2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷2（江苏省苏州市人教A版）

2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟卷2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等差数列，，，则数列的前100项和    A. B. C. D. 2.含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为    A. B. C. D. 3.设，，若点在线段AB上，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.若点在圆C：外，则a的取值范围是    A. B. C. D. 5.在等比数列中，，，则…等于      A. B. C. D. 6.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形图①的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则    A. B. C. D. 7.已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系xoy中，已知为圆上两点，点，且，则线段BC的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆C：，直线l过点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆C的半径为2 B. 圆C的圆心坐标为 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 直线l被圆C截得的最长弦长为4 10.已知等比数列的公比为q，前n项和为，则下列判断正确的是  A. B. C. D. 11.已知数列满足：，其中，数列的前n项和是，下列说法正确的是     A. 当时，数列是递增数列 B. 当时，若数列是递增数列，则 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若1，，成等比数列，则          . 13.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点，，，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为          ，直线FH的一般式方程为          . 14.已知直线其中a为实数过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的顶点坐标为，， 若点D是AC边上的中点，求直线BD的方程； 求AB边上的高所在的直线方程. 16.本小题15分 已知数列的首项，且， 求证：数列为等比数列； 若，求正整数n的最大值． 17.本小题15分 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和 求圆C的方程; 若线段AB的端点，端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 18.本小题17分 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中就有如下著名结果：平面内到两个定点A，B的距离之比为且的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中． 若，，动点P满足，求点P的轨迹方程； 若，P是圆C：上任意一点，在平面内是否存在点B，使得恒成立？若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由． 若P是圆D：上任意一点，在平面内求出两个定点A，B，使得恒成立，只需写出两个定点A，B的坐标，无需证明． 19.本小题17分 已知数列的前n项和为，当时，满足 求证：； 求证：数列为等差数列； 若公差，问是否存在n，d，使得？如果存在，求出所有满足条件的n，d，如果不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：因为为等差数列且，， 故，故， 故数列的前100项和为， 故选： 2.【答案】B  【解析】略 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查直线的斜率，属于基础题． 根据题意，设，设，分析k的几何意义，结合直线斜率公式分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设，设， 则k的几何意义为线段AB上任意一点P与点M连线的斜率， 而，， 如图：必有或，即或， 则的取值范围是 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题. 结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可. 【解答】 解：由于点在圆C：外， 有，解得， 即a的取值范围是 故选： 5.【答案】B  【解析】略 6.【答案】B  【解析】解：由题意，得下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以是公比为的等比数列，而首项，所以，当时，图④中“雪花”状多边形的周长为 故选 7.【答案】A  【解析】解：根据题意，圆是以为圆心，半径的圆， 设，则，，所以，整理得，因此，点P的轨迹方程为，是以为圆心，半径为的圆．结合题意，可知圆与有公共点，可得，即，解得 即实数a的取值范围是故选： 8.【答案】B  【解析】解：设BC的中点为M，连接OM、AM。  由，为直角三角形，M为斜边BC中点，故， 因B、C在圆，M为弦BC中点，故，由弦长公式得： ， 结合，得，两边平方得： ， 设，代入，，展开整理得M的轨迹方程： ， 即M在以为圆心，半径的圆上， 所以， 因O在圆内部，故的范围为： ， 当时，；  当时，， 故线段BC的取值范围为 故选 9.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题． 由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【解答】 解：由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为M， 由于，所以点M在圆内， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线l过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确. 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列通项公式、前n项和公式、等比数列的性质，属于基础题． 根据选项依次判断即可. 【解答】 解：由等比数列的通项公式及性质知A项、C项正确， 当时，B项错误， 当时，，D项错误. 答案：AC 11.【答案】ACD  【解析】因为且， 所以，数列是递增数列，故A正确； 若数列是单调递增数列，当时， 且，所以，又因为是单调递增的， 所以只需要，则，解得或，故B错误； ，所以， 所以，所以，故C正确； 易知是递增数列，所以，则， 即，所以， 即，所以， 当时，，所以 所以，D正确，故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题. 利用等比中项的定义列方程，求出 【解答】 解，，成等比数列，或 而当时，，不合题意 13.【答案】 ；   【解析】略 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题． 直线方程即 ，由，求得定点P的坐标，设点，，则PQ连线的斜率为为，再利用二次函数的性质求得它的范围． 【解答】 解：已知直线，即， 由 ，解得，故定点P的坐标为 设点，， 则PQ连线的斜率为 ， 故PQ连线的斜率的取值范围为 故答案为 15.【答案】解：因为点D是AC边上的中点，，， 所以， 又， 所以， 所以直线BD的方程为，即； 因为， 所以AB边上的高所在的直线的斜率为， 所以AB边上的高所在的直线方程为，即  【解析】本题主要考查点斜式方程，两条直线垂直的判定及应用，属于基础题． 由中点坐标公式得到，再由两点坐标求出直线BD的斜率，最后由点斜式方程求出直线BD的方程； 由两直线垂直求出AB边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程. 16.【答案】证明：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列． 由可得，则，若，，则   【解析】略 17.【答案】解：设圆C方程： 由已知， 解得，圆C方程为； 解设点， ， 整理得，， 点B在圆C上，， 点M的轨迹方程为  【解析】本题考查了圆的方程的求法，利用代入法求曲线的轨迹方程，是中档题． 由已知得到方程组，则圆C的方程可求． 设点M的坐标为，结合点在圆上得到轨迹方程． 18.【答案】解：设点，由，得， 即，化简得， 所以点P的轨迹方程为 假设存在点满足条件，设点，由，得， 则， 化简得① 又因为点P在圆C上，所以，② 将②代入①中得 根据题意有解得即， 所以存在点，使得恒成立. 如，， 设，，，由，得， 所以， 化简得 又因为点P在圆上，所以，④ 将④代入③中得， 根据题意有即  【解析】本题考查了阿波罗尼斯圆的理解与应用，考查转换思想和计算能力，属于拔高题. 根据定义直接利用两点间的距离公式表示距离之比，化简即可. 假设存在点符合题意，由得到相关关系式与圆C方程联立求解. 设，，由，得 与圆D方程联立求解得 19.【答案】解：当时，， 所以，即， 即，即证； 因为， 即 且，， 所以， 则， 两式相减，可得， 整理得， 所以， 两式相减，可得， 整理得，且， 所以，即当时，成等差数列， 又由可知，，，成等差数列， 所以数列为等差数列； 假设存在符合题意的n，d，则由， 可知，，当时，上式显然不成立， 当时，，因为，且为奇数，为偶数， 所以必为奇数，若，则，无正整数解， 所以，整理得，解得， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 综上，存在，及，符合题意．  【解析】本题考查等差数列的判定与证明，属于较难题. 当时，，所以，即，即，得证. 因为，所以，则，两式相减，可得，所以，两式相减，可得，所以，即可证明数列为等差数列； 假设存在符合题意的n，d，则由，可知，，当时，上式显然不成立，当时，，因为，且为奇数，为偶数，所以必为奇数，讨论即可得出取值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $