广东实验中学越秀学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026学年第一学期10月月考高二数学试题 班级： 学号： 姓名： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成角 5．直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（ ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是棱长为1的正方体，若平面，且满足，则到的距离为（ ） A． B． C． D． 8．在四面体中，为的重心，，，分别为侧棱，，上的点，若，，，与平面交于点，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知是正方体，则正确的结论有（ ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 10．下列说法正确的有（ ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 11．如图，正三棱柱中，，点在线段上（不含端点），则（ ） A．不存在点，使得 B．面积的最小值为 C．的最小值为有 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为__________． 13．已知三个空间向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角均为．若，则的取值范围为__________． 14．已知正方体的棱长为1，点为棱的中点．若点是线段上的点，且，则线段的长为__________；若点是正方体的表面上的动点，且，则线段的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知直线：与直线：，． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 16．（本题15分）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，． （1）用，，表示向量； （2）若，，，，求． 17．（本题15分）已知，，，． （1）若直线与平行，求的值； （2）若为直角三角形，求的值． 18．（本题17分）已知等腰梯形如图1所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图2所示． （1）证明：； （2）已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）在三棱锥中，，，，． （1）是的中点，是的中点，求异面直线与所成角的余弦值． （2）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．试计算，并说明这一运算的几何意义． （3）在（2）的基础上计算的值，指出的几何意义，并求出三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期10月月考高二数学试题 答案和解析 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．A 7．C 8．A 9．AB 10．BC 11．BD 12． 13． 14．； 15．【答案】解：（1）由题意得：，解得：或0， 经检验，均满足要求，所以或0； （2）将点代入中，得，解得：， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线为，代入，可得，此时直线为； 当两截距不为0时，设直线为，代入，可得，故此时直线为； 综上：直线的方程为或． 16．【答案】解：（1）； （2），，，，， 所以，，，． 17．【答案】解：（1）依题意可得，又因为，，，，即，解得，又，，所以，所以、、、四点不共线，所以； （2）若为直角，因为直线的斜率存在，且不为0，则，即，解得， 若为直角，因为直线的斜率存在，则，即，解得， 若为直角，当，的斜率存在且不为0时，则，即，解得， 综上，的值为或12或． 18．【答案】（1）证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，而平面，故； （2）解：由题意易知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，可得， （ⅰ）因为，等腰梯形中，，，点为线段的中点， 则，，，，，，故，， 设为平面的法向量，则，即，令，则，，可得为平面的一个法向量，而， ， ，， 所以， 设直线与平面所成的角为，，所以； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，， 若平面，，即， 解得，故当，重合，点的坐标为时，平面，此时． 19．【答案】（1）由题意可知，，，， 所以，因此异面直线与所成角的余弦值为． （2）由题可得，， 所以，， 所以， 又，，所以，．又， 所以分别垂直于，，且为方向上的单位向量（所在直线垂直于平面）． （3）由题意可知，则， 因为，所以是在方向上的射影， 因为，，，，平面，所以为平面的一个法向量， 所以为点到平面的距离，即三棱锥以为底面的高． 设，， 则． 因为，， ， ， 所以． 因为，， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $