精品解析：四川成都市实外西区学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学

2026-2027学年上期九月定时练习 时间：120分钟 满分：150分 A卷 （共100分） 一．选择题（共大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的有(　　) (1)等边三角形是中心对称图形； (2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 二．填空（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则_______ 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是______． 12. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___． 13. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为______． 三．解答题（本大题共5个小题，共计48分） 14. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 16. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：，并进一步证明四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 17. 如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）用含t的代数式分别表示 ． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 18. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． （2）深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若m、n是一元二次方程的两根，则的值为_____． 20. 有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为______ ． 22. 定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为______． 23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 应用一元二次方程解答下列问题：如图，一个仓库的一边靠墙，另外三面用32米木板材料围建，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边有一扇2米宽的门，仓库面积为140平方米． （1）这个仓库的宽和长分别是多少米？ （2）仓库存有一批商品，每件商品的进价为15元，销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．为了尽快减少库存，为了实现平均每天1280元的利润，每件商品的定价应为多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． （1）如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； （2）如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； （3）如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九月定时练习 时间：120分钟 满分：150分 A卷 （共100分） 一．选择题（共大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答． 【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项使含未知数的项在等号左侧，再通过加常数项凑完全平方式完成配方． 【详解】解：移项，得， 两边同时加，得， 即． 3. 方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程有两个相等的实数根． 4. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为，长为， ，， ， ， ， ， ， 故选：A 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 下列命题中正确的有(　　) (1)等边三角形是中心对称图形； (2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】(1)、因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；(2)、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；(3)、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；(4)、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选A． 【点睛】本题考查了正方形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；命题与定理，属于中等难度的题型．解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理． 7. 2025年暑期档电影《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，上映后第一周票房收入约4.5亿，且第二周、第三周票房均呈上升趋势，前三周票房总收入约15亿．若设第二、三周的周增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设第二、三周的周增长率均为，依题意列出方程即可，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设第二、三周的周增长率均为，依题意可得： ， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形．利用三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，因为要使四边形为菱形，所以，则添加的条件是， 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形， 则， ∵，， ∴， 即当时，四边形是菱形． 故选：B． 二．填空（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根得，解出即可得的值. 【详解】解：∵ 是一元二次方程的根， ∴ ，整理得：，解得： ， ∴. 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 12. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得，根据BF⊥AE可得，，进而可得，即可证明，勾股定理求得，根据，代入数值进行计算即可求得的长． 【详解】四边形是正方形 G是CD的中点， 在中， BF⊥AE 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据尺规作图得到，平分，推出垂直平分，求出，在直角三角形中用勾股定理算出，再利用平行四边形性质与等腰三角形三线合一得到，求得． 【详解】解：设交于点． 由作图可知，，平分． ，． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得 ． 四边形是平行四边形， ， ． 又， ， ． ， ， ． 三．解答题（本大题共5个小题，共计48分） 14. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）方程可整理为平方等于常数的形式，选用直接开平方法求解；  （2）一次项系数为偶数，选用配方法求解；  （3）方程可提取公因式分解，选用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值有0，1，2． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 16. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：，并进一步证明四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由矩形的性质得到，由，可得，由勾股定理和平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 17. 如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）用含t的代数式分别表示 ． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为点P、Q的运动速度和起始位置已知，所以用路程=速度×时间的关系，结合的总长，可直接写出的表达式． （2）因为矩形内角为直角，所以是直角三角形，如果已知的长度，那么可利用勾股定理列关于t的方程求解． （3）如果要求的面积，那么先确定和中边上的高，即的长度，再用三角形面积公式列方程，求解后结合t的取值范围判断解是否符合要求． 【小问1详解】 解：∵点P从A向B以运动， ∴t秒后， ∵， ∴； ∵点Q从B向C以运动， ∴t秒后． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，是直角三角形。 ∴， 代入，，， 得 ， 展开整理得， 因式分解为， 解得（舍去），或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴． 由（1）知，， ∵， ∴ ，  整理得， 解得，或（舍去）． 18. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． （2）深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）探究一；；探究二：30 【解析】 【分析】（1）首先明确两个矩形完全相同，运用矩形性质证明，得，即得，结合三角形边和角的特征判断形状． （2）探究一：由点在延长线上与矩形性质证明，得到，可得，，设 ，由，得，解得  ，结合三角形面积公式求解．探究二：取的中点H，连接，由已知条件可得，由平行线性质得，即得，根据等角对等边得，得，是等边三角形，可得，可得． 【小问1详解】 解：∵两个矩形完全相同， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：探究一： ∵点在延长线上， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理：， ∴， 解得 ​， ∴ 。 ∴ ． 探究二： 取的中点H，连接， ∵， ∴， 由条件 ， ∵ ， ∴ 。 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若m、n是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的含义，代数式求值，解题的关键是掌握以上知识点． 利用一元二次方程根与系数的关系和解的含义得，，然后将变形为整体代入求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 20. 有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有实数根，二次项系数为，即可得，据此列出不等式，解出即可得的取值范围，再根据的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：∵方程有实数根，二次项系数为， ∴，整理得：，解得：， ∵的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种， ∴记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键． 根据菱形性质得，，则，根据得是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得，则，据此即可得出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点O， ，， ， ， ， ，交的延长线于点E， 是直角三角形， ，， 是的斜边上的中线， ， ， 菱形的面积为： 故答案为： 22. 定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，得出点在直线和上是解题关键，根据矩形的性质得出，根据轴得出点点、的纵坐标都为，根据直线平分该矩形的面积可得点在直线上，根据矩形为“率矩形”可得点直线的解析式为，列方程可求出的值，即可得答案． 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∵轴，， ∴点、的纵坐标都为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∵矩形为“率矩形”， ∴直线的解析式为，点在直线上， ∴， 解得：， ∴，， ∵，轴， ∴． 故答案为： 23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__． 【答案】或 【解析】 【分析】由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，在Rt△BC′E中，由于=2，得到∠C′BE=30°，①当点在线段上时，如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，根据等边三角形的性质和矩形的性质即可得到AF═8+，②当点在线段上时，如图2，过点作于点，设交于点，同①可得四边形ABGF是矩形，根据矩形的性质和等边三角形的性质即可得到AF=8-． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵点、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，， 在中，∵， ∴． ①当点在线段上时，如解图①，过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，由折叠的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴在中， ∵， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如解图②，过点作于点，设交于点， 同①可得四边形是矩形，是等边三角形， ∴，，， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 应用一元二次方程解答下列问题：如图，一个仓库的一边靠墙，另外三面用32米木板材料围建，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边有一扇2米宽的门，仓库面积为140平方米． （1）这个仓库的宽和长分别是多少米？ （2）仓库存有一批商品，每件商品的进价为15元，销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．为了尽快减少库存，为了实现平均每天1280元的利润，每件商品的定价应为多少元？ 【答案】（1）宽和长分别为10米、14米 （2）19元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立一元二次方程是解题的关键． （1）首先设这个仓库与墙垂直的边长为x米，则另一边表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可； （2）设销售单价应降低x元，根据商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解∶设这个仓库与墙垂直的边长为x米，则另一边表示为， 由题意得∶ ． 解得∶， 这堵墙的长为18米，即，， 不合题意舍去， ， 另一边为∶ (米)． 答∶这个仓库的宽和长分别为10米、14米； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低x元， 根据题意，得， 整理得：， 解得或， 为了尽快减少库存，取， 定价为元， 答：销售单价应定为19元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）或； 【解析】 【分析】（1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标； （3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴令，则， ∴点A为， ∴， ∵， ∴点C为，点D为， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ∴点B为， ∵，解得， ∴点P的坐标为； ∴； ∵点Q在直线上，则设点Q为，则 当点Q在点B的下方时，如下图： ∵，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点Q在点P的上方时，如上图： ， ∴， ∴ 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 综合上述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线， ∴直线为， 令，则， ∴点E的坐标为， 即； 当作为矩形的边时，如图： ∴点N的坐标为， ∴点M的坐标为； 当作为矩形的对角线时，如图： ∴点F的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 综合上述，则点M的坐标为或； 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题． 26. 菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． （1）如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； （2）如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； （3）如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合菱形的性质，证明，即可得解； （2）连接交于点，证明是等边三角形，证明，即可求出结论； （3）连接，作于点，证明是等边三角形，设，根据勾股定理列方程求出即可． 【小问1详解】 解：由题意知，菱形中，，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接交于点，如图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，作于点， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $