2026-2027学年苏州市高二上学期期中考试数学模拟试卷

2026年苏州高二上学期期中考试模拟试卷 范围：数列 直线方程 圆 本卷满分150分，考试时间120分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）经过两点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线与线段AB有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 5．（本题5分）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 6．（本题5分）已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（    ） A．180 B．198 C．189 D．168 7．（本题5分）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C．8 D． 8．（本题5分）已知数列前n项和满足：，数列前n项和满足：，记，则使得值不超过2025的项的个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题（本题18分） 9．（本题6分）已知直线，圆，则（    ） A．与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4 B．若与圆相交于两点，且，则 C．若圆上恰有四个点到的距离为1，则 D．若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是 10．（本题6分）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 11（本题6分）．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆始终相交 B．若直线与圆相交于，两点，则最小时， C．圆上一点到直线的最大距离为 D．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则 3、 填空题（共15分） 12．（本题5分）在等差数列中，前三项和为36，后三项和为144，所有项的和为360，则项数为________. 13．（本题5分）已知等差数列的前项和为，且，则__________. 14．（本题5分）已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线的距离的最大值为________。 四、解答题（共77分） 15（本题13分）．已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 16．（本题15分）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 17．（本题15分）已知点和圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 18．（本题17分）已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值． 19．（本题17分）在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏州高二上学期期中考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D C A A C BCD CD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2．D 【分析】根据直线的斜率，利用数形结合法求解. 【详解】如图所示： 由图象知：过点P（1，0）的直线为直线PA，PB之间任意一条直线， 而， 因为直线与线段AB有公共点， 所以或， 故选：D 3．D 【分析】根据点在圆上，利用待定系数法可得圆的一般方程，再根据点在圆上，可得解. 【详解】设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则，解得， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍）， 故选：D. 4．D 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 5．C 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 6．A 【分析】由条件结合等差数列的通项公式及等比中项的定义列方程求数列的公差和首项，再利用求和公式求它的第4项到第11项的和. 【详解】设递增等差数列的公差为，则， 且是，的等比中项， ， 解得， 第4项到第11项的和为 所以， 即数列的第4项到第11项的和为180. 故选：A． 7．A 【分析】设直线与直线的两个交点为，设，则，代入直线，即可得点，进而可得到直线的方程，再求交点到的距离，利用面积公式计算即可. 【详解】设直线与直线的两个交点为，且设， 则由题意可知，点关于点的对称点在上， 所以，解得， 所以，， 所以, 因为直线过点，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 联立：，解得的交点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以这三条直线围成的三角形面积为. 故选：A. 8．C 【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2025的项的个数. 【详解】因为，当时，， 当时，，则符合上式，所以； 又，当时，，所以， 当时，，则，所以是以为首项，公比的等比数列， 所以， 则 所以，即， 又单调递增，单调递增，所以单调递增， 又，所以， ， 故使得值不超过2025的项的个数为10. 故选：C. 9．BCD 【分析】对于A，根据题意知直线的斜率，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决； 对于B，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解的值； 对于C，由题意得圆心到直线的距离，即可求解的范围； 对于D，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决. 【详解】对于A，由得，所以直线过点， 又因为直线与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以； 令，得，令，得， 所以直线与两坐标轴的正半轴的交点分别为，， 所以直线与坐标轴的正半轴围成的三角形面积； 当且仅当，即时，等号成立， 所以三角形面积最小值是4，故A不正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以圆心到直线的距离，即，解得，故B正确； 对于C，因为圆上恰有四个点到的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 解得，故C正确； 对于D，因为直线恒过点， 所以直线就是经过以为圆心，为半径的圆和圆的交点所在的直线，， 所以，所以圆的方程为， 所以直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 10．CD 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 11．ACD 【分析】对A，求出直线过定点，判断出定点在圆内，A正确；对B，当定点与圆心连线与直线垂直时最小，由垂直关系求斜率，进而得到；对C，先得到，进而求出最大值为；对D，先得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由直线可知该直线过定点， 圆可化为， 圆心，半径. 对于A：因为，所以定点在圆内， 所以直线与圆始终相交，A正确； 对于B：由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 因为，所以当时，最大，最小， 因为，所以此时直线的斜率为，所以，B错误； 对于C：圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与圆半径的和， 由前面分析知，所以最大距离为，C正确； 对于D：若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 由A知，直线与圆始终相交，所以， 即，整理得，解得，D正确； 故选：ACD. 12．12； 【分析】根据等差数列的性质求解即可 【详解】设前三项为后三项为，则有，根据前项和通项公式得 故答案为12 【点睛】本题考查等差数列的性质，前项和通项公式的应用，属于基础题 13． 【分析】设等差数列的公差为，再根据题意列出基本量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由， 所以，即，解得， 所以. 故答案为： 14．4 【分析】利用两圆的外切关系先计算，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可. 【详解】圆化为标准方程为， 可得，其半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以，解得， 可得圆的半径为， 因为圆心到直线的距离为， 则点P到直线的距离的最大值为. 故答案为：4. 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据点，可知线段中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线，可知点坐标，进而可得圆方程； （2）当切线斜率不存在时直线方程为成立，当切线斜率存在时，设点斜式，根据点到直线距离，即可得解. 【详解】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 16．(1) 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. （2）根据圆心在直线上，并且圆心到的距离相等联立方程，从而求得圆心和半径即可. 【详解】（1）当不存在时，即，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为 综上所述：切线方程为或 （2）圆心在直线上，且圆心到,距离都为半径 ，解得 圆心到的距离为 圆的方程为. 18．(1)；或 (2)13 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列与等比数列基本量的计算即可求解； （2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式. 【详解】（1）， 又， ，故，解得或 (舍去)； ， ， ，又， 或. （2）由（1）知， 所以， ， 错位相减得： 由，可得 令， 令，得， 故当且时，；当且时，；当时，， 又，而 故，满足 所以满足的的最小值为13. 19．(1) (2) 因为， ． 因为，且在时单调减小， 所以，且在时单调增加，并在时取最小值， 所以． 【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据及条件②，得到，从而可判断是等差数列，求得的通项公式，进而得到的通项公式，最后得到的通项公式.如果选条件③，可直接得到与的关系，进而可得到的通项公式. （2）由已知条件，可求得的通项公式，从而得到的表达式，即可证明. 【详解】（1）对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分） 如选②：， ，， 则是公差为1的等差数列， 则，则． 当时，， 当时，满足上式． 所以的通项公式为． 如选③：因为，则， 当时，，解得：． 当时，， 即，因为，所以， 则是首项为1，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $