天津市武清区杨村第一中学2026-2027学年高一第一次学业质量检测数学试卷

天津市武清区杨村一中 2026~2027 学年度第一学期第一次学业质量检测 高一数学 参考答案与试题解析 一、选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C B B A D D C 1．（4分）已知集合 ，，，则 =（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求 在 中的补集，再与 求并集． 【解答】解：，， ， ． 故选：B． 2．（4分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】全称量词命题的否定：量词换成“存在”，结论取反． 【解答】解：原命题是“对任意实数 ，”， 其否定为“，”． 故选：A． 3．（4分）已知集合 = { 且 }，则集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把 用列举法写出来（注意 ），再算真子集个数：． 【解答】解： 且 ， 或 ，即 ． 的真子集个数为 ． 故选：C． 4．（4分）已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】逐项找反例，注意“一定成立”要求对任意取值都成立； 里已经隐含 ． 【解答】解：：取 ，，，，则 ，错误； ：，，两边同除以 得 ，正确； ：取 ，，，，则 ，错误； ：由 知 ，此时 ，即 ，错误． 故选：B． 5．（4分）若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个条件都解成区间，再用“小范围推大范围”判断． 【解答】解： 即 ，． 它是 的充分不必要条件，，且两者不相等， （当 时 ，符合）． 故选：B． 6．（4分）已知集合 = {}，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D．−2 【答案】A 【分析】 有两种可能： 或 ，但要检验集合中元素是否互异． 【解答】解：， 或 ． ①若 ，则 = {}，元素重复，舍去； ②若 ，即 ， 或 ， 当 时 = {}，元素重复，舍去；当 时 = {}，符合． ． 故选：A． 7．（4分）关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解集反推 、 的符号与关系，再把后面不等式因式分解． 【解答】解： 的解集为 ， ，且 ，即 ． 即 ， ，，解得 或 ． 故选：D． 8．（4分）若关于 的不等式 的解集不为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按 、、 讨论；“解集不为空集”意味着存在 使不等式成立． 【解答】解：①当 时， 不成立，解集为 ，不合题意； ②当 时，抛物线开口向上，要使 有解， 需 ，； ③当 时，抛物线开口向下， 充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合． 综上所述， 或 ． 故选：D． 9．（4分）下列说法中正确的个数是（　　） ① 的最小值为 ② 的最小值为 ③已知 ，则 ④已知 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐条验证：①换元后注意范围（等号能不能取到）；②展开后用基本不等式；③异号时两数都是负数；④用 ． 【解答】解：①令 ，则原式 ，， 在 上递增，最小值为 ，错误； ②，当 时取等号，正确； ③，，，，正确； ④，当 时取等号，正确． 正确的有 3 个． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分） 10．（5分）不等式 的解集为 　　　　． 【答案】 【分析】先移项通分，化成一端为 0 的分式不等式，再注意分母不为 0． 【解答】解：原不等式即 ，， ，即 ， 且 ， ． 故答案为：． 11．（5分）已知 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值集合为 　　　　． 【答案】{} 【分析】两个集合相等，元素必须完全一样；分两种情况对应，但都要检验元素互异． 【解答】解：，． ①若 且 ，则 或 ，，此时集合中有重复元素，舍去； ②若 且 ，则 ，（舍）或 ， 此时 ，，符合． 的取值集合为 {}． 故答案为：{}． 12．（5分）设 为全集，集合 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值范围是 　　　　． 【答案】 【分析】 就是 ；含参集合要先讨论是否为空集． 【解答】解：，． ①当 ，即 时，，符合； ②当 时，需 且 ，，结合 得 ． 综上所述，． 故答案为：． 13．（5分）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 　　　　． 【答案】 【分析】最高次项系数含参数，必须先讨论 ； 时要求开口向下且判别式小于 0． 【解答】解：①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 且 ， 解得 ． 综上所述，． 故答案为：． 14．（5分）已知 ，，，且 ，则 的最小值为 　　　　． 【答案】 【分析】先用 把 化成关于 的式子求最小值，再把 与 配成“积为定值”． 【解答】解：由 得 ，，，，． 令 ，则 ， ，记 ，， 则原式 ， 而 ， 原式 ， 当 （即 ）、（即 ）时取等号，最小值为 ． 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共59分） 15．（10分）已知集合 = {}， = {}， = {}． （1）求 ，； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先求交集再求补集，注意端点能否取到；（2） 是开口向右的区间， 就是 的左端点落在 内部或左侧． 【解答】解：（1），， ，， ． （2），， 要使 ，只需 ，即 ． 16．（12分）已知集合 = {}， = {}． （1）当 时，求 ，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】先把 解出来（因式分解成 ）；（2）“充分不必要”即 ，用端点列不等式． 【解答】解：由 得 ，，即 ． （1）当 时， 即 ，， ； 又 ， ． （2） “”是“”的充分不必要条件，． （长度 4，比 的长度 \frac{7}{2} 大，必不相等）， 且 ，． 17．（12分）若命题 ：，，命题 ：，． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 、 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】（1）“恒成立”把 分离出来，转化为求 的最大值；（2） 为真就是判别式非负，按“ 真 假”和“ 假 真”分类． 【解答】解：（1）， 恒成立， 恒成立． 当 或 时， 取最大值 ， ． （2） 为真时，， 或 ． ①若 真 假，则 且 ，； ②若 假 真，则 且（ 或 ），． 综上所述， 或 ． 18．（12分）已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）对于 ， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2）见解答（按 与 的大小分三类）；（3） 【分析】（1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系；（2）代入后因式分解成 ；（3）把 与 分开，后者分离参数求最小值． 【解答】解：（1） 解集为 { 或 }，，且 、 是 的两根， ，，解得 ，． （2）原不等式即 ，． ①当 时，解集为 ； ②当 时，，解集为 ； ③当 时，解集为 ． （3）当 时， 恒成立； 当 时，原不等式即 ， （当 时取等号），， ． 19．（13分）已知函数 （）． （1）若 ，，不等式 的解集为 ，求 的值； （2）若方程 有两个正实数根 ，（），且满足 ，求 的最大值； （3）若 恒成立且 时，求 的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）解集端点就是两根，用韦达定理；（2）先把方程整理成 ，由两根为正定出 、 的符号，再由 找出 与 的关系；（3） 恒成立给出 的下界，代入后用基本不等式． 【解答】解：（1）， 时 ， 的解集为 ，、 是两根， ，，． （2）方程即 ，两根为正，，，且 ． ，，， ．由 得 ，， ， ， 该式随 增大而减小， 当 时取上确界 ， 即 的最大值为 ． （3） 恒成立， 且 ，即 ． ，，． 令 ，则 ， 再令 ，则 ， 当 ，即 （此时 ）时取等号， 的最小值为 ． 高一数学 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村一中 2026~2027 学年度第一学期第一次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1．（4分）已知集合 ，，，则 =（　　） A． B． C． D． 2．（4分）命题“，”的否定是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）已知集合 = { 且 }，则集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 5．（4分）若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）已知集合 = {}，且 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D．−2 7．（4分）关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）若关于 的不等式 的解集不为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）下列说法中正确的个数是（　　） ① 的最小值为 ② 的最小值为 ③已知 ，则 ④已知 ，则 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10．（5分）不等式 的解集为 　　　　． 11．（5分）已知 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值集合为 　　　　． 12．（5分）设 为全集，集合 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值范围是 　　　　． 13．（5分）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 　　　　． 14．（5分）已知 ，，，且 ，则 的最小值为 　　　　． 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15．（10分）已知集合 = {}， = {}， = {}． （1）求 ，； （2）若 ，求 的取值范围． 16．（12分）已知集合 = {}， = {}． （1）当 时，求 ，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 17．（12分）若命题 ：，，命题 ：，． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 、 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围． 18．（12分）已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）对于 ， 恒成立，求 的取值范围． 19．（13分）已知函数 （）． （1）若 ，，不等式 的解集为 ，求 的值； （2）若方程 有两个正实数根 ，（），且满足 ，求 的最大值； （3）若 恒成立且 时，求 的最小值． 高一数学　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $