精品解析：湖北潜江市文昌高级中学2026-2027学年高三上学期八月月考数学试卷

数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ） A. 13分钟 B. 14分钟 C. 15分钟 D. 16分钟 8. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 定义在上的函数和为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 13. 关于x的方程有负根，则a的取值范围是________________． 14. 已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）若，求及的值. 16. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，，求实数的取值范围. 17. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 18. 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产千件合格品企业平均可以获利万元，但每生产千件次品企业平均亏损万元.（注：次品率，盈利获利总额亏损总额.） （1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）当日产量为多少时，企业日盈利最大，企业日盈利最大为多少？ 19. 已知函数，函数． （1）求不等式的解集； （2）求函数的值域和单调区间； （3）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，解得，则， 又， 所以. 2. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分和必要条件的定义求解. 【详解】因为，所以或， 因为，所以，解得， 则或不一定推出， 即“”是“”的不充分条件， 推出或， 即“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用该性质结合在的函数值正负判断得解. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB； 当时，，此时函数图象在轴上方，排除C，D符合题意. 故选：D 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断比较即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6. 已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质以及单调性可得，进而运算求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，则不等式即为， 又因为函数在上是增函数，且，， 则，整理可得，解得或， 所以满足的x的取值范围是. 故选：B. 7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ） A. 13分钟 B. 14分钟 C. 15分钟 D. 16分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数模型先解出值，再依据解出的取值范围即可. 【详解】根据题意可知，当时， 代入 所以函数为 要使浓度小于等于0.1%，即. 所以有 两边同时取对数，有 即 所以至少需要14分钟. 8. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 已知a，b，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 10. 定义在上的函数和为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有5个不同的解 D. 若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D. 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，， 作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误； 函数在上单调递减，故B正确； 由于函数与有5个交点， 则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令， 因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根， 设，显然， 则这两个根分别在、内， 有，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范围. 【详解】， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号 故答案为： 13. 关于x的方程有负根，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程有负根，则， 所以，解得， 即a的取值范围为． 14. 已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）若，求及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质，计算求解即可. （2）由指数幂的运算和平方公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， . 16. 已知命题：“，都有不等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】由命题描述知：在上恒成立， （1）应用参变分离，仅需在上有成立，求参数m的集合即可； （2）讨论、的大小关系，进而确定集合A，根据并集的结果列不等式，求的范围. 【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，即在上恒成立， ∴，得，即. （2）不等式，又由知：， ①当，即时，解集，则，此时； ②当，即时，解集，满足题设条件； ③当，即时，解集，则，此时. 综上，得. 【点睛】结论点睛：对于全称命题中不等式在某一个区间恒成立求参数范围， （1）参变分离法，将问题转化为或求范围； （2）二次函数的性质：结合对称轴，由根的分布情况、判别式等方法，求范围； 17. 已知，函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）为增函数.证明： 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【小问1详解】 解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 18. 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产千件合格品企业平均可以获利万元，但每生产千件次品企业平均亏损万元.（注：次品率，盈利获利总额亏损总额.） （1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）当日产量为多少时，企业日盈利最大，企业日盈利最大为多少？ 【答案】（1）（且） （2）故当或时，日产量为千件时，最大盈利为万元， 当且时，日产量为千件时，最大盈利为万元. 【解析】 【分析】（1）分、时，根据盈利获利总额亏损总额可得出企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式； （2）对的取值进行分类讨论，利用函数单调性或基本不等式求出当时的最大值，利用等号成立求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知当时，次品率，； 当时，，则. 综上所述，（且）. 【小问2详解】 当时，，因为且，则， ①当时，即当且时，且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当且时，， 若，任取、且， 则 ， 因为、且，且时， 则，，，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增，此时. 当时，. 综上所述，， 故当或时，日产量为千件时，最大盈利为万元， 当且时，日产量为千件时，最大盈利为万元. 19. 已知函数，函数． （1）求不等式的解集； （2）求函数的值域和单调区间； （3）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）；函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域，结合复合函数单调性求单调区间； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【小问1详解】 因为，整理得 解得，可得 所以的解集为. 【小问2详解】 因为， 令，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为； 因为在内单调递增，则，且在内单调递减， 可知在内单调递减； 又因为在内单调递增，则，且在内单调递增， 可知在内单调递增； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 不等式对任意实数恒成立，则， 因为， 令，因为，则， 设，， 当时，取得最小值，即， 可得，即， 解得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $