精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年高一第一学期第一次月考 数 学 试 卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A：集合中只含有一个元素，即点，而集合中含有两个元素， 即数字和，两个集合的元素不同，故，所以A错误； 对于选项B：空集是不含任何元素的集合，而是含有一个元素的集合， 空集是任何集合的子集，即，而不是属于关系，所以B错误； 对于选项C：数字是一个元素， 是一个集合， 元素与集合之间的关系应用符号“”或“”，即， 不能用表示集合包含关系的“”，所以C错误； 对于选项D：整数集中的任意一个元素都是有理数集中的元素， 因此整数集是有理数集的子集，即，所以D正确. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】设命题为：，命题为：， 解不等式，等价于，解得。 所以命题成立对应的的集合为， 命题成立对应的的集合为， 因为B⫋ ，即若成立，则必然成立（必要性成立）； 但若成立，不一定有成立，例如取，此时（充分性不成立）， 所以“”是“”的必要且不充分条件. 3. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“ ”为全称量词命题， 它的否定是. 4. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合自然数集的表示方法、集合交集运算的定义进行求解即可. 【详解】由， 又因为，所以. 因此. 6. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加劳动实践的人数为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】使用集合的容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为，同时只参加劳动实践和技术培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合劳动实践的总人数，算出只参加劳动实践的人数. 【详解】高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践， 有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训， 同时报名参加劳动实践和研学参观的有人， 同时报名参加研学参观和技术培训的有5人， 设三类都参加的人数为，同时只参加劳动实践和技术培训的人数为，列出韦恩图， 则，可得， 所以只参加劳动实践的人数为人. 7. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以代数式 的最小值为5. 8. 的一个充分且不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按分段求出给定不等式的解集，再确定其真子集的选项即可. 【详解】当时，，，则不等式无解； 当时，不等式，则，解得，因此， 即不等式的解集为，给定选项中，只有选项C对应集合是集合的真子集， 所以的一个充分且不必要条件可以是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知为实数，若集合，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，可知，又因为空集是任何集合的子集，所以分和两种情况，从而求出参数. 【详解】由题可知：， 因为，所以， 当时，，满足，故成立， 当时，， 因为，所以或， 解得：或， 综上可知：或或. 10. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 11. 已知集合，定义运算，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则符合要求的集合M有6个 D. 的子集个数为32. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可知，可判断AD；根据集合交并补运算求解B；用列举法求解C. 【详解】对于A，由定义可知，，故A正确； 对于B，，则，故，故B错误； 对于C，，则， 故满足条件的集合为，共6个，故C正确； 对于D，有5个元素，则子集总数为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【答案】2 【解析】 【详解】，或，解得或， 当时，，同时，不符合互异性，舍去； 当时，合题意； 综上，实数的值为2. 13. 已知集合，请用列举法表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，解得，所以. 14. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先将原命题条件转化为全称命题的恒成立问题，再通过分类讨论结合一次函数和二次函数的图象性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），． （2），或. 【解析】 【详解】（1）因为集合， 又集合， 所以， ． （2）因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 16. 已知命题p：，命题q：. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. （3）或m≥2. 【解析】 【小问1详解】 若命题p：为真命题， 则， 解得. 【小问2详解】 若命题q：为真命题， 则， 解得或. 【小问3详解】 若命题p、q至少有一个为真命题， 则，或，或， 所以或. 17. 设集合，非空集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，是的真子集，列出不等式即可求解； （2）根据题意可知是的子集，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 因为集合非空，所以，即， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且等号不能同时取到，解得， 因此实数的取值范围为． 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，所以， 因此，解得， 又因为集合非空，由（1）得， 因此实数的取值范围为． 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）（2）16 【解析】 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （2）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即， 所以，所以或， 又，所以，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为16. 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【答案】（1）是，和1 （2）证明：任取，设， 则 因为，所以， 因此可以表示为（其中）的形式， 故，由乘法封闭集的定义可知，是一个“乘法封闭集”． （3）是，理由如下： 首先，（取，均为整数）， 因为，且， 所以，因此满足完美元素的定义， 所以是集合的完美元素． 【解析】 【分析】（1）对中的任意两个元素作乘积即可判断是否为“乘法封闭集”，对中的每个元素取倒数即可判断是否为“完美元素”； （2）设，将化为即可证明； （3）计算的倒数即可判断． 【小问1详解】 对中的任意两个元素作乘积，可得 ，，，，，， 故中任意两元素之积仍属于，因此是乘法封闭集． 又因为： 所以和1均为的完美元素． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一第一学期第一次月考 数 学 试 卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加劳动实践的人数为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 3 7. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 8. 的一个充分且不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知为实数，若集合，且，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 11. 已知集合，定义运算，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则符合要求的集合M有6个 D. 的子集个数为32. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 13. 已知集合，请用列举法表示___________． 14. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16. 已知命题p：，命题q：. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围； （3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 17. 设集合，非空集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $