期中真题重组卷（福建专用，新教材人教版八上第13～16章）八年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级数学上册第13~16章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，5 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A．30 B．20 C．15 D．10 6．（25-26八年级上·福建莆田·期中）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是(　　) A．AB=DC,AC=DB B．AB=DC,∠ABC=∠DCB C．BO=CO,∠A=∠D D．AB=DC,∠DBC=∠ACB 9．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若则___________． 12．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 13．（25-26八年级上·福建莆田·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数为___________． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，且，则的面积为___________． 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1) (2) 18．（8分） （25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分） （25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，，．求证：． 20．（8分） （25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， 点D在上， 且． (1)尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； (2)在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 21．（8分） （25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 22．（10分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 23．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中画出关于x轴对称的其中点A的对称点是，点B的对称点是．点C的对称点是． (2)点是内部一点，点P在内部的对应点是点Q．若的面积为6，求a的值． 24．（12分）（25-26八年级上·福建莆田·期中）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    25．（14分）（25-26八年级上·福建南平·期中）已知：在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合）．以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． (1)若为等边三角形，当点D在线段上时，（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为 度； (2)若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若不是等边三角形，且（如图3所示）．试探究当点D在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 5 6 7 8 9 10 0 0 C D D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分) 27 11.2 12.（-2,-4) 13.22 14.70° 15.9 9 16.2 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分)【详解】(1)解：原式=2ad+(a)=2a+a=3a …(4分) =x2-y+3xy-3y2=x2+2xy-3y2 (2)解：原式 …(8分) 18.8分)【详解】解：原式[-2yy+(x-2yx+2）-2x(2x-)]÷2x =(x2-4y+4y2+x2-4y2-4x2+2xy）÷2x =(-2x2-2xy)÷2x =-x-y,…(6分) 当x=1,y=1-5时，原式-()-(-5)=-1+5=5 …(8分) 19.(8分)【详解】证明：，在△ABE和△ACD中 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠A=∠A AB=AC ∠B=∠C' …(4分) △ABE≌△ACD(ASA) …(7分) .AD=AE.…(8分) 20.(8分)【详解】(1) 如图所示，则BP=DP. …(4分) (2) 证明：：BP=DP,AB=AD,AP=AP, ∴.△ABP≌△ADP(SSS), .∠ADP=∠ABP, .∠ABP=2∠C, .∠ADP=2∠C, .∠ADP=∠DPC+∠C, ∴.∠DPC=∠C, .'PD=CD, BP=CD.…8分) 21.(8分)【详解】(1) 证明，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC .∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°， 在△AED和△AFD中， 2/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD △AED≌△AFD(AAS) .AE=AF,DE=DF, 点A、点D都在EF的垂直平分线上， ,AD垂直平分EF;…(4分) (2)解：DF=4, ∴.DE=DF=4, ,△ABC的面积为24，DE⊥AB,DF⊥AC 号4C-nF+号4-E=24 1 即)×7×4+1AB×4=24 AB=5.…(8分) 22.(10分)【详解】(1) 解：连接AE, F ,EF垂直平分AB, .AE=BE, .BE=AC, .AE=AC, :D是EC的中点， .AD⊥BC:…(5分) (2)解：设∠B=x°， 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=BE, .∠BAE=∠B=x°， 由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°， AE=AC, ∴.∠C=∠AEC=2x°， 在△ABC中，3x°+75°=180°， 解得，x°=35°， .∠B=35°.…(10分) 23.(10分)【详解】(1) 如图所示，△AB'C'为所作的图形： 2B: -5-4-3-2-1012345…(5分) R (2)点P(3,a)是△ABC内部一点， P(3)关于x销对称的点0的坐标为8-0），且>0， :P0垂直于x轴，长度为a-(←a=2a-2a,0到直线P0的距离为3， 1 .50ne=2x2ax3=3a=6, 解得a=2 答：a的值为2.…(10分) 24.(12分)【详解】解：(1)OC=OD,CE=DE,O=0E, AOCE≌aODE(SSS) .∠AOE=∠BOE, 4/7 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OE是∠AOB的角平分线： 故答案为：SSS …(4分) (2)证明：：OM=ON,CM=CN,OC=OC, :a0CM≌0CW(ssS) .∠AOC=∠BOC. .OC是∠AOB的角平分线： …(8分) (3)如图，点E即为所求作的点： -E …(12分) 中D 图5 25.(14分)【详解】(1)解：，△ABC为等边三角形，△ADE为等边三角形， AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=∠B=∠ACB=60°， :∠BAD=60°-∠DAC,∠CAE=60°-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .∠B=∠ACE=60°， .∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°， BD CE 60° 直线与直线所夹锐角为；…(4分) (2) 解：仍然成立，直线BD与直线CE所夹锐角为60°，证明： :△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=∠ACB=60°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 5/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴△BAD≌△CAE(SAS) .∠ACE=∠B=60°， ∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE)=60° ;…(7分) (3) 解：问题(1)中结论不成立， 当△ABC不是等边三角形时，不能证明直线BD与直线CE所夹锐角为60°， 当∠ACB=60°时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60°， 证明： ①当CD<AC时，在CB上截取一点G,使得CG=CA,连接AG(如图所示)， BG F·∠ACB=60° ∴△GAC是等边三角形， ∴.AC=AG,∠AGC=∠GAC=60°， :△ADE是等边三角形， .AE=AD,∠DAE=60° ∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD. .∠CAE=LGAD .△ACE≌△AGD(SAS). ∴∠ACE=∠AGD=60°， ∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE)=60° 此时直线BD与直线CE所夹锐角为60°，…(10分) ②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意.…(12分) ③当CD>AC时，延长EC到H,在CB上截取一点G,使得CG=CA,连接AG(如图所示). 6/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H G △ACE≌△AGD(SAS) 同①可 ∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°， ∴.∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°， 此时直线BD与直线CE所夹锐角为60°.…(14分) 7/7 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级数学上册第13~16章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（    ） A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，5 【答案】D 【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形； B、22+22≠22，故不能构成直角三角形； C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形； D、52+122=132，故能构成直角三角形， 故选D． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选B． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A．30 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【详解】解：过点D作于点G，如图 由作图可知是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 6．（25-26八年级上·福建莆田·期中）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； B、是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； D、， ， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是(　　) A．AB=DC,AC=DB B．AB=DC,∠ABC=∠DCB C．BO=CO,∠A=∠D D．AB=DC,∠DBC=∠ACB 【答案】D 【详解】A．由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； B．由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； C．由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误； D．由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确． 故选D． 9．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解；如图所示，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故选：B 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作轴于， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若则___________． 【答案】 【详解】解：， ， 因为， 所以原式=， 故答案为： 12．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，相反数分别为和，因此对称点的坐标是． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·福建莆田·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 【答案】22 【详解】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图所示的两个三角形全等，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，， ∵两个三角形全等， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，且，则的面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图，作边上的高， ， ， ， ， ， 故答案为： 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 【答案】 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．（8分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19．（8分）（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵在和△ACD中 ， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， 点D在上， 且． (1)尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； (2)在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 【答案】(1) 如图所示，则． (2) 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （1）作出的垂直平分线，即可解答； （2）先证明，得到，继而推导出，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 21．（8分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) 证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 22．（10分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 【答案】(1) 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； (2) 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 23．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中画出关于x轴对称的其中点A的对称点是，点B的对称点是．点C的对称点是． (2)点是内部一点，点P在内部的对应点是点Q．若的面积为6，求a的值． 【答案】(1) 如图所示，为所作的图形； (2)a的值为2 【详解】（1）略 （2）∵点是内部一点， ∴点关于x轴对称的点Q的坐标为，且， ∴垂直于x轴，长度为，O到直线的距离为3， ∴， 解得． 答：a的值为2． 24．（12分）（25-26八年级上·福建莆田·期中）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 【详解】解：（1）∵，，OE=OE， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）略； （3）略. 25．（14分）（25-26八年级上·福建南平·期中）已知：在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合）．以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． (1)若为等边三角形，当点D在线段上时，（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为 度； (2)若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若不是等边三角形，且（如图3所示）．试探究当点D在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：仍然成立，直线与直线所夹锐角为，证明： 与都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ； (3) 解：问题（1）中结论不成立， 当不是等边三角形时，不能证明直线与直线所夹锐角为， 当时，能使直线与直线所夹锐角为， 证明： ①当时，在上截取一点，使得，连接（如图所示）， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ∴， ， ， ， 此时直线与直线所夹锐角为， ②当时，点与点重合，不符合题意． ③当时，延长到，在上截取一点，使得，连接（如图所示）． 同①可证． ， ， 此时直线与直线所夹锐角为． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，为等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 直线与直线所夹锐角为； （2）略 （3）略 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $