安徽省六安第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

六安一中2027届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，，那么为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D． 5．我国新能源汽车技术世界领先，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为了测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）（参考数据：，） A． B． C． D． 6．若曲线关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．记函数，的两个零点为和，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 10．设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 11．若，的图象在上有且仅有一条对称轴，则的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．求值： . 13．已知定义域为的函数，则关于实数的不等式的解集为 . 14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则正数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若，且，求的值． 16．（本小题满分15分） 已知函数 ，，其中是自然对数的底数． （1） 求函数的极值； （2） 求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立. 17．（本小题满分15分） 已知函数，. （1）若，求函数的解析式及定义域； （2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：在区间内有唯一的零点，且． 六安一中2027届高三年级第三次月考 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D C B A B C AC ABD BCD 12． 13． 14． 7.【详解】令，求导得，函数在上递增，则，即，因此，即；令，求导得，函数在上递增，，即，因此，即，所以，，的大小关系为. 8.【详解】令，即，联立方程，解得或，不妨设，则，，且，则，.对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误；对于选项AB：因为，则，且，可得，，则，故A错误；且，故B错误；10【详解】由题设且，对于A，，当且仅当时取等号；对于B，，则，故，当且仅当时取等号； 对于C，，由于，所以，当且仅当时取等号，C不正确； （另解：令，由题设得，所以，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号.） 对于D，因为，因为，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确.（另解：由得，，当且仅当时取等号.） 11. 【详解】函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，，函数的周期，，令，则， ，整理得，，且， 当时，由，解得；当时，由，解得； 当时，由，解得；当时，由，无解； 综上所述，实数的取值范围是. 14.【详解】由可得， 当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故对于，不等式成立的充要条件为.令，则不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立，即，即；令，，则，在上单调递增，故须大于等于在上的上确界，即；令，，则，在上单调递减，故须小于等于在上的下确界，即；综上，正数的取值范围为. 15.解析：（1）由题意得 ...........3分 所以的最小正周期为. 令，解得， 所以的单调递增区间为. ...........7分 （2）由题意得，即， 因为，所以，所以， ...........10分 所以. ..........13分 16．解析： （1） 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值 综上，当时，在上无极值 当时，有极小值，无极大值. ...........7分 （2） 当时，，要证：对于任意实数，. 即证：，. 令， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增，又 所以，即：，. 所以当时，对于任意实数，不等式恒成立. ...........15分 17.解析：（1），令，则 因为，所以， ...........3分 又得，解得或，则函数的定义域为. ...........5 分 （2）由（1）得, 方程，即,可转化为，且 ...........8分 ①当即时，，符合题意； ②当即时，的两根为 （i） 当时，，符合题意； ...........11分 （ii） 当时，且时，要满足题意，则有 或无解 ...........14分 综上，实数的取值范围为. ...........15分 18.解析：（1）由题设，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ...........5分 （2）解法一：由题设，令，则， 对时，恒成立，且，只需，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，. ...........12分 解法二：， 当，，单调递减，，与题意矛盾； 当，， 当，，当，，单调递减，，与题意矛盾； 当，当，，单调递减，，与题意矛盾； 当，当，，单调递增， ，满足题意. 综上，. ...........12分 （3）证明：由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. ...........17分 19. 解析：（1）当时，， ，切线的斜率 又，所以切点为， 所以切线方程为. ...........3分 （2）（ⅰ）函数，， 当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去 当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上单调递增，又，，所以在上有唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意 综上，的取值范围是． ...........8分 （ⅱ）由（ⅰ）知，当时， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增 所以时，，则，又因为， 所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点． ...........12分 因为，由（ⅰ）知，所以，则， 设，，则，，所以所以在上单调递增，又，所以 又时，，所以，所以． 由前面讨论知，，在单调递增，所以． ...........17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $