安徽县中联盟2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高三数学 % 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作 答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3本卷命题范围集合与常用辽秤用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形。 % 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.命题：“Vx>0,x3>3lnx”的否定为 A.Vx≤0，x3≤3lnx B.3x≤0，x3≤3lnx C.3x>0,x3≤3lnx D.3x>0,x<3In z 2.函数f(x)=5tan(-7x)的最小正周期为 中n A晋 R牙 C.6π D.12元 3.已知集合A={os系，号，-1小B={血(-经，-号，tam(-}则AnB= a{-竖，-1} B悟，-1 c{-,} D.(-1) 灯 4.已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积 扩大了 A B.4π c昭 5.曲线f(x)=x3一f(1)·x2一2x一3在点(1，f(1))处的切线方程为 A.5x-y-7=0 B.5x-y-3=0 C.3x+y-1=0 D.3x+y-5=0 6.已知a>1,函数f(x)=logax一2log2ax在(0，十o∞)上为减函数，则实数a的取值范围为 A.（1,2) B.(1,4) C.(4,+∞) D.(2,十∞) 7.0s35(2c0s25°-c0s359)_ c0s20° A号 B③ c- 【高三数学第1页（共4页）】 8.已知函数f(x)=(x5一a)(e一b),a∈R,b>0,若f(x)≥0，则a一b的最大值为 A.1 B.0 C.-1 n是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,下列说法正确的是 A若a<6,则日<号 且若>6，>0，则g>8专 C若a>6叶1，则a-6计。-)的最小值为1 D,若a+名=4，则2+b的最小值为1 10.我国高铁技术在世界上领先.如图，一高铁通过某湖泊两岸的C、D两点.在一笔直的公路上选取 点A,测得点C在点A的北偏东15°方向上，点D在点A的北偏东60°方向上，沿该公路向正东 方向行驶10√15km到达点B,此时测得点C在点B的北偏西45°方向上，点D在点B的北偏 西30°方向上，其中A、B、C、D在同一平面内，则 A.△ABD为直角三角形 B.AC=10√/10km C.CD=20 km D.△BCD的面积为号万kr 11.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)+2f(y)=2+yf(x+y),且当x<0时，f(x)<0,下 列结论正确的是 A.f(0)=0 B.f(x)是减函数 C.f(-10)<2f(-9) D.若f(a)+f(b)<f(a十b),则ab<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知t为实数，若“t一3<x<2+1”是“1<x<10”的必要不充分条件，则实数t的取值范围 为」 13.已知x=1是函数f(x)=一x(x一m)2的极小值点，则m= ,曲线y=f(x)的对称中心 为 .(第一空2分，第二空3分) 14.函数f(x)=|sin x+|cosx一al的最大值为g(a),a∈R,则g(a)在[0,3]上的取值范围 是 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知关于x的不等式mx2一(2m一1)x十m一1≥0的解集为M. (1)若M=(x|1≤x≤4)，求实数m的值； (2)若(x|1≤x≤4)二M,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为abc,且2(cos2A-simB)一co0s2C-1+号sin Asin B. (1)求cosC的值； (2)若a+2b=2√2(sinA+2sinB),求△ABC周长的最大值. 17.(本小题满分15分) 如图，已知函数f(x)=2cos(wx十p)(w>0,|p<牙)的图象经过点A(0,1),B(,1). (1)求f(x)的解析式； (2)若f号+骨)f号-爱)=-3，且sin(a-=,证明：tana=号tan (3)将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得到的曲线向左平移 晋个单位长度，得到函数y=g()的图象.若VeR,3z∈[于+0，+]，使得g(x∞)≤1，求 实数t的最小值 【高三数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=2lnx一ax,a∈R (1)若f(x)的最大值为f(2),求a的值： (2)若存在x使得f(x)>一1，求a的取值范围； (3)若a>0,f(x)≤er一x2恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 如 已知函数f(x)的定义域为R,对任意正实数t,定义集合D,=(xo|f(x十t)=f(xo)). (1若x∈(0,1)时，f(x)=logz,且2∈D,求f受)的值； 2)若fx)=T且D,为非空集合，求t的取值范围； 长 (3)若f(x)为偶函数，当0<x≤3时，f(x)=x一3，且Ht∈(0,6)，都有D,二D6. (i)求y=f(x),x∈(6,9)的解析式； (i)证明：对任意实数a,函数y=f(x)一a在区间[一9,9]上最多有9个零点. 【高三数学第4页（共4页）】高三数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 入y 2 3 4 6 8 答案 c A B D A D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD ACD 1.C命题“Hx>0,x3>3lnx”的否定为“]x>0,x3≤3lnx”,故选C. 2.A 函数fx)=5an(晋-7x)的最小正周期为T-平7=号，故选A 6 3.B 因为A= 慢要-1小，B=停-号，1小，所以AnB=停-1小放选R 2 4.D因为扇形扩大部分也是扇形，此扇形的圆心角为120°一80°=40，又40-牙，所以扇形的面积扩大了S= r=×号X-1g,放选D >9 9 5.Af(1)=1-f(1)-2-3,解得f(1)=-2,则f(x)=x3+2x2-2.x-3,f(x)=3.x2+4x-2,所以f(1)=5, 所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(-2)=5(x一1)，即5x一y-7=0,故选A. aD)=r-25er--是-员larinat2an 2 显然y=lnx在(0，十∞)上单调递增，而函数f(x)在(0，十∞)上为减函数，所以na·n2a<0. 因为。>1，所以n>0ln2a>0.则1n名<0.即h名<n1.所以名<1.解得a>2,放选D 7.B原式=os35(c0s25+c0s25°-cos359-c0s35(c0s25+2sinm30sin5°) cos 20 c0s20° =c0s35(cos25°+sin59)=c0s35(c0s25+cos859)=os35°·2c0s55cos30°=V5c0s35c0s55”_ cos20° c0s20° c0s20 c0s20° 如-号放选以 c0s20° 8.C函数g(x)=x5一a和函数h(x)=e-b(b>0)都是增函数，由于f(x)=g(x)h(x)≥0可知，两个函数g(x) 和h(x)的零点相同，则a=lnb,于是a一b=lnb一6令函数F(x)=nx一x,F(x)=子-1=，当0<x <1时，F(x)>0:当x>1时，F(x)<0,因此函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减，最大值 为F(1)=-1,即a-b的最大值为-1，故选C. .BD由v<万.得a<,所以A结误： a-a+c-a(b+c)-b(a十c2=a二b)c>0,所以%>士乡，B正确； bb+c 6(6-c) b(6-c) bb十c 。b-a-61D+。-方与+1≥2Va-6-·a5+1-3,当且仅当a-6-2时等号成立.C a-b+ 错误； +6-(日+6)a+方)=2+a+品≥2+2Vh·品)=1，当且仅当a=2.6-合时等号成立.D正 确.故选BD. 10.ABD由题意可知，∠CAB=90°-15°=75°，∠DAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°-45°=45°，∠ABD=90°- 30°=60°，所以∠ADB=180°-60°-30°=90°，A正确； 【高三数学参考答案第1页（共5页）】 AC 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60,由正弦定理得snC3sC,所以AC 105sin45=10√/10(km),B正确： s1n609 由AB=10√J15,得AD=10√15cos30°=15√5，在△ACD中，∠CAD=60°-15°=45°，CD3=AD+AC2 2AD:ACeos45=(155)+10V)-2X155×10V而×号-25则CD=25(km.C错误： 在△MBC中.由正孩定星得nSCm2C影BC-20/后sa75 AC 又BD-号AB=55,∠CBD=15,所以5m=号BD·BCsi∠CBD-号X5V5×205sin73sn15P- 2505sin15c0s15=250万×号sin30°=125y5(km),D正确，故i选ABD 2 11.ACD令x=y=0,则2f(0)十2f(0)=2f(0),解得f(0)=0,A正确； 因为f(0)=0,当x<0时，f(x)<0,所以f(x)不是减函数，B错误； 令g(x)=2f(x),则g(x)十g(y)=g(x十y),且g(0)=0,令y=-x,则g(x)十g(-x)=g(0)=0,所以g(x) 为奇函数，因为当x<0时，f(x)<0,所以当x<0时，g(x)=2∫(x)<0,设x1,x2∈R,且x1<x2,则g(x1) g(x2)=g(x)十g(一x2)=g(x1一x2),由于x1一x2<0,所以g(0-x2)<0,所以g(x1)<g(x2),因此g(x)是 增函数，则2-0f(-10)<29f(-9),所以f(-10)<2f(-9),C正确： 由C项可知，)=“，则/a)+/-9+婴，a+w》. 2a 若fa)+f6<a+b0.则@+2<g+边=8a+g.则（必-1Dga+2-1Dgb<0. 2a+b Da+b 当a<0,b0时，则2-1<0,24-1<0，g(a)<0,g(b)<0,所以(2-1)g(a)+(2-1)g(b)>0,不满足题意； 当a>0,b>0时，则2-1>0,2-1>0，g(a)>0,g(b)>0,所以(2-1)g(a)+(2-1)g(b)>0,不满足题意； 当a,b异号时，不妨设a>0,b<0,则2-1<0,2-1>0，g(a)>0,g(b)<0,所以(2-1)g(a)+(2a-1)g(b) <0,满足题意； 当a=0或b=0时，(2-1)g(a)+(24-1)g(b)=0. 综上可知，ab<0,D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(一，一U[3校据必要不充分条件的概念可知…任1.且等号不同时成立解得区一3或3K 4,所以实数t的取值范围为(-∞，一3]U[3,4幻. 13.3(2,-2)f'(x)=-(x-m)2-2x(x-m)=-(x-m)(3x-m), 令f()=0,解得x=m或x-号 当m=1时，f(x)=-(x-1)3x-1),当x<或x>1时，f(x)<0,所以fx)在(-o0,})和(1，+o∞)上单 调递减，当号<x<1时，(x)>0,所以f(x)在（号1）上单调递增，则x=1是f(x)的极大值点，不合题意； 当=1，即m=3时，f(x)=-(x-3)(3x-3),当x<1或x>3时，f(x)<0,所以f(x)在(-o∞，1)和(3，+∞) 上单调递减，当1<x<3时，f(x)>0,所以f(x)在(1,3)上单调递增，则x-1是f(x)的极小值点，符合题意. 因此m=3. 由三次函数的图象及f(x)的极小值点为1，极大值点为3，知曲线y=∫(x)的对称中心横坐标为2，又f(2)= 一2，所以曲线f(x)的对称中心为(2，一2). 14[,2]令4=sn+casx≥0.则F=sinx+2 ino+aosx=1+sm2a,所以1<≤2. 则l≤t≤2.f(x)=|t-a,所以g(a)=max{|1-a,2-a}(max{|1-al,2-a}表示|1-a, 2一a中的较大者). 令1-a≥反-u,解得a≥1 2 又ae[o]1<a≤3时ga)=1-a=a-1e[2,2]: 2 当0<<2时ga)=l2-al=E-a(], 综上所述，ga)在03]上的取值范围是[2,2】 【高三数学参考答案第2页（共5页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)因为关于x的不等式m.x2-(2m一1)x十m-1≥0的解集为{x1≤x≤4}， m0, 所以1X4=m一」，解得m=-子 …4分 (2)当m=0时，原不等式为x-1≥0，解得x≥1，所以M={x|x≥1}，显然满足{x1≤x≤4)二M;…6分 当m>0时，原不等式化为[mx-(m-1门(x-1D≥0，解得x<1-或x≥1，所以M= xx>1或x≤1-》，显然满足{z1≤x≤4M;…9分 当m<0时，原不等式化为xm(x-1D0.解得1≤≤1-所以M={ 由x1≤≤4M,得1-≥4，解得m0.…2 n 综上可知，实数m的取值范围为一子，十o∞.… …13分 16.解：1D由条件可知，2(1-simA-sinB)-(1-2sinC)=1+号sin Asin B.. …1分 整理得sim2A十siB一$imC=号sin Asin B,………………2分 由正弦定理得d+6-=一号ad … 4分 由余弦定理得，0sC=公+C= 2ab 3 6分 (2)油(1)得，simC=√1-cosC=22 3 **………*… 7分 由正张定理得，品C22 。3c所以a=3C后sinA,b=)5sinB,……9分 22 2√2 所以a+2b=,3C(sinA+2sinB)=22(sinA+2sinB》. 11分 22 又sinA+2simB>0,所以c= 3 12分 由a+8-=一号a6,得(a+bP-心-号a号×(，-a 3 所以a+长√得-5，当且仅当&=6-2时，取得等号。 3 …14分 故△ABC的周长的最大值为8+4V⑥ 3 …15分 17.(1)解：由题意可知，2c0s9=1,则cosg一7，又g<受，得9-土号 1分 由图象可知，点A在f(x)的增区间上.所以一一吾· …2分 又x=晋是函数)的图象的一条对称轴，根据五点作图法可知，答一号=0，解得w=2,……3分 所以f代）=2c0s(2x-5.… …4分 (2)i证明：由f号+否)f号-吾)=-3，得2cose·2os(g受)=-3，所以cos asin,g-是 …6分 又sin(a-B)=寻，则sinosin产}，所以sin acos 2 …7分 故sin acos 2 cos asin B 3 …9分 4 (3)解：由题意可知，g(x)=2cos(4x十 6 ）.…10分 由2cos(1x+吾)>1得，2k<4x+晋<2kx+于，k∈,解得经-<<经+，k∈. …12分 【高三数学参考答案第3页（共5页）】 要使V0∈R,3,∈[T+0,十们，使得g()≤1，则[开+0，t+0们的区间长度不小于g(x)>1解集的区间长 度，所以+0-（受+）≥经+贡-（经吾）=晋，解得≥登。 …14分 故实数1的最小值为受 …15分 18.解：(1)f(x)的定义域为(0，十oo),f(x)=2-a-2-a 1分 x 当a≤0时，f(x)=2二>0，故f(x)在(0，十oo)上单调递增，无最大值，不合题意； 2分 当>0时由(x)>0,解得0<x<名，由了(x)<0,解得x>名，故了(x)在(0，名)上单调递增，在 么，十o∞）上单调递减。…3 故f(x)的最大值为f(2),则2=2，得a=1. …4分 (2)由f(x)>-1可知a<2血1+1，即存在x∈0，+oo)满足a<2血+1 …5分 令p(x)=2n+1xe(0,+oo),则gx)=1-2n. .x2 6分 显然当x∈(0，)时，g(x)>0,即g(x)在(0)上单调递增；…7分 当x∈(We,+o∞)时，p'(x)<0,即p(x)在(We,十o∞)上单调递减； 8分 所以9(xx=g(e)=&,因此a<忌即可满足题意， 即a的取值范围为仁0心，) …10分 (3)由fx)≤er-x2,可得x2+2lnx≤er十a.x,即e2十lnx2≤er十a.x,…l2分 令g(x)=e十x,易知g(x)单调递增， 由e2+lnx≤e十a.x,可得g(ln2)≤g(ax),则lnx2≤a.x,即lnI≤号 2 …14分 设h(x)=h工，则h1(r)=1-n工，当心e时，h'()<0,h(x)单调递减， 当0<x<e时，h'(x)>0,h()单调递增，所以h(x)=he=1 ee …16分 所以号≥。得a≥名，因此a的取值范围为[名十） …17分 19.（1)解：由定义可知，号》=f号+5）=f号》，所以/号》=10g方--1.…2分 (2)解：因为D,为非空集合，所以存在x0,使得f(0十t)=f(x),…3分 根据单调性可知，当x≥0时，f(x)=x十2单调递增，当x<0时，f(x)=4一x2单调递增， 由f(xo十t)=f(x0)可知，0<0≤x0十t,所以x0十t十2=4-x,…4分 因为十t十2=4一x≥2，所以-√2≤x≤2，所以-√2≤x<0, 5分 所以1=-+2=-(++是∈[，是： 故：的取值范围为厄，. …6分 (3)(i)解：对Vx∈(3,6)，则x-6∈(-3,0)，因为f(x)为偶函数，所以f(x一6)=f(6-x), 又6-x-(x-6)=12-2x∈(0,6)，所以x-6∈D12-2二D6,…7分 则f(.x)=f(x-6)=f(6-x). 又6-x∈(0,3)，所以f(x)=f(6-x)=(6-x)-3=3-x,x∈(3,6). 8分 对于Hs∈(0,3)，则3-s∈(0,3)，3+s∈(3,6)， 所以f(3-s)=(3-s)-3=-s,f(3十s)=3-(3十s)=一s, 则f(3一5)=f(3十)，…9分 又3+s-(3-s)=2s∈(0,6)，(9-s)-(3-s)=6, 所以3一s∈D2,二D6,即f(3一s)=f(9一s),… …10分 当x∈(6,9)时，则x-6∈(0,3)，所以f(x)=f(x-6)=x-6-3=x-9. 故f(x)=x-9,x∈(6,9).… …11分 (ii)证明：根据f(x)为偶函数，作出f(x)在[一9,9]上的图象， 【高三数学参考答案第4页（共5页）】 其中f(-6)=f(6),f(-9)=f(9),但f(0),f(6),f(9)未知. 若f(一9)=b∈（一3,0），则-9-b∈(-9，一6)，易知x∈(-9，-6)时，f(x)=一x一9， 所以f(一9-b)=b,则f(-9-b)=f(-9),则-9∈D-b二D, 而x∈[-3,0)时，f(x)=-x-3,所以f(-9)=f(-3)=0,与f(-9)=b∈(-3,0)矛盾 所以f(一9)=b庄（一3,0），则f(9)=b氏(-3,0).…13分 当a≤-3或a>0时，结合图象可知，若f(-6)=f(6)=f(-9)=f(9)=f(0)=a时，函数y=f(x)-a在区 间[一9,9]上最多有5个零点；…14分 当a=0时，结合图象可知，若f(-6)=f(6)=f(一9)=f(9)=f(0)=0时，函数y=f(x)-a在区间[-9,9] 上最多有7个零点；…15分 当一3<a<0时，结合图象可知，若f(-6)=f(6)=f(0)=a时，函数y=f(x)一a在区间[-9,9]上最多有9 个零点.… …16分 综上可知，对任意实数a,函数y=f(x)一a在区间[一9,9]上最多有9个零点.…17分 【高三数学参考答案第5页（共5页）】