精品解析：广东省广东实验中学2024-2025学年高二上学期阶段测试（一）数学试题

2024-2025学年度第一学期高二阶段测试（一） 数 学（A卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线上一点的横坐标为4，则点到焦点的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得抛物线准线方程以及点纵坐标，再结合抛物线定义即可求解. 【详解】由题意抛物线的准线为，点的纵坐标为， 所以点到焦点的距离即点到抛物线准线的距离为. 故选：A. 2. 双曲线的离心率e的可能取值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线为双曲线，由求得a范围求解. 详解】由，得到或， 当时，， 当，双曲线，， 所以， 故选：D． 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角 【详解】设直线的倾斜角为，由直线得其斜率为，所以， ，， 故选：C 4. 如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（ ）克 A. 340π B. 440π C. 4600π D. 6600π 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的面积后，然后乘以100，再乘以1000可得． 【详解】由题意圆锥的母线长为， 所以台灯表面积为， 需胶重量为（克）． 故选：C． 5. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图像，先求出，再求出，然后得到，进而求出，最后，直接求函数值即可 【详解】有图得，，，，得，所以， ，利用， 得出，由得，，则有 ，所以， 故选：D 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据图像得到，最后求出函数值，难度属于基础题 6. 函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（ ） A. 2， B. 2， C. 4， D. 4， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图像最高点与相邻最低点的横坐标，求出周期，进而求出，再由最高点（或最低点）坐标结合正弦函数用整体代换求出的值，结合其范围，即可求解. 【详解】根据图像可得周期， 再由最高点的横坐标为，可得， . 故选:B. 【点睛】本题考查由图像求参数，考查三角函数的性质，属于基础题. 7. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案. 【详解】由题意得， 故， 故选：D. 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，且与双曲线（）的两条渐近线分别交于两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线准线的方程为，得到的坐标，进而得到的高为，再结合，求得，根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线的方程为， 所以，， 因为是正三角形，的高为焦点到准线的距离为， 所以的边长为4，所以，所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点均在圆外，则下列表述正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 直线与圆不可能相切 D. 若圆上存在唯一点满足，则的值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件得到的长，即可判断选项A；利用两点之间的距离公式判断选项B；由的范围及圆心坐标判断C；由题意得，点在以线段为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，结合点在上，可得圆与圆外切，且点为切点，再由圆心距与半径的关系列式求解判断D. 【详解】∵ ， ， ∴；故正确； ∵，故B正确； ∵点到的距离为点C到轴的距离， 当时，直线与圆相切，故C错误； ∵， ∴点在以线段为直径的圆上. 又∵， ∴点在圆上. 又∵点在圆：()上， 点均在圆外， ∴圆与圆外切，且点为切点， ∴， ∴，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查点与圆，直线与圆位置关系的判定及应用.熟记两点之间的距离公式以及圆心距与半径的关系是解决本题的关键. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确； 【详解】对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 11. 已知直线，下列结论错误的是（ ） A. 直线在轴上截距为 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率不存在 D. 直线的斜率为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意，利用直线的截距、斜率和倾斜角，逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论. 【详解】对于A，令，可得，故直线在轴上的截距为，故A正确； 对于B，当时，直线l即，它的斜率为，故它的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线即，它的斜率为0 ，故C错误； 对于D，直线即，它的斜率为，故D错误. 故选：CD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】 按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即； 综上所述，直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点， 则 的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点，由，求出，再利用基本不等式得出的范围，得解. 【详解】 由椭圆的方程知右顶点为，左右焦点分别为，，设，不妨设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 又， ， 所以的最大值是. 故答案为：. 14. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为．向量在基底下的坐标是_______________；模为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底的坐标，然后计算模即可． 【详解】解：向量在基底下的坐标为， 则 ， （1）所以向量在基底下的坐标为， （2）的模为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，. （1）求证：平面PAC； （2）若点E是侧棱PB中点，平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°，请求出四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，可得，在三角形中，由余弦定理可得．再由线面垂直的判定可得平面； （2）根据条件求出，再通过体积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：底面，， 在三角形中，由，，， 得． ，即． 又， 平面； 【小问2详解】 设，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． ，，， ，0，，，0，，，0，，，，． 设， ，． 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由， 得或（舍． 所以． 16. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接， ，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且 且 四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面 （2）设， 由直四棱柱性质可知：平面 四边形为菱形 则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：，，，D（0，-1,0） 取中点，连接，则 四边形为菱形且 为等边三角形 又平面，平面 平面，即平面 为平面的一个法向量，且 设平面的法向量，又， ，令，则， 二面角的正弦值为： 【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 17. 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析,（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）连结交于点，连结，可知，根据线面平行的判定定理，证明即可. （Ⅱ）法一: 由，，可知，即，根据平面，可知平面，即，，以为原点，，，所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系，求各点坐标，计算平面的法向量为，平面的法向量为，根据，求解即可. 法二：延长、交于，连接，过作于，过作于，连接，则平面，，又，所以平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由，，，计算 ，，利用，求解，即可. 【详解】（Ⅰ）证明：连结交于点，连结. 则为中点，为中位线. 所以. 又平面，平面 所以平面. （Ⅱ）法一：因为，是的中点，所以. 又因为，所以，则 即，所以. 又因为平面，所以建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，. 平面的法向量为. 设平面的法向量为，则由，，得 令，则，. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 法二：延长、交于，连接，过作于， 过作于，连接， 则平面，，又，所以平面， 为平面与平面所成锐二面角的平面角. 中，，所以高为中线，，， ∵，∴，∴， 中，， ，∴ 中，，， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为. 【点睛】本题考查线面平行，以及求二面角的余弦值，解决本题可以空间向量法也可以用几何法，属于较难的题. 18. 如下图，四棱锥中,⊥底面, ,为线段上一点，,为的中点. （1）证明:平面； （2）求四面体的体积. 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点T，连接，TN，得到四边形为平行四边形，即，利用直线与平面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，得到平面的距离为，取的中点，连接，求得，利用，即可求解三棱锥的体积． 【小问1详解】 由已知得，所以， 取的中点T，连接，TN，由N为中点知，. 又，故且，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，为的中点， 所以到平面的距离为. 取的中点，连接.由得，. 由得到的距离为，故. 所以四面体的体积. 19. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面，点是的中点． （1）证明：平面； （2）现给出三个条件：①，②，③．请从中任选一个条件，使得成立，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）条件选择见解析，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）选择①：利用反证法推出矛盾，进而说明条件①使得不成立； 选择②：利用余弦定理结合勾股定理可证得，由底面可得出，利用线面垂直的判定定理和性质可证得； 选择③：由结合可得出，由底面可得出，利用线面垂直的判定定理和性质可得出，再由已知条件可得平面，利用线面垂直的性质可得出. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以为中点，而是的中点， 所以是的中位线，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）若选择条件①：假设， 平面，平面，， ，平面， 平面，， 事实上，因为，，则为等边三角形，故， 这与矛盾，假设不成立，故条件①不能使得； 可以选②或③，使得． 选择条件②的解析：因为，， 由余弦定理可得． 从而，所以． 又底面，底面，所以． 又因为，所以平面． 而平面，所以； 选择条件③的解析：因为四边形为平行四边形，可得， ，， 平面，平面，， ，平面，平面，， 平面，平面，， ，平面，平面，. 【点睛】方法点睛：证明线线垂直的方法如下： ①三角形勾股定理的逆定理：； ②两个三角行全等或相似证明对应角相等（其中一个已知角为直角）； ③等腰三角形底边上的中线与底边垂直； ④菱形的对角线相互垂直； ⑤矩形的邻边相互垂直； ⑥等角定理：，或，，； ⑦直线与平面垂直的定义（或性质）：一条直线与一个平面垂直，则这条直线与此平面内的所有直线都垂直，即，，常用于异面直线垂直，偶尔两相交直线垂直也可通过线面垂直得到； ⑧向量法：（、均为非零向量）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高二阶段测试（一） 数 学（A卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指定位置，并用铅笔准确填涂考号. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回. 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线上一点的横坐标为4，则点到焦点的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 2. 双曲线的离心率e的可能取值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 4. 如图所示，是某厂生产一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（ ）克 A. 340π B. 440π C. 4600π D. 6600π 5. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. －1 6. 函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（ ） A. 2， B. 2， C. 4， D. 4， 7. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A. B. C D. 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，且与双曲线（）的两条渐近线分别交于两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点均在圆外，则下列表述正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. 直线与圆不可能相切 D. 若圆上存在唯一点满足，则的值是 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 11. 已知直线，下列结论错误的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率不存在 D. 直线的斜率为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 13. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点， 则 的最大值为__________． 14. 定义：设是空间一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底， 是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为．向量在基底下的坐标是_______________；模为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，. （1）求证：平面PAC； （2）若点E是侧棱PB中点，平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°，请求出四棱锥的体积. 16. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值. 18. 如下图，四棱锥中,⊥底面, ,为线段上一点，,为的中点. （1）证明:平面； （2）求四面体的体积. 19. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面，点是的中点． （1）证明：平面； （2）现给出三个条件：①，②，③．请从中任选一个条件，使得成立，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$