即 又因为， 所以是首项为1，公差为2的等差数列. 解由知，，， 所以，   【解析】略 17.【答案】解：设圆C的方程为， 则解得 所以圆C的方程为 由得，圆C的圆心，半径， 假设存在点Q，如图所示. 设， 则， 则在中，， 即， 解得或，则或， 所以存在点或使为正三角形.   【解析】略 18.【答案】设直线分别与圆，圆相切于点E，F， 如图，连接，，，， 则是边长为2的等边三角形，O为线段的中点，所以，，，故圆的方程为 由，，且，得四边形为矩形，所以，所以直线的斜率为 设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，解得或舍去，所以直线的方程为，即 由直线与的斜率互为相反数，且在y轴上的截距相同，得直线的方程为，即 设点，则，， 所以  【解析】略 19.【答案】①因为，则，， 所以， 所以数列以3为周期，所以 ②由①知，，所以， ， ， 所以 ①设等差数列的公差为，等比数列的公比为q， 所以解得 所以，， 所以， 所以， 所以， 两式作差得： ， 所以 ②由①得：， 则   【解析】略 第14页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $