专题04 整式的乘法（期中真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题04 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）已知，，则的值是（       ） A. 1 B.  C. 5 D. 6 2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中），是正整数，若，则，的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（       ） A.  B. 2 C. 1 D. 7 4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知,   则=　　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）计算：　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）若，，则的值为　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知，，则　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）若为正整数，则表示的是（　　） A. 9个相加 B. 3个相乘 C. 9个相乘 D. 3个相加 2．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）可写成   （       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）下列式子运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）下列运算正确的是(　　) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）下列运算中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）下列运算错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　　　 ． 17．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）（1）　　　　　　；       （2）　　　　　　． 18．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）计算：　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）计算：（1）　　　　　　　；（2）　　　　　　　． 因式分解：（3）　　　　　　　；（4）　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算：　　　　　　． 22．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）计算： （1）． （2）用乘法公式简便计算： （3） 23．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业计算：．解：原式． （1）计算：； （2）若，请求出的值． 24．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图①可以得到，那么利用图②所得到的数学等式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）对多项式添括号，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建泉州·期中）下列各式运算结果为的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）若，则m、n的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（     ） A. 15 B. 20 C. 21 D. 35 8．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）已知，，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  10．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）下列计算结果等于的是（     ） A. （10个a） B. （10个a） C. （5个） D.  11．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）下列运算结果为的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（     ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 14．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）下列各运算中，计算正确的是（　　） A. a12÷a3=a4 B. （3a2）3=9a6 C. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D. 2a•3a=6a2 15．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是（     ） A.  B.  C. 这个两位数为 D. 运算结果小于 16．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D. 4 17．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）计算：　　　　　． 18．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若的展开式中不含的二次项，则的值是　　　　　　． 20．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）计算：　　　　　　． 21．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若，则k的值为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）　　　　　． 23．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）若，则的值为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）计算：　　　　　　． 25．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）计算：　　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）计算： 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 27．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）计算： （1） （2） 28．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）计算： 　　　　　　； 　　　　　　； 　　　　　　； 29．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）计算： （1） （2） 30．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）计算 （1）； （2）． 31．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 32．（25-26学年八上·福建宁德·期中）计算： （1）； （2）． 33．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 34．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）直接写出结果： （1）　　　　　　　　； （2）　　　　　　　　； （3）　　　　　　　　； （4）　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）计算： （1）； （2）． 36．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）计算：　　　　　　． 37．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如果，则内应填的代数式是　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）． 39．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 40．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）先化简，再求值：，其中． 41．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）计算 （1）； （2）． 42．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． （1）已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； （2）若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： （3）若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 43．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为　　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）计算： （1）． （2）． 45．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_______，_______． （2）证明：． （3）小明在研究这种运算时提出：，你觉得这个结论正确吗？请说明理由． 46．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：             ，证明上述速算方法的正确性． 47．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． （1）试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； （2）若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； （3），，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 48．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． （1）请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； （2）用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 　　　　　　　　　（填序号）． ①； ②如，则实数的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 50．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=（a+b）（a2+2ab+b2）=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 “杨辉三角”里面蕴藏了许多的规律 （1）找出其中各项字母之间的规律以及各项系数之间的规律各一条； （2）直接写出（a+b）6展开后的多项式            ； （3）运用：若今天是星期四，经过84天后是星期       ，经过8100天后是星期     ． 51．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）计算： （1） （2） 52．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算： （1）； （2）． 53．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． （1）由图3可以解释的等式是_____； （2）用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； （3）用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 54．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是　　　　　． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）下面各式能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（      ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为，则上、下两个数的乘积为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）下列能用平方差公式计算的是（  ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是（       ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 12．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）计算： （1）； （2）简便计算：． 14．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是　　　　　　（用“”表示）． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）下列各式计算正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 4．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知，，求的值．”可以这样解：将完全平方公式变形得到．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形周长为，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（       ） A.  B. 8 C. 6 D. 12 8．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）下列等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）将变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 22 12．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若,则A为(       ) A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab 13．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C.  D. ±36 14．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）若等式成立，则M是（        ） A.  B.  C. － D. － 15．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）若是完全平方式，则m的值是（       ）． A. 6或 B. 10或 C. 或10 D. 或6 16．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）已知，则多项式的值等于（ ） A. 1 B. 4 C. -1 D. -4 17．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知，，，当，则的值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 19．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求出的值的是（     ） A. ①和②的面积差 B. 长方形纸片长和宽的差 C. 长方形纸片的周长和面积 D. 长方形纸片和②的面积差 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 21．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 22．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）先化简，再求值：（x+y）2+（2x+y）（2x﹣y）﹣x2，其中x＝﹣2，y＝1． 23．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若是完全平方式，则常数的值为　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）计算： （1）； （2）． 25．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）若，，则　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）计算： （1）； （2）． 27．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 28．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若多项式是一个完全平方式，则　　　　　　． 29．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 30．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）若，则代数式　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）先化简，再求值：，其中． 32．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）观察下列算式：①       ②       ③ （1）请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； （2）请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 33．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 34．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）运用乘法公式进行简便计算． （1） （2） 35．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）计算：=　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）先化简，再求值：，其中． 37．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 38．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，，则的值为            ． 【知识延伸】 若x满足，求的值．我们可以作如下解答： 设，，则，， 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若x满足，求的值． 【拓展探索】 （3）如图2，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为32的长方形，延长线段，分别交，于点Q，P，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长． 39．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 40．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 42．（25-26学年八上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 43．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出ab的值为                 ． 类比应用：（2）若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）先化简再求值：其中． 45．（25-26学年八上·福建漳州·期中）计算： （1）： （2）． 46．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）先化简，再求值：，其中，. 47．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．    （1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上抆照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______． （2）如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图．    （3）选取1张型卡片，4张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则与的关系是______． 48．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 50．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： （1）任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： （2）任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． （3）任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 51．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 52．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 53．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料 ，解答下列问题： （1）填空：                       ； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由． 54．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）阅读材料：当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____；当时，的最大值为______． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 55．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 56．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 57．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 58．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若，，则　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）计算： （1） （2） 60．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 问题提出 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：_____（用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式：_____（用图中字母表示）． 问题拓展 （2）如图3，一个边长为的大正方形被分割成3个正方形以及6个长方形．若，，求的值． 延伸应用 （3）已知正数，，和正数，，，满足，当时，构造适当几何图形，直观比较与的大小关系，再从代数角度证明该关系． 61．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 62．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 63．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， （1）写出第个式子：               ． （2）按照以上规律，第个等式为               ，写出证明过程． 64．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）若4a+3b=1，则8a+6b-3的值为　　　　　　. 65．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 66．（25-26学年八上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为　　　　　　． 67．（25-26学年八上·福建泉州·期中）（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，，的面积为9，设，，求与的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知，，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 68．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 69．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 70．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． （1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； （2）填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 71．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； （2）若，求的值． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．D 2．B 3．C 4．【答案】15 【分析】逆用同底数幂相乘即可求出. 【详解】 = =3×5 =15 故答案为15 【点睛】此题考查的是逆用同底数幂的乘法，熟练掌握幂的性质是解决此题的关键. 5．【答案】 【分析】 本题考查同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加来计算． 【详解】 解：根据同底数幂的乘法法则：（、都是正整数）， ． 故答案为：． 6．【答案】8 【分析】 本题考查同底数幂的乘法的逆运算，熟记公式是解题的关键．根据同底数幂的乘法逆运算即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 7．【答案】24 【分析】 本题考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：24． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C 13．A 14．B 15．D 16．【答案】 【分析】 本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 17．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 对于（1）应用积的乘方法则；对于（2）应用幂的乘方法则． 【详解】 解：（1） ； （2）； 故答案为：；． 18．【答案】 【分析】 本题利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】 解：． 19．【答案】①     ②     ③     ④ 【分析】 （1）根据同底数幂相乘的运算性质，底数不变，指数相加； （2）根据积的乘方的运算性质，将每个因式分别乘方； （3）通过提取公因式进行因式分解； （4）利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】 （1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20．【答案】 【分析】 本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可计算． 通过将  转化为 ，再利用积的乘方的逆运算计算，再计算乘法，即可求解． 【详解】 解：原式   ， 故答案为： 21．【答案】 【分析】 根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】 原式． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，平方差公式是解题的关键： （1）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）根据幂的运算法则进行运算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 24．【答案】16 【分析】 本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 考点03 整式的乘法 1．B 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C 13．D 14．D 15．C 16．A 17．【答案】1 【分析】 考察零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1．易错点注意底数不能为0． 根据，所以，即可得答案． 【详解】 因为 ，大于 3.14，所以 ， 因此 ． 故答案为：1． 18．【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂除法的逆用，掌握其运算法则是关键． 逆用同底数幂除法的法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：4 ． 19．【答案】 【分析】 根据多项式乘多项式的计算法则和的积中不含x的二次项，即可求得m的值． 【详解】 ， ∵的积中不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查多项式乘多项式，将多项式乘积合并同类项后找准二次项的系数是解题关键． 20．【答案】1 【分析】 本题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂等于1解答即可． 【详解】 解：因为， 所以． 故答案为：1． 21．【答案】1 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式． 通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值． 【详解】 解：， ∵， 即 可得． 故答案为： 1． 22．【答案】1 【分析】 本题考查了零次幂，任何非零数的零次方都等于1，据此进行计算，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：1 23．【答案】 【分析】 本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 24．【答案】1 【分析】 本题考查了0指数幂．利用0指数幂的定义“任何非零数的零次幂等于1”即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：1． 25．【答案】4y 【分析】 本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 26．【答案】①     ②     ③     ④     ⑤ 1    ⑥ 【分析】 本题考查指数运算的基本法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂以及积的乘方逆用．计算时需严格遵循指数运算法则． 【详解】 解：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）； （幂的乘方，底数不变，指数相乘）； （积的乘方，等于每个因式分别乘方）； （系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减）； （任何非零数的零次幂等于1）； （逆用积的乘方法则，指数为奇数，负数的奇次幂为负）． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的乘方运算，单项式乘以单项式，合并同类项，正确计算是解答本题的关键． （1）先计算幂的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：． 28．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则．根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则，进行计算即可． 【详解】 解：； ； ． 故答案为：；；． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次根式的运算及零次幂，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据二次根式的运算及零次幂可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方及单项式乘以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法及积的乘方可进行求解； （2）根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 31．【答案】（1）     （2）15500元      【分析】 本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 即种植蔬菜的面积为． (2) 小问详解： 解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 32．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可得到答案； （2）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算减法即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 33．【答案】解：正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关，理由 ： 依题意，正方形的边长为， 设长方形的菜地的面积为，正方形的面积为 依题意， ， ∴的值与m的大小无关． 即相差的面积与的大小无关， ∵， ∴正方形的面积大， 故正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关， 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识．先表示出正方形的边长为，再根据求差法比较大小，即可求解． 【详解】 略 34．【答案】①     ②     ③     ④ 【分析】 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则计算； （2）根据单项式除以单项式的法则计算； （3）根据单项式乘以多项式的法则计算； （4）根据多项式乘以多项式的法则计算． 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4） ； 故答案为：，，，． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 36．【答案】 【分析】 此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知多项式除以单项式的运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则即可求解． 【详解】 解：． 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 此题主要考查了整式的除法，直接利用单项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】 解：由题意，． 故答案为：． 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则计算得出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 39．【答案】； 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】 解： ， 将，代入得：原式． 40．【答案】， 【详解】 解： ， 当时，原式 ． 41．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式． 根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．【答案】（1）     （2）     （3）7      【分析】 本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． (1) 小问详解： 解：由题知， ； (2) 小问详解： 解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； (3) 小问详解： 解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 43．【答案】90 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】 解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法与除法，积的乘方等计算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 原式． 45．【答案】（1）3；0     （2） 证明：设，， 则，， ， ， ∴     （3） 成立，理由如下， 设，则，即， ，即， ∴．      【分析】 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，零指数幂，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定的运算规则即可求解． （2）设，，则，，可得，则，即可证得结果． （3）设，则，即，则，即，即可求证． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． 故答案为：3；0． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 46．【答案】（1）图（1）：，图（2）：，图（3）：     （2） 根据题意，几何图形如图所示：      （3） 示意图如下：      （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析      【分析】 本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证． (1) 小问详解： 解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即； (4) 小问详解： 解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为：， ∴这两个数的乘积为：； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 47．【答案】（1） 不是，理由： 它们不是“和谐多项式群”．     （2）①； ② 证明： ，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为      （3），      【分析】 本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）① 根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；② 由题可知，将① 中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ，，为“和谐多项式群” ② 略 (3) 小问详解： ① 当时 ， ，（舍） ② 当时 ， 解得 ． 48．【答案】（1），（答案不唯一）     （2） 理由如下：设两个两位数分别为，，其中， ．      【分析】 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位，由此规律可解决问题； （2）利用整式的计算方法计算验证正确性即可． (1) 小问详解： 解：观察算式，两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位， 例如：，； (2) 小问详解： 略 49．【答案】① 【分析】 此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，由，推出的范围，可判断① ；由知，解这个不等式组，可判断② ；分两种情况：当时，，当时，，分别求出的值，可判断③ ；由题意推出，再由不等式的性质推出，则的值为或或0或1或2，进一步求出的值，可判断④ ． 【详解】 解：①， ， ， ， 因此① 是正确的； ②， ， 解得， 因此② 是错误的； ③， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 综上，的值为或， 因此③ 是错误的； ④，， ， ， ， ， ， ，则的值为或或0或1或2， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个， 因此④ 是错误的． 故答案为：① ． 50．【答案】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）星期五，星期五． 【分析】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）展开后得a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）分别展开84和8100后看最后一项即可． 【详解】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）84=（7+1）4的最后一项是1， ∴经过84天后是星期五； 8100=（7+1）100的最后一项是1， ∴经过8100天后是星期五； 故答案为星期五，星期五． 【点睛】本题考查多项式的展开；能够根据定义，通过观察找到规律，再结合多项式乘以多项式的特点求解即可． 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，熟练掌握积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式是解题的关键． （1）先算积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式的运算即可； （2）根据多项式除以单项式的法则计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 52．【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）先计算平方项，算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，系数相除后再进行同底数幂的除法，最后将负指数幂化为正指数幂即可； 本题主要考查了二次根式的加减混合运算，单项式除以单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 53．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键． （1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和，由此即可求解； （2）边长为的正方形纸片，长为、宽为的长方形纸片的面积为，边长为的正方形纸片的面积为，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解； （3）设的长为．根据图示可知，，，由此即可求；根据题意有，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：， ∵面积相等， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：， ∴拼成一个大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：， ∵，， ∴， ∴， ∴大正方形的边长为； (3) 小问详解： 解：设的长为， ∴，， ∴， ∴； ∵无论取任何实数时，的结果始终保持不变， ∴中含项的系数为零， ∴，即． 54．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质，解一元一次不等式．先根据题意得到，推出，则，由恒成立，得到，则． 【详解】 解；∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 平方差公式 1．C 2．B 3．A 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D 11．B 12．【答案】160 【分析】 本题考查平方差公式，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过设定平方数关系，利用平方差公式将问题转化为求解二元一次方程组，根据因数分解和奇偶性确定唯一解． 【详解】 解：设，，其中、为自然数，则． 由平方差公式，． ∵、为自然数，和同奇偶，且， ∴解方程组 ，得，． 代入，得． 故答案为． 13．【答案】（1）     （2）9996      【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，利用平方差公式进行简便计算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 考点05 完全平方公式 1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 11．C 12．C 13．C 14．B 15．C 16．B 17．A 18．A 19．D 20．【答案】 【分析】 本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 21．【答案】，11 【分析】 先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 22．【答案】4x2+2xy， 12． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝x2+2xy+y2+4x2﹣y2﹣x2＝4x2+2xy， 当x＝﹣2，y＝1时，原式＝16﹣4＝12． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．【答案】 【分析】 本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，则有如下特征：① 该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方‌；③第三项是这两数（或式）的积的倍．据此解答即可． 【详解】 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质与运算法则． （1）先化简，再进行乘除法计算，最后进行加减计算； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算括号，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ． 25．【答案】19 【分析】 首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】 解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．【答案】，2 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 28．【答案】 【分析】 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 【详解】 解：， ， 解得． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 先计算括号里的完全平方公式、平方差公式，再去括号、合并同类项，再由多项式除以单项式得到化简结果，再将，代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 本题考查整式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 30．【答案】 【分析】 本题考查代数式化简求值，掌握整体代入方法求代数式值是解决问题的关键． 先由单项式乘以多项式，再合并同类项化简代数式，得到简化形式，再代入已知条件 计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ， 原式， 故答案为：． 31．【答案】，4 【分析】 本题考查完全平方公式和平方差公式一化简求值，正确计算是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再合并同类项进行化简，最后代入数值计算． 【详解】 解： ， 把代入． 32．【答案】（1）     （2）； 证明： ．      【分析】 本题考查了数字规律，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可得出第④ 个算式； （2）观察题干的过程，以及（1）中的第④ 个算式为：，则第个算式为：，然后把等式的左边的式子展开合并同类项，得，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，第④ 个算式为：； (2) 小问详解： 解：观察题干的过程以及（1）中的第④ 个算式为：； 以此类推，得第个算式为：； 33．【答案】；1 【分析】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用多项式除以单项式，用平方差公式运算，去括号，合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 34．【答案】（1）10201     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先将原式化为，再运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先将原式化为，再运用平方差公式进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 35．【答案】 【分析】 根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】 解：． 故答案为： 【点睛】 本题考查了根据完全平方公式进行计算，熟知完全平方公式是解题关键． 36．【答案】，1 【分析】 本题考查了整式的混合运算（多项式除以单项式、平方差公式）及代数式求值，解题的关键是正确运用运算法则化简代数式． 先对多项式除以单项式展开运算，再用平方差公式展开另一部分，合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 【详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 答：化简结果为，代数式的值为． 37．【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式．先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 38．【答案】（1）62 （2） （3）12 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】 解：（1），，而， ， 故答案为：62； （2）设，， 由题意得，， ， ， ； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，  由题意知， ，即， 长方形的面积为32， ， ， ， 该正方形的边长为． 39．【答案】（1）     （2）     （3） 能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除.      【分析】 （1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ． ． (2) 小问详解： 解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． (3) 小问详解： 略 40．【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解． 【详解】 解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 41．【答案】（1）的值不可能为负数， 理由：． ， ． 的值不可能为负数．     （2）的值一定是偶数， 理由: ． m是整数， 一定是偶数． 的值一定是偶数．      【分析】 本题考查了平方差公式，完全平方公式，平方的非负性，偶数的概念等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．【答案】； 【分析】 此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据整式的混合运算先进行化简，再将，代入求解即可； 【详解】 解： ， 当，时， ； 43．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用完全平方公式求解； （2）令，，分别求得与，再利用完全平方公式求出即可； （3）设正方形和的边长分别为a、b，先求得、，再利用完全平方公式求出即可． 【详解】 （1）解：∵，，， ∴，解得：， 故答案为：； （2）a满足， 令，， 则，， ∴ 即； （3）设正方形和的边长分别为a、b， 则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 44．【答案】， 【分析】 此题考查整式的混合运算—化简求值，重点考查了平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 先利用平方差公式和单项式乘以多项式计算，然后去括号合并同类项，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： 当时， 原式= 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，绝对值，平方差公式，完全平方公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质，绝对值进行化简，再计算加减法即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 46．【答案】， 【分析】利用完全平方公式及平方差公式展开，根据合并同类项法则化简出最简结果，把x、y的值代入求值即可. 【详解】原式= = = 当，时，原式= = = 【点睛】本题主要考查整式的运算，灵活运用完全平方公式及平方差公式是解题关键. 47．【答案】（1）     （2） 拼图如图所示：    ；     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）根据题意画出图形即可； （3）设的长为，表示出，从而得出，结合为定值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积为：， 故有：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设的长为， ，， ， 为定值， ， ， 故答案为：． 48．【答案】，5 【分析】 本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式． 利用完全平方公式、整式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子求值即可． 【详解】 解： ， 代入，，原式． 49．【答案】， 【分析】 本题考查平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，代数式求值． 根据平方差公式和完全平方公式，对括号内的部分进行去括号，合并同类项，再计算多项式除以单项式，将字母的值代入计算即可． 【详解】 解： ； 当，时， 原式 ． 50．【答案】（1）①；②51     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）① 类比立方和公式可求出； ② 把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． (1) 小问详解： 解：① ； ② ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； (2) 小问详解： 解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； (3) 小问详解： 解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 51．【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】 解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 52．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； (2) 小问详解： 由（1）可得， ， ， ， ； (3) 小问详解： ， ， ， ； (4) 小问详解： 设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 53．【答案】（1），     （2）；最小值为：     （3）， ∵， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据完全平方公式的特点，尾项加上，从而可得答案； （2）把原式化为，再结合完全平方式的特点与性质可得答案； （3）先计算，再利用完全平方式的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：，； (2) 小问详解： ； ∵， ∴； ∴的最小值为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方式并灵活应用是解本题的关键． 54．【答案】（1）2，；     （2）最小值为17；     （3）四边形面积的最小值为49．      【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，三角形面积，掌握利用完全平方公式求最值的方法是解题关键． （1）根据材料信息，当，时， ，当且仅当时取等号，即可求解； （2）根据材料信息，当，时， ，当且仅当时取等号，即可求解； （3）设，根据等高三角形面积之比等于边之比，得到，进而求出，再根据材料求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为17； (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为49． 55．【答案】， 【分析】 先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时， 原式． 【点睛】 本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． 56．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）利用（1）的结论进行解答即可． (1) 小问详解： 解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 57．【答案】（1）1；（2），6 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将所求式子利用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，最后将数值代入计算． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 58．【答案】或 【分析】 本题考查代数式求值，由已知条件采用构造一元二次方程求出或由配方法直接求解是解决问题的关键． 由条件和，可通过代入法求解和，再计算；或利用代数关系直接求均可． 【详解】 解：方法一：由得， 代入得， 即， 整理得， ， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为：或； 方法二：，， ， 即， 代入得， 解得， 则， ， 故答案为：或． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是整式的混合运算，多项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法，单项式乘以单项式和合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，零指数幂，再算同底数幂的除法和多项式除以单项式，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 60．【答案】（1）①； ②； （2）12； （3）， 构造的图形，如图所示， 根据图形面积可得：当时，； 证明：， ， ，， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的运算法则． （1）① 用四个小长方形面积和大长方形面积公式表示出大长方形的面积，即可得出答案； ② 用两个正方形的面积加上两个长方形面积得出大正方形面积，根据大正方形面积公式求出大正方形面积即可； （2）根据图3得出，然后整体代入求值即可； （3）先构造图形，得出当时，，用多项式乘多项式运算法则，进行证明即可． 【详解】 解：（1）① 大长方形的面积为， 大长方形的面积也可以表示为， ∴； ② 大正方形面积为， 大正方形的面积也可以表示为， ∴； （2）由图3可知： ， ， ； （3）略 61．【答案】（1），     （2）①；②；；     （3）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值； ②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． (1) 小问详解： 解：图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①， ， ，， ； ②由图2可得， ，， ， ， ． 故答案为：；若，则 设，，则，， ∵，∴，解得，∴，∴ ． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 62．【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】 解： ， 把，代入得： 原式． 63．【答案】（1）     （2） 解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴．      【分析】 （）通过题干中的等式找出规律解答即可； （）根据（）找出规律写出等式，并通过计算进行证明即可； 本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键． (1) 小问详解： 解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 64．【答案】-1 【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解． 【详解】∵4a+3b=1， ∴8a+6b=2， 8a+6b-3=2-3=-1； 故答案为-1． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 65．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算的相关法则（如单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方、平方差公式、完全平方公式等）． （1）利用单项式乘多项式法则计算； （2）分别计算同底数幂的乘法和积的乘方，再合并同类项； （3）利用积的乘方的逆运算进行简便计算； （4）分别利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 66．【答案】 【分析】 本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】 解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 67．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查完全平方公式变形应用，掌握公式变形应用的方法，数形结合，是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形和，得出，根据，得出，，利用公式变形得出，即可求解； （2）设，则，根据，得，结合题意知，利用公式变形得出，即可求解． 【详解】 解：（1）∵等腰直角三角形和， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴与的面积之和为： ． （2）设，，则，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形BMHN的面积为：． 68．【答案】（1），；     （2） ①证明：和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ② 4      【分析】 （1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）① 利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ② 利用① 中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：①略 ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 69．【答案】4 【分析】 本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 70．【答案】（1）     （2）     （3）， 画图如下：      （4）2号卡片的边长为      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． (1) 小问详解： 解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． (2) 小问详解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． (3) 小问详解： 解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， (4) 小问详解： 解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 71．【答案】（1）；     （2）14     （3）1856      【分析】 本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为；图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为；由此即可得； （2）利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得； （3）先求出，则，，再求出四边形是正方形，利用正方形的面积公式和完全平方公式变形求值即可得． (1) 小问详解： 解：图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为， 所以图1所验证的关系式是． 图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为， 所以图2所验证的关系式是． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ． (3) 小问详解： 解：∵长方形中，， ∴， ∵，， ∴，， 由长方形的性质得：， ∵， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵过点、作、的垂线，两垂线相交于点，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积 ， 答：的值为1856． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）已知，，则的值是（       ） A. 1 B.  C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查指数运算的基本性质，直接应用法则即可求解.利用指数运算法则，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加. 【详解】 解：∵ ，， ∴ . 故选D. 2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中），是正整数，若，则，的数量关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，将整理得，即可求解． 【详解】 解： ， ， 故选：B． 3．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（       ） A.  B. 2 C. 1 D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】 解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知,   则=　　　　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】逆用同底数幂相乘即可求出. 【详解】 = =3×5 =15 故答案为15 【点睛】此题考查的是逆用同底数幂的乘法，熟练掌握幂的性质是解决此题的关键. 5．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加来计算． 【详解】 解：根据同底数幂的乘法法则：（、都是正整数）， ． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）若，，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查同底数幂的乘法的逆运算，熟记公式是解题的关键．根据同底数幂的乘法逆运算即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知，，则　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题考查了同底数幂相乘的逆运算．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：24． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）若为正整数，则表示的是（　　） A. 9个相加 B. 3个相乘 C. 9个相乘 D. 3个相加 【答案】B 【分析】 本题考查幂的乘方运算法则，即；解题的关键点在于深刻理解幂的乘方的定义，通常易错点在于混淆幂的乘方与同底数幂的乘法；利用指数运算法则，计算幂的乘方，指数相乘，得到结果后与选项进行对比． 【详解】 ∵（幂的乘方运算法则）， ∴． 选项A、9个相加表示为：，不符合题意； 选项B、3个相乘表示为：，符合题意； 选项C、9个相乘表示为：，不符合题意； 选项D、3个相加表示为：，不符合题意． 故选B． 2．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）可写成   （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方法则即可得． 【详解】 解：A、，则此项符合题意； B、，则此项不符题意； C、，则此项不符题意； D、，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 3．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法法则逐项判断即可． 【详解】 解：A．，原式错误，不符合同意； B．，计算错误，不符合题意； C．，原式错误，不符合同意； D．，原式正确，不符合同意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）下列式子运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，根据单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方逐项判断即可． 【详解】 解：A． ，本选项式子运算错误； B． ，本选项式子运算错误； C． ，本选项式子运算正确； D． ，本选项式子运算错误． 故选：C 5．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）下列运算正确的是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故错误； B. ，故错误； C. ，正确， D. ，故错误； 故选C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 6．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，合并同类项等知识；分别按照合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方进行判断即可． 【详解】 解：A、和不是同类项，不能合并，故运算错误； B、，故运算正确； C、，故运算错误； D、，故运算错误； 故选：B． 7．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】 解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算错误，故本选项不符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，运算正确，故本选项符合题意， 故选：D． 8．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）下列运算中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】 解：选项A、，所以选项A错误，不符合题意； 选项B、，所以选项 B正确，符合题意； 选项C、，所以选项C错误，不符合题意； 选项D、，所以选项 D错误，不符合题意． 故选：B． 9．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）下列运算错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别计算，然后判断即可． 【详解】 解：A． ，故此选项计算正确，不符合题意； B． ，故此选项计算正确，不符合题意； C． ，故此选项计算错误，符合题意； D． ，故此选项计算正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟知相关运算公式和法则是解题的关键． 10．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【详解】 A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可． 【详解】 解：A、a2、a4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键． 12．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 13．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查指数运算的基本规则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法），解题的关键是熟练掌握各运算的法则． 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则，对每个选项进行计算并判断对错． 【详解】 解：A、根据同底数幂的乘法法则，可得，正确； B、根据幂的乘方法则，可得，错误； C、根据积的乘方法则，可得，错误； D、根据同底数幂的除法法则，可得，错误． 故选：A． 14．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方，运用相关知识需逐一验证各选项是否正确即可． 【详解】 解：A、∵ = = ≠ ，∴错误，不符合题意； B、∵ = = ≠ ，∴错误，不符合题意； C、∵ = = ≠ ，∴错误，不符合题意； D、∵ = = ，与选项一致，∴正确，符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）（1）　　　　　　；       （2）　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 对于（1）应用积的乘方法则；对于（2）应用幂的乘方法则． 【详解】 解：（1） ； （2）； 故答案为：；． 18．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】 解：． 19．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）计算：（1）　　　　　　　；（2）　　　　　　　． 因式分解：（3）　　　　　　　；（4）　　　　　　　． 【答案】①     ②     ③     ④ 【分析】 （1）根据同底数幂相乘的运算性质，底数不变，指数相加； （2）根据积的乘方的运算性质，将每个因式分别乘方； （3）通过提取公因式进行因式分解； （4）利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】 （1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．逆用积的乘方运算法则即可计算． 通过将  转化为 ，再利用积的乘方的逆运算计算，再计算乘法，即可求解． 【详解】 解：原式   ， 故答案为： 21．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】 原式． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 22．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）计算： （1）． （2）用乘法公式简便计算： （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，平方差公式是解题的关键： （1）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）根据幂的运算法则进行运算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式． 23．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业计算：．解：原式． （1）计算：； （2）若，请求出的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 24．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 25．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）若，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】 解：， ， ． 故答案为：． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图①可以得到，那么利用图②所得到的数学等式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 图2的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此即可得出等式． 【详解】 解：图2的面积可表示为一个大的正方形的面积：， 还可表示为所分成的9个图形的面积之和：， 则有：． 故选：B． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，利用数形结合的思想是解题关键． 2．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）对多项式添括号，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据添括号法则：括号前面是正号，括号里面每一项的符号不变，括号前面为负号，括号里面的每一项都要变号，进行判断即可． 【详解】 解：多项式添括号，可得：； 故选A． 【点睛】 本题考查添括号．熟练掌握添括号法则，是解题的关键． 3．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是单项式乘多项式．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】 解：∵左边 ． 右边， ∴内应填写． 故选：A． 4．（25-26学年八上·福建泉州·期中）下列各式运算结果为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂的运算性质分析判断即可； 【详解】 不能合并，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键． 5．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一解答即可． 【详解】 解：A．不能合并，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）若，则m、n的值分别为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】 解：， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（     ） A. 15 B. 20 C. 21 D. 35 【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，得出的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，含有的项是左数第四项为：． 【详解】 解：通过观察得：的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，且a的次数从7逐次减低，b的次数从0逐次增加，项的次数都是7， 所以含有的项是左数第四项为：， 故选：D． 8．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了单项式乘以多项式的应用， 根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽列式求解即可． 【详解】 ∵长方形的两条边长分别是和， ∴此长方形的面积是． 故选：B． 9．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）已知，，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．先将通过同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算拆解成含有和的式子，再根据已知条件把，代入求解即可． 【详解】 ，， ． 故选C． 10．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）下列计算结果等于的是（     ） A. （10个a） B. （10个a） C. （5个） D.  【答案】B 【分析】 本题考查幂的运算，需根据整式的加减乘除性质逐一计算各选项，判断是否等于 ． 【详解】 解：∵ 选项A：10个a相加，即 ， ∴ ，故A不符合． ∵ 选项B：10个a相乘，即 ， ∴ ，故B符合． ∵ 选项C：5个相加，即 ， ∴ ，故C不符合． ∵ 选项D：， ∴ ，故D不符合． 故选：B． 11．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）下列运算结果为的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了幂的运算性质，准确分析计算是解题的关键． 根据幂的运算法则，计算各选项的幂次，判断是否等于． 【详解】 解：选项：，选项错误，不符合题意； 选项：，选项错误，不符合题意； 选项：，选项正确，符合题意； 选项：不是同类项，不能合并，不等于，选项错误，不符合题意； 故选． 12．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知，则的值等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先将展开化简，再根据已知条件变形得到的值，最后代入化简后的式子计算．本题主要考查了多项式乘法的展开以及整体代入思想，熟练掌握多项式乘多项式法则并能根据已知条件进行整体代入是解题的关键． 【详解】 解：， ∴, ∴，即， 故选：C ． 13．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）若x+n与3﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数n的值为（     ） A. ﹣3 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【分析】 将式子按照多项式乘多项式法则展开后，进行加减计算，令x的系数为0即可求出结果． 【详解】 解：（x+n）（3-x） =3x-x2+3n-nx =-x2+（3-n）x+3n， ∵x+n与3-x的乘积中不含x的一次项， ∴3-n=0， 解得n=3． 故选：D． 【点睛】 本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 14．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）下列各运算中，计算正确的是（　　） A. a12÷a3=a4 B. （3a2）3=9a6 C. （a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D. 2a•3a=6a2 【答案】D 【分析】 根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得． 【详解】 A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意； B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意； C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意； D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意， 故选D． 【点睛】 本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键． 15．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知，根据图2中现有数据进行推断，一定正确的是（     ） A.  B.  C. 这个两位数为 D. 运算结果小于 【答案】C 【分析】 本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．根据题意得出或，或，即可判断A，B，由第二行可得：，即可判断C选项，进而判断D选项，即可求解． 【详解】 解：依题意，如图所示， ∴或，或，故A，B不一定正确； 由第二行可得： ∴ ∴这个两位数为，故C该选项正确，符合题意， ∵，故D错误， 故选：C． 16．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了同底数幂的乘除法逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用指数运算性质，将已知条件转化为以9为底的幂，然后代入所求表达式求解． 【详解】 解： 故选：A． 17．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）计算：　　　　　． 【答案】1 【分析】 考察零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1．易错点注意底数不能为0． 根据，所以，即可得答案． 【详解】 因为 ，大于 3.14，所以 ， 因此 ． 故答案为：1． 18．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂除法的逆用，掌握其运算法则是关键． 逆用同底数幂除法的法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：4 ． 19．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若的展开式中不含的二次项，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据多项式乘多项式的计算法则和的积中不含x的二次项，即可求得m的值． 【详解】 ， ∵的积中不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查多项式乘多项式，将多项式乘积合并同类项后找准二次项的系数是解题关键． 20．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂等于1解答即可． 【详解】 解：因为， 所以． 故答案为：1． 21．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若，则k的值为　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式． 通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值． 【详解】 解：， ∵， 即 可得． 故答案为： 1． 22．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了零次幂，任何非零数的零次方都等于1，据此进行计算，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：1 23．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了0指数幂．利用0指数幂的定义“任何非零数的零次幂等于1”即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：1． 25．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】4y 【分析】 本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）计算： 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　　； 【答案】①     ②     ③     ④     ⑤ 1    ⑥ 【分析】 本题考查指数运算的基本法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂以及积的乘方逆用．计算时需严格遵循指数运算法则． 【详解】 解：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）； （幂的乘方，底数不变，指数相乘）； （积的乘方，等于每个因式分别乘方）； （系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减）； （任何非零数的零次幂等于1）； （逆用积的乘方法则，指数为奇数，负数的奇次幂为负）． 27．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的乘方运算，单项式乘以单项式，合并同类项，正确计算是解答本题的关键． （1）先计算幂的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：． 28．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）计算： 　　　　　　； 　　　　　　； 　　　　　　； 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则．根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则，进行计算即可． 【详解】 解：； ； ． 故答案为：；；． 29．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次根式的运算及零次幂，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据二次根式的运算及零次幂可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 30．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方及单项式乘以单项式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法及积的乘方可进行求解； （2）根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 31．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． （1）用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） （2）若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】（1）     （2）15500元      【分析】 本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 即种植蔬菜的面积为． (2) 小问详解： 解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 32．（25-26学年八上·福建宁德·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可得到答案； （2）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算减法即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 33．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 【答案】解：正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关，理由 ： 依题意，正方形的边长为， 设长方形的菜地的面积为，正方形的面积为 依题意， ， ∴的值与m的大小无关． 即相差的面积与的大小无关， ∵， ∴正方形的面积大， 故正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关， 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识．先表示出正方形的边长为，再根据求差法比较大小，即可求解． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）直接写出结果： （1）　　　　　　　　； （2）　　　　　　　　； （3）　　　　　　　　； （4）　　　　　　　　． 【答案】①     ②     ③     ④ 【分析】 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则计算； （2）根据单项式除以单项式的法则计算； （3）根据单项式乘以多项式的法则计算； （4）根据多项式乘以多项式的法则计算． 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4） ； 故答案为：，，，． 35．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了整式的混合计算，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 36．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知多项式除以单项式的运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则即可求解． 【详解】 解：． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如果，则内应填的代数式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了整式的除法，直接利用单项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】 解：由题意，． 故答案为：． 38．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则计算得出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算得出答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 39．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】 解： ， 将，代入得：原式． 40．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】 解： ， 当时，原式 ． 41．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式． 根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； 用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． （1）已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； （2）若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： （3）若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）7      【分析】 本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． (1) 小问详解： 解：由题知， ； (2) 小问详解： 解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； (3) 小问详解： 解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 43．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为　　　　　　　　　． 【答案】90 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】 解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法与除法，积的乘方等计算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 原式． 45．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_______，_______． （2）证明：． （3）小明在研究这种运算时提出：，你觉得这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】（1）3；0     （2） 证明：设，， 则，， ， ， ∴     （3） 成立，理由如下， 设，则，即， ，即， ∴．      【分析】 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，零指数幂，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定的运算规则即可求解． （2）设，，则，，可得，则，即可证得结果． （3）设，则，即，则，即，即可求证． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． 故答案为：3；0． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：             ，证明上述速算方法的正确性． 【答案】（1）图（1）：，图（2）：，图（3）：     （2） 根据题意，几何图形如图所示：      （3） 示意图如下：      （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析      【分析】 本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证． (1) 小问详解： 解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即； (4) 小问详解： 解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为：， ∴这两个数的乘积为：； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 47．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． （1）试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； （2）若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； （3），，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】（1） 不是，理由： 它们不是“和谐多项式群”．     （2）①； ② 证明： ，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为      （3），      【分析】 本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）① 根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；② 由题可知，将① 中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ，，为“和谐多项式群” ② 略 (3) 小问详解： ① 当时 ， ，（舍） ② 当时 ， 解得 ． 48．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． （1）请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； （2）用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 【答案】（1），（答案不唯一）     （2） 理由如下：设两个两位数分别为，，其中， ．      【分析】 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位，由此规律可解决问题； （2）利用整式的计算方法计算验证正确性即可． (1) 小问详解： 解：观察算式，两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位， 例如：，； (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 　　　　　　　　　（填序号）． ①； ②如，则实数的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 【答案】① 【分析】 此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，由，推出的范围，可判断① ；由知，解这个不等式组，可判断② ；分两种情况：当时，，当时，，分别求出的值，可判断③ ；由题意推出，再由不等式的性质推出，则的值为或或0或1或2，进一步求出的值，可判断④ ． 【详解】 解：①， ， ， ， 因此① 是正确的； ②， ， 解得， 因此② 是错误的； ③， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 综上，的值为或， 因此③ 是错误的； ④，， ， ， ， ， ， ，则的值为或或0或1或2， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个， 因此④ 是错误的． 故答案为：① ． 50．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=（a+b）（a2+2ab+b2）=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 “杨辉三角”里面蕴藏了许多的规律 （1）找出其中各项字母之间的规律以及各项系数之间的规律各一条； （2）直接写出（a+b）6展开后的多项式            ； （3）运用：若今天是星期四，经过84天后是星期       ，经过8100天后是星期     ． 【答案】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）星期五，星期五． 【分析】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）展开后得a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）分别展开84和8100后看最后一项即可． 【详解】（1）字母的规律a降幂排列，b升幂排列；系数符合斐波那契数列； （2）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （3）84=（7+1）4的最后一项是1， ∴经过84天后是星期五； 8100=（7+1）100的最后一项是1， ∴经过8100天后是星期五； 故答案为星期五，星期五． 【点睛】本题考查多项式的展开；能够根据定义，通过观察找到规律，再结合多项式乘以多项式的特点求解即可． 51．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，熟练掌握积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式是解题的关键． （1）先算积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式的运算即可； （2）根据多项式除以单项式的法则计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 52．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）先计算平方项，算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，系数相除后再进行同底数幂的除法，最后将负指数幂化为正指数幂即可； 本题主要考查了二次根式的加减混合运算，单项式除以单项式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 53．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． （1）由图3可以解释的等式是_____； （2）用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； （3）用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键． （1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和，由此即可求解； （2）边长为的正方形纸片，长为、宽为的长方形纸片的面积为，边长为的正方形纸片的面积为，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解； （3）设的长为．根据图示可知，，，由此即可求；根据题意有，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：， ∵面积相等， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：， ∴拼成一个大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：， ∵，， ∴， ∴， ∴大正方形的边长为； (3) 小问详解： 解：设的长为， ∴，， ∴， ∴； ∵无论取任何实数时，的结果始终保持不变， ∴中含项的系数为零， ∴，即． 54．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）请同学们学习材料：①若，则； ②． 解决以下问题：，，当恒成立时，的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质，解一元一次不等式．先根据题意得到，推出，则，由恒成立，得到，则． 【详解】 解；∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形是长为，宽为，根据两者相等，即可验证平方差公式． 【详解】 解：由题意得：． 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了零指数幂，积的乘方逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】 解：∵， ∵ ， ∵ ， ， ， ∴, ，， 故． 故选：B． 3．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．根据平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】 解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）下面各式能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】 解：A、能用平方差公式计算，故符合题意； B、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】 解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 6．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 根据公式判断解答即可． 【详解】 解：A. 不符合公式，本选项错误；  B. 不符合公式，本选项错误； C. 符合公式，本选项正确；         D. 不符合公式，本选项错误；     故选：C． 7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为，则上、下两个数的乘积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 设中间的数为，则上面的数为，下面的数为，然后相乘利用平方差公式求解即可． 【详解】 解：设中间的数为，则上面的数为，下面的数为， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）下列能用平方差公式计算的是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握平方差公式． 将四个式子计算，找出能运用平方差公式进行运算的即可． 【详解】 解：，不能用平方差公式计算，故A不符合； ，能用平方差公式计算，故B符合； ，不能用平方差公式计算，故C不符合； ，不能用平方差公式计算，故D不符合； 故选：B． 9．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式的应用，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，平方差公式逐一判断即可． 【详解】 解：∵ 选项A：，故A错误； ∵ 选项B： ，故B错误； ∵ 选项C：，故C正确； ∵ 选项D：，故D错误． ∴ 故选：C． 10．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键．根据平方差公式逐项判断即可得． 【详解】 解：A、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； C、，能用平方差公式计算，则此项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，则此项符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是（       ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】B 【分析】 本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案． 【详解】 解：在方案①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在方案②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，不可以验证平方差公式． 故选：B． 12．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】160 【分析】 本题考查平方差公式，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过设定平方数关系，利用平方差公式将问题转化为求解二元一次方程组，根据因数分解和奇偶性确定唯一解． 【详解】 解：设，，其中、为自然数，则． 由平方差公式，． ∵、为自然数，和同奇偶，且， ∴解方程组 ，得，． 代入，得． 故答案为． 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）计算： （1）； （2）简便计算：． 【答案】（1）     （2）9996      【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，利用平方差公式进行简便计算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 14．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是　　　　　　（用“”表示）． 【答案】 【分析】 本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】 解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 【详解】 解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）下列各式计算正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方和单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】 解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】 解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 4．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知，，求的值．”可以这样解：将完全平方公式变形得到．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形周长为，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【分析】 本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】 解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 7．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（       ） A.  B. 8 C. 6 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 8．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）下列等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了添括号，完全平方公式，掌握去括号与添括号法则以及完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据添括号法则以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】 解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选：D． 9．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，列出代数式来求解． 【详解】 解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：， 即 ， 由图乙得：， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）． ∴正方形B的面积为6． 故选：C． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分的面积是解题的关键． 10．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）将变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查完全平方公式，根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】 解：，； ； 故只有选项C符合题意； 故选C． 11．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 22 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方式，正方形的面积和整式的混合运算等知识点，先求出，，然后计算出，再根据，求出，最后整体代入计算即可． 【详解】 解：根据题意，得，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选：C． 12．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若,则A为(       ) A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab 【答案】C 【详解】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2， ∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab． 故选C． 点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍． 13．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C.  D. ±36 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方式，运用完全平方式的定义进行变形、求解即可． 【详解】 解：∵ ， ∴当时，是一个完全平方式， 故选：C． 14．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）若等式成立，则M是（        ） A.  B.  C. － D. － 【答案】B 【详解】解：根据等式 可得: M= 故选：B． 15．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）若是完全平方式，则m的值是（       ）． A. 6或 B. 10或 C. 或10 D. 或6 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方式：利用完全平方公式得到或，从而得到，然后解关于的方程． 【详解】 解：是一个完全平方式， 或， ， 或． 故选：C． 16．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）已知，则多项式的值等于（ ） A. 1 B. 4 C. -1 D. -4 【答案】B 【分析】 由a2-2b-1=0可得a2-2b=1，而2a2-4b+2=2（a2-2b）+2；将a2-2b=1代入即可求出多项式2a2-4b+2的值． 【详解】 解：∵a2-2b-1=0； ∴a2-2b=1； 则2a2-4b+2=2（a2-2b）+2=2×1+2=4； 故选：B． 【点睛】 本题考查了求代数值的值，解题的关键是用好整体代换的思想． 17．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了乘法公式的几何意义，完全平方公式和平方差公式的应用，根据图甲和图乙中阴影部分的面积列出等式，再通过对等式的变形和计算，分别判断每个选项的正确性． 【详解】 解：图甲中阴影部分的面积为，即，故B选项正确； 图乙中阴影部分的面积为，即，故选项D正确； ∴，故选项C正确； ∴，故选A错误． 故选：A． 18．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知，，，当，则的值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查了已知式子的值求代数式的值，完全平方公式．利用，，的关系，得，将转化为关于c的方程，进行求解，即可作答． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 展开得：， ∴， ∴， 故选：A． 19．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求出的值的是（     ） A. ①和②的面积差 B. 长方形纸片长和宽的差 C. 长方形纸片的周长和面积 D. 长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】 本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项B、C不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项A不符合题意； ∵长方形纸片和② 的面积差为， ∴若知道长方形纸片和② 的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】 本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 21．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【分析】 先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 22．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）先化简，再求值：（x+y）2+（2x+y）（2x﹣y）﹣x2，其中x＝﹣2，y＝1． 【答案】4x2+2xy， 12． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝x2+2xy+y2+4x2﹣y2﹣x2＝4x2+2xy， 当x＝﹣2，y＝1时，原式＝16﹣4＝12． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）若是完全平方式，则常数的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，则有如下特征：① 该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方‌；③第三项是这两数（或式）的积的倍．据此解答即可． 【详解】 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质与运算法则． （1）先化简，再进行乘除法计算，最后进行加减计算； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算括号，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： ． 25．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）若，，则　　　　　． 【答案】19 【分析】 首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】 解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 26．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 28．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）若多项式是一个完全平方式，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 【详解】 解：， ， 解得． 故答案为：． 29．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】 先计算括号里的完全平方公式、平方差公式，再去括号、合并同类项，再由多项式除以单项式得到化简结果，再将，代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 【点睛】 本题考查整式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 30．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）若，则代数式　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查代数式化简求值，掌握整体代入方法求代数式值是解决问题的关键． 先由单项式乘以多项式，再合并同类项化简代数式，得到简化形式，再代入已知条件 计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ， 原式， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】 本题考查完全平方公式和平方差公式一化简求值，正确计算是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开表达式，再合并同类项进行化简，最后代入数值计算． 【详解】 解： ， 把代入． 32．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）观察下列算式：①       ②       ③ （1）请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； （2）请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 【答案】（1）     （2）； 证明： ．      【分析】 本题考查了数字规律，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可得出第④ 个算式； （2）观察题干的过程，以及（1）中的第④ 个算式为：，则第个算式为：，然后把等式的左边的式子展开合并同类项，得，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，第④ 个算式为：； (2) 小问详解： 解：观察题干的过程以及（1）中的第④ 个算式为：； 以此类推，得第个算式为：； 33．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用多项式除以单项式，用平方差公式运算，去括号，合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 34．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）运用乘法公式进行简便计算． （1） （2） 【答案】（1）10201     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先将原式化为，再运用完全平方公式进行计算，即可作答． （2）先将原式化为，再运用平方差公式进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 35．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）计算：=　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】 解：． 故答案为： 【点睛】 本题考查了根据完全平方公式进行计算，熟知完全平方公式是解题关键． 36．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】 本题考查了整式的混合运算（多项式除以单项式、平方差公式）及代数式求值，解题的关键是正确运用运算法则化简代数式． 先对多项式除以单项式展开运算，再用平方差公式展开另一部分，合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 【详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 答：化简结果为，代数式的值为． 37．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式．先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 38．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，，则的值为            ． 【知识延伸】 若x满足，求的值．我们可以作如下解答： 设，，则，， 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若x满足，求的值． 【拓展探索】 （3）如图2，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为32的长方形，延长线段，分别交，于点Q，P，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长． 【答案】（1）62 （2） （3）12 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】 解：（1），，而， ， 故答案为：62； （2）设，， 由题意得，， ， ， ； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，  由题意知， ，即， 长方形的面积为32， ， ， ， 该正方形的边长为． 39．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】（1）     （2）     （3） 能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除.      【分析】 （1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ． ． (2) 小问详解： 解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． (3) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解． 【详解】 解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 41．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）的值不可能为负数， 理由：． ， ． 的值不可能为负数．     （2）的值一定是偶数， 理由: ． m是整数， 一定是偶数． 的值一定是偶数．      【分析】 本题考查了平方差公式，完全平方公式，平方的非负性，偶数的概念等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年八上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】 此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据整式的混合运算先进行化简，再将，代入求解即可； 【详解】 解： ， 当，时， ； 43．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出ab的值为                 ． 类比应用：（2）若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用完全平方公式求解； （2）令，，分别求得与，再利用完全平方公式求出即可； （3）设正方形和的边长分别为a、b，先求得、，再利用完全平方公式求出即可． 【详解】 （1）解：∵，，， ∴，解得：， 故答案为：； （2）a满足， 令，， 则，， ∴ 即； （3）设正方形和的边长分别为a、b， 则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 44．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）先化简再求值：其中． 【答案】， 【分析】 此题考查整式的混合运算—化简求值，重点考查了平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 先利用平方差公式和单项式乘以多项式计算，然后去括号合并同类项，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： 当时， 原式= 45．（25-26学年八上·福建漳州·期中）计算： （1）： （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，绝对值，平方差公式，完全平方公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质，绝对值进行化简，再计算加减法即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 46．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【分析】利用完全平方公式及平方差公式展开，根据合并同类项法则化简出最简结果，把x、y的值代入求值即可. 【详解】原式= = = 当，时，原式= = = 【点睛】本题主要考查整式的运算，灵活运用完全平方公式及平方差公式是解题关键. 47．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．    （1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上抆照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式______． （2）如果用若干张，，三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图．    （3）选取1张型卡片，4张型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且为定值，则与的关系是______． 【答案】（1）     （2） 拼图如图所示：    ；     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）根据题意画出图形即可； （3）设的长为，表示出，从而得出，结合为定值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积为：， 故有：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设的长为， ，， ， 为定值， ， ， 故答案为：． 48．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】 本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式． 利用完全平方公式、整式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子求值即可． 【详解】 解： ， 代入，，原式． 49．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，代数式求值． 根据平方差公式和完全平方公式，对括号内的部分进行去括号，合并同类项，再计算多项式除以单项式，将字母的值代入计算即可． 【详解】 解： ； 当，时， 原式 ． 50．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： （1）任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： （2）任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． （3）任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 【答案】（1）①；②51     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）① 类比立方和公式可求出； ② 把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． (1) 小问详解： 解：① ； ② ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； (2) 小问详解： 解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； (3) 小问详解： 解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 51．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】 解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 52．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； (2) 小问详解： 由（1）可得， ， ， ， ； (3) 小问详解： ， ， ， ； (4) 小问详解： 设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 53．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料 ，解答下列问题： （1）填空：                       ； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由． 【答案】（1），     （2）；最小值为：     （3）， ∵， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据完全平方公式的特点，尾项加上，从而可得答案； （2）把原式化为，再结合完全平方式的特点与性质可得答案； （3）先计算，再利用完全平方式的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：，； (2) 小问详解： ； ∵， ∴； ∴的最小值为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方式并灵活应用是解本题的关键． 54．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）阅读材料：当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____；当时，的最大值为______． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）2，；     （2）最小值为17；     （3）四边形面积的最小值为49．      【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，三角形面积，掌握利用完全平方公式求最值的方法是解题关键． （1）根据材料信息，当，时， ，当且仅当时取等号，即可求解； （2）根据材料信息，当，时， ，当且仅当时取等号，即可求解； （3）设，根据等高三角形面积之比等于边之比，得到，进而求出，再根据材料求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为17； (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为49． 55．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 先由计算括号里的，由完全平方和公式、平方差公式展开，再结合整式加减运算化简，最后由整式除法运算求解得到，再将，代入运算后的结果求值即可得到答案． 【详解】 解： ， 当，时， 原式． 【点睛】 本题考查整式混合运算求值，涉及完全平方和公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识，熟记整式混合运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． 56．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）利用（1）的结论进行解答即可． (1) 小问详解： 解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 57．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2），6 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将所求式子利用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，最后将数值代入计算． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 58．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）若，，则　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查代数式求值，由已知条件采用构造一元二次方程求出或由配方法直接求解是解决问题的关键． 由条件和，可通过代入法求解和，再计算；或利用代数关系直接求均可． 【详解】 解：方法一：由得， 代入得， 即， 整理得， ， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为：或； 方法二：，， ， 即， 代入得， 解得， 则， ， 故答案为：或． 59．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是整式的混合运算，多项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法，单项式乘以单项式和合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，零指数幂，再算同底数幂的除法和多项式除以单项式，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 60．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 问题提出 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：_____（用图中字母表示）．②如图2，借助①，写出一个我们学过的乘法公式：_____（用图中字母表示）． 问题拓展 （2）如图3，一个边长为的大正方形被分割成3个正方形以及6个长方形．若，，求的值． 延伸应用 （3）已知正数，，和正数，，，满足，当时，构造适当几何图形，直观比较与的大小关系，再从代数角度证明该关系． 【答案】（1）①； ②； （2）12； （3）， 构造的图形，如图所示， 根据图形面积可得：当时，； 证明：， ， ，， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的运算法则． （1）① 用四个小长方形面积和大长方形面积公式表示出大长方形的面积，即可得出答案； ② 用两个正方形的面积加上两个长方形面积得出大正方形面积，根据大正方形面积公式求出大正方形面积即可； （2）根据图3得出，然后整体代入求值即可； （3）先构造图形，得出当时，，用多项式乘多项式运算法则，进行证明即可． 【详解】 解：（1）① 大长方形的面积为， 大长方形的面积也可以表示为， ∴； ② 大正方形面积为， 大正方形的面积也可以表示为， ∴； （2）由图3可知： ， ， ； （3）略 61．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1），     （2）①；②；；     （3）      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值； ②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． (1) 小问详解： 解：图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：①， ， ，， ； ②由图2可得， ，， ， ， ． 故答案为：；若，则 设，，则，， ∵，∴，解得，∴，∴ ． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 62．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】 解： ， 把，代入得： 原式． 63．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， （1）写出第个式子：               ． （2）按照以上规律，第个等式为               ，写出证明过程． 【答案】（1）     （2） 解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴．      【分析】 （）通过题干中的等式找出规律解答即可； （）根据（）找出规律写出等式，并通过计算进行证明即可； 本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键． (1) 小问详解： 解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）若4a+3b=1，则8a+6b-3的值为　　　　　　. 【答案】-1 【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解． 【详解】∵4a+3b=1， ∴8a+6b=2， 8a+6b-3=2-3=-1； 故答案为-1． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 65．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式运算的相关法则（如单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方、平方差公式、完全平方公式等）． （1）利用单项式乘多项式法则计算； （2）分别计算同底数幂的乘法和积的乘方，再合并同类项； （3）利用积的乘方的逆运算进行简便计算； （4）分别利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 66．（25-26学年八上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】 解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 67．（25-26学年八上·福建泉州·期中）（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，，的面积为9，设，，求与的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知，，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查完全平方公式变形应用，掌握公式变形应用的方法，数形结合，是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形和，得出，根据，得出，，利用公式变形得出，即可求解； （2）设，则，根据，得，结合题意知，利用公式变形得出，即可求解． 【详解】 解：（1）∵等腰直角三角形和， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴与的面积之和为： ． （2）设，，则，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形BMHN的面积为：． 68．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． （2）如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】（1），；     （2） ①证明：和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ② 4      【分析】 （1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）① 利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ② 利用① 中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：①略 ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 69．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 70．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． （1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； （2）填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． （3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】（1）     （2）     （3）， 画图如下：      （4）2号卡片的边长为      【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． (1) 小问详解： 解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． (2) 小问详解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． (3) 小问详解： 解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， (4) 小问详解： 解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 71．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）现有边长为a的正方形，边长为b的正方形，长与宽分别为a、b的小长方形各若干个，用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形以及两个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形围成图2的图形，请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：____________；图2表示：____________； （2）若，求的值． （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至T，使．延长至O，点O落在长方形内部，使，过点O、T作、的垂线，两垂线相交于点，记四边形的面积为，求的值． 【答案】（1）；     （2）14     （3）1856      【分析】 本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为；图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为；由此即可得； （2）利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得； （3）先求出，则，，再求出四边形是正方形，利用正方形的面积公式和完全平方公式变形求值即可得． (1) 小问详解： 解：图1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即为，也等于两个小正方形的面积之和，即为， 所以图1所验证的关系式是． 图2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为，也等于中间小正方形的面积，即为， 所以图2所验证的关系式是． 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ． (3) 小问详解： 解：∵长方形中，， ∴， ∵，， ∴，， 由长方形的性质得：， ∵， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵过点、作、的垂线，两垂线相交于点，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积 ， 答：的值为1856． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $