专题03 轴对称（期中真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化，下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（     ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 7．（25-26学年八上·福建福州·期中）杭州第19届亚运会，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌，总计383枚奖牌的成绩锁定奖牌榜第一的位置．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      8．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）下列数学符号是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）团结协作共发展，求真务实育新人，我校迎来了建校119周年校庆．下列文字为轴对称图形的是（     ） A. 我 B. 爱 C. 五 D. 中 10．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）下列图形是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列命题是假命题的是（       ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 有理数包含正有理数、负有理数 D. 两点之间，线段最短 12．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      13．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ）． A.          B.      C.      D.  14．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·福建泉州·期中）能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（       ） A.      B.      C.      D.      19．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）若是轴对称图形，中线所在直线为其唯一的一条对称轴，则下列说法正确的是（       ） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 以上都不对 20．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，下面是折纸示意图，则是的（     ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上答案都不对 21．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A. 4 B.  C.  D. 13 22．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中） 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（　　） A. △ADH是等边三角形 B. NE=BC C. ∠BAE=15° D. ∠MAH+∠NEH=90° 25．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A.  B. 4 C. 5 D. 8 28．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 29．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）已知命题A：“若a为实数，则”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（　　） A. a＝1 B. a＝0 C. a＝﹣1﹣k（k为实数） D. a＝﹣1﹣k2（k为实数） 30．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（     ） A.  B. 和是全等三角形 C.  D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 31．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是　　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则　　　　　　．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 33．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． （1）点A的坐标为                  ，点C的坐标为                   ； （2）将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 34．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）综合与实践． 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    （1）概念理解． 如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）． （2）性质探究． 如图，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． （3）拓展应用． 如图，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点 ①请写出图中的“筝形”：______（写出一个即可）． ②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 35．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在长方形中，，为边上一点，连接，作关于对称的，点与点关于对称，设，若点在内（不包括边界），则的取值范围是　　　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 2．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（       ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（   　 ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（     ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 5．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 6．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则　　　　　． 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题　　　　　　． 10．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长为　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 12．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，要在公路l旁修建一个超市P，使超市到A、B两个小区的距离相等，请在图中画出超市P的位置（保留作图痕迹，说明理由）． 14．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，在中，点E为的中点，，若，，则　　　　　　． 15．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长　　　　　　． 16．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则　　　　　　． 17．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 18．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，在中，．    （1）尺规作图：在边上取一点，连接，使； （2）在（1）的条件下，若，，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 19．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，在中，为钝角，为的平分线． （1）尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分． 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于 E，交直线于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，交于点O，若平分，请在（1）的基础上说明． 21．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，，其中． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，的周长为13，求的周长； （3）在（2）的条件下，若是等腰三角形，则______；_______． 22．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：在内部求作一点P，使，且； （2）连接PC，若，求的大小． 23．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；作线段的垂直平分线交于点，交于点；连接，（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：． 24．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）已知中，，如图所示． （1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线交于； ②作线段的垂直平分线交于，交于，垂足为； ③连接． （2）在（1）的基础上，写出图中一对全等的三角形并加以证明． 25．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，等边三角形，点D、E在边，上，且．连接，交于点F，G为延长线上一点，且满足，的平分线交于点H，过G作于点M． （1）求证：； （2）若，点P在上，求的最小值． 27．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）在平面直角坐标系中，点的垂直平分线交于点，交于点，点是直线上一点，且点在点的上方，． （1）求点的坐标： （2）求点的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且．若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 28．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，已知，， （1）利用直尺和圆规在上作点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点也在的垂直平分线上，判断的形状，并证明． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 8．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D.  9．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点B的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于x轴对称点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）点关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　 15．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4．    （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 16．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在平面直角坐标系中点关于x轴对称点的坐标为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知，解答下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为               ；（直接写出结果） （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为               ． 18．（25-26学年八上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是　　　　　　． 19．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1的坐标：A1_________；B1_________；C1_________． 20．（25-26学年八上·福建宁德·期中）已知点，若点在轴上，则点的坐标为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在正方形网格的格点上． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，并写出点的坐标； （2）与关于轴对称，画出，并写出点的坐标． 22．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都是格点，点的坐标是．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答下列问题． （1）关于轴对称的图形，（点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），请在图中画出；并直接写出点E，F的坐标； （2）点O到线段的距离为___________． 23．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标分别是． （1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系： （2）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标： （3）写出点关于直线（直线上各点的纵坐标都是）对称点的坐标． 25．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出，使和关于轴对称，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点的位置． 28．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在格点上． （1）已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整； （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为          ； （3）在直线l上找出点P，使最短． 29．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）是___________．（填“直角三角形”，“锐角三角形”或“钝角三角形”） （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为___________． 30．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴的对称图形； ②画出沿x轴向右平移4个单位长度的图形 （2）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是            ． 31．（25-26学年八上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请直接写出点A、B的坐标； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）求的面积． 32．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形； （2）点的坐标为___________，的面积为___________． 33．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）， （1）请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标； （2）点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________， ____________． 34．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 35．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于x轴成轴对称，画出 （2）点的坐标为______，的面积为______． （3）在y轴上画出点P，使最小． 36．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 37．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标和的面积． 38．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） （1）画出格点关于直线的对称的； （2）的面积为_______； （3）在上画出点P，使最小． 39．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的图形（点、、分别对应、、），并写出、、坐标：________，________，________； （2）若点在y轴上，当线段的值最小时，请直接写出点坐标________． 40．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形顶点上． （1）在图中画出与关于直线MN成轴对称的． （2）在直线上画一点P．使．（在图中标出点P，保留画图痕迹，不写画法） 41．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使得的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小明的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小明进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小明的思路求出点C的坐标． 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点A处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点B处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥（点M在上，点N在上）可以使A、B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（   ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 2．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（     ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 4．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 5．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 6．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（        ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，在等腰直角中，，，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图所示，是一钢架，且，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（       ）根 A. 4 B. 5 C. 8 D. 无数 12．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，在中，，垂直平分，D为垂足，若，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　　　　　°． 17．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D．    （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，求的长． 18．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，中，，BD为AC边上的中线． （1）尺规作图：在线段AB上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，求证： 19．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 21．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 22．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长． 24．（25-26学年八上·福建福州·期中）平潭某民宿用等腰设计窗台造型，保证窗台两侧受力均匀，D是边的中点，连接用于安装加固支架．若，则　　　　　　． 25．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 27．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在中，P、F分别是边、边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． （1）求证：； （2）若，求证F为边上中点． 28．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上．                         测量方案示意图                 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段             的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 29．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 30．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）（多选）如图，在中，，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F． 求证：． 32．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）【问题背景】 （1）如图1，和均是等腰直角三角形，，连接、相交于点．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，分别以线段，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点． ①连接，求的长； ②求的长． 33．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）尺规作图：如图在中，，在上求作一点D，使得； （2）在（1）条件下，若，求的度数． 34．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 35．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 37．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若是等腰直角三角形，且，则的取值范围是 　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　                  　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 40．（25-26学年八上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，． （1）如图1，已知，，，轴于E， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，已知在中，，，连接，N是的中点，连接，，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 41．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点，分别在轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出的值； （2）若，，的面积为3，求点的坐标． 42．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图在平面直角坐标系中，已知在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，O为原点，． （1）求m的值． （2）动点P由点A出发沿向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线方向运动，当点P至达点C时，两点运动同时停止，连接交x轴于点G，做轴于点E，求的长． （3）在（2）的条件下，以为底边，在x轴的上方做等腰直角三角形，即，若的面积等于8，求点M的坐标． 43．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点B关于的对称点为点D，连接、． （1）如图1，判断以下结论是否能成立，能成立，直接写出的值，若不成立不要说明理由；结论①：；结论②：； （2）如图2，作的平分线，交于点E，与交于点O． ①当是等腰三角形时，求的值； ②当时，试探究、与关系，并证明． 44．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）图，在平面直角坐标系中，，点是边的中点，且．点是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）如图1，若点C在线段上，过点作交于点，求证：； （2）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点，求的值． 45．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，在中，点在边上，连接，，点在线段上，连接，，且满足，若，则　　　　　　． 46．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，且，． （1）如图，若，，求点的坐标； （2）如图，交轴于点，若平分，，求点的横坐标； （3）当点与原点重合时，的平分线交轴于点，点为线段上一动点（不与点、重合），将沿翻折，的对应边的延长线交于点，在上取点（不与点重合），使．请你先根据题意画出图形，再用等式表示，与三者之间的数量关系，并说明理由． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（       ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 2．（25-26学年八上·福建福州·期中）下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（     ） A. 等边三角形的三条边都相等 B. 等边三角形的三个内角都等于 C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D. 等腰三角形具有等边三角形的性质 3．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，等边三角形中，，点D是OB上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（     ）． A. 点与点重合时的周长最小； B. 点与点重合时的周长最小； C. 点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D. 点落在的延长线上时的周长最小． 6．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（     ） A. 4 B. 6 C. 4或12 D. 6或12 7．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（       ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 8．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．    （1）请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）的面积为________； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，等边三角形中，是上的高，，则　　　　　　． 10．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，是等边三角形，若，，，则度数是　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为________（用含的式子表示）． 12．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为　　　　　． 15．（25-26学年八上·福建泉州·期中）问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，． 求证：．    证明：如图，延长至点D．使，连接． （1）请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程． （2）结论运用： ①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米．    ②如图，为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长． 16．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，在中，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是　　　　　　 17．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图：已知等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求的度数． （2）求证：M是的中点． 18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）已知是等边三角形，，，为的中点，连接，． （1）如图1，点D在线段的延长线上， ①求证：； ②直接写出线段与之间的数量关系． （2）如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 19．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，　　　　　　　　　　　度． 21．（25-26学年八上·福建福州·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 任务图     任务图中共有的条件 在中，点D在边上（不与B、C重合），． 探究任务 任务1 如图1，若，，则和______等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，若，和是否为等角三角形？并证明你的结论． 任务3 若，和是等角三角形，请求出的度数． 22．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，已知的顶点分别为、、 （1）作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在x轴上找出一点P，使的值最小，请直接写出的最小值． 23．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在四边形中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值． 24．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，在等边中，点为中点，，点为线段上一动点，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考   在图①中，求证：； 问题再探   若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展   若且平分，如图③，请直接写出的值为               ． 27．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）（多选）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连结AD、BE相交于点P，求证：BE＝AD． （2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交于点P，下列结论中：①AD＝BE＝CF；②∠BEC＝∠ADC；③∠DPE＝∠EPC＝∠CPA＝60°．正确的是          （只填序号即可）； （3）如图2，把（2）的条件和正确结论作为条件，求证：PB＋PC＋PD＝BE． 28．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，等边点F在上，点D在延长线上，，过点D作，与延长线交于点E．求证： （1）为等边三角形； （2）． 29．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，　　　　． 30．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在△EBD中，EB=ED,点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC. （1）求∠EBC的度数； （2）求证△ABC为等边三角形. 31．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，，．C是边上的一点，连接，在的左侧作等边． （1）点A的坐标为； （2）如图1，若，点E，连接，则与有何关系？并说明理由； （3）如图2，当在C在边上运动时，且，C点不与B点重合，连接，求证：． 32．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 33．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在等边中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 34．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图1，在等腰中，，D在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系． （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系； （3）将图1特殊化，如图3，当时，连接，M是的中点，N是的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． 35．（25-26学年八上·福建漳州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）数学课上，老师出示了如下框中的题目： 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下： 如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）． 37．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）（1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接，求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 38．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）在中，，，点是平面上一个动点，，点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图1，当点在边上时， ①求证：； ②求； （2）当点在内部时，连接，依题意补全图2，若，求． 39．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在四边形中，是上一点，，连接． （1）如图1，请判断的形状，并说明理由． （2）如图2，延长，交于点，， ①求证：； ②如图3，延长至，使，，点在上，求的最小值． 40．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 41．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知等边，点在上. （1）如图1，连接，以为边，在的右侧作等边，连接，若，，则的长为_____； （2）点为平面内一点，连接，，. ①如图2，若点在上，求证：； ②如图3，若点在等边内，连接，点为的中点，连接，，求的度数. 42．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． （1）如图1，若，直接写出的度数； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 43．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接． （1）若，求点D到边的距离； （2）如图2，过点B作的垂线，分别交于点E，F，求证：； （3）如图3，在中，边上的高为3，M，N，P分别是边上的动点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】 解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化，下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（     ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年八上·福建福州·期中）杭州第19届亚运会，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌，总计383枚奖牌的成绩锁定奖牌榜第一的位置．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 此题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】 解：B、C、D选项中的图形均不能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B、C、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形，符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）下列数学符号是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】 解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是 ，其它的都不是； 故选：D. 9．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）团结协作共发展，求真务实育新人，我校迎来了建校119周年校庆．下列文字为轴对称图形的是（     ） A. 我 B. 爱 C. 五 D. 中 【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、“我”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“爱”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、“五”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、“中”是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）下列图形是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 11．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）下列命题是假命题的是（       ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 有理数包含正有理数、负有理数 D. 两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】 逐个判断各个选项的真假即可． 【详解】 解：A、对顶角相等，故A为真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，故B为真命题，不符合题意； C、有理数包含正有理数、负有理数和0，故C为假命题，符合题意； D、两点之间，线段最短，故D为真命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了命题的真假判断，解题的关键是熟练掌握各个定理内容以及有理数的分类． 12．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 13．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ）． A.          B.      C.      D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 由题知A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D. 14．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 【详解】 解：A选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 这个图标不是轴对称图形， 故B选项符合题意； C选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故C选项不符合题意； D选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 15．（25-26学年八上·福建泉州石狮石光中学·期中）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了命题的真假判断和实数的性质，把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例，熟知实数的性质，能正确举出反例是解本题的关键． 【详解】 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 、当时，，此选项符合题意； 、当时，，此选项不符合题意； 故选：． 16．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D 17．（25-26学年八上·福建泉州·期中）能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查举反例，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．根据题目的要求举一个反例即可． 【详解】 解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴B正确； 故选：B． 18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】 解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 19．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）若是轴对称图形，中线所在直线为其唯一的一条对称轴，则下列说法正确的是（       ） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 以上都不对 【答案】B 【分析】 根据轴对称的性质，得到是以和为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果． 【详解】 解：由题意可得：是以和为腰的等腰三角形，且不是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出是等腰三角形． 20．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，下面是折纸示意图，则是的（     ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上答案都不对 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，三角形的角平分线，关键是相关性质的熟练掌握． 根据折叠的性质可得，即可解答． 【详解】 解：根据折叠的性质可得， 则是的角平分线， 故选：C． 21．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A. 4 B.  C.  D. 13 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】 解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：B． 22．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由轴对称图形的性质得出，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵与关于直线l对称， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 23．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 24．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中） 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（　　） A. △ADH是等边三角形 B. NE=BC C. ∠BAE=15° D. ∠MAH+∠NEH=90° 【答案】B 【分析】 依据折叠的性质以及正方形的性质，得到△ADH是等边三角形；依据AM=AD=AH，得到∠AHM=30°，进而得出∠BAE=15°；依据∠AHE=∠B=90°，∠AMH=∠ENH=90°，即可得到∠MAH+∠NEH=90°． 【详解】 由折叠可得，MN垂直平分AD，AB=AH， ∴DH=AH=AB=AD， ∴△ADH是等边三角形，故A选项正确； ∵BE=HE＞NE， ∴BE＞BN， ∴NE=BC不成立，故B选项错误； 由折叠可得，AM=AD=AH， ∴∠AHM=30°，∠HAM=60°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠BAH=30°， 由折叠可得，∠BAE=∠BAH=15°，故C选项正确； 由折叠可得，∠AHE=∠B=90°， 又∵∠AMH=90°， ∴∠AHM+∠HAM=90°，∠AHM+∠EHN=90°， ∴∠HAM=∠EHN， 同理可得∠NEH+∠AHM， ∴∠MAH+∠NEH=90°，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得三角形ADH是一个等边三角形是解题的关键． 25．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 26．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 27．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A.  B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，再解方程求得x，进而求得的长． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 28．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【详解】 试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 29．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）已知命题A：“若a为实数，则”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（　　） A. a＝1 B. a＝0 C. a＝﹣1﹣k（k为实数） D. a＝﹣1﹣k2（k为实数） 【答案】D 【分析】由可确定的范围，排除掉在范围内的选项即可. 【详解】解：当≥0时，， 当＜0时，， ∵＝1＞0，故选项A不符合题意， ∵＝0，故选项B不符合题意， ∵＝﹣1﹣k，当k＜﹣1时，＞0，故选项C不符合题意， ∵＝﹣1﹣k2（k为实数）＜0，故选项D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质， ，正确理解该性质是解题的关键. 30．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（     ） A.  B. 和是全等三角形 C.  D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 【答案】C 【分析】 根据长方形的性质和折叠的性质可得，根据等角对等边可得；根据折叠的性质可知，，利用可证；由折叠的性质可知不一定成立；根据折叠的性质可知折叠后的图形是轴对称图形． 【详解】 解：四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ， ，故A选项成立； 四边形是长方形， ，， 由折叠可知， ，， 在和中， ， ，故B选项成立； 由折叠可知，与不一定相等， 不一定成立，故C选项不一定成立； 如下图所示，中边上的中线所在的直线是图形的对称轴， 故D选项成立． 故选：C． 【点睛】 本题考查了长方形的性质，折叠的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 31．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是　　　　　　　　　　　　． 【答案】130 【分析】 本题主要考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用正六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将正六棱柱侧面展开后，再利用勾股定理即可解答． 【详解】 解：如图所示，正六棱柱侧面展开后，这圈彩带的长度最短为的长， 由勾股定理得， 这圈彩带的长度至少为， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则　　　　　　．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 33．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． （1）点A的坐标为                  ，点C的坐标为                   ； （2）将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【答案】（1），     （2）      (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 34．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）综合与实践． 在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．    （1）概念理解． 如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）． （2）性质探究． 如图，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． （3）拓展应用． 如图，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点 ①请写出图中的“筝形”：______（写出一个即可）． ②若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）解：性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下： 如图所示，连接，，    ∵四边形是筝形， ∴，， 在和中， ∴（SSS）， ∴，， ∴平分，平分． （3）①四边形②的度数为或或 【分析】 （1）根据题意得，，即可得四边形是筝形； （2）连接，，根据四边形是筝形得，，利用SSS证明，得，，即可得平分，； （3）① 根据沿AB边翻折后得到得，可得，，即可得；② 根据沿AC边翻折后得到得，可得，，即可得四边形是筝形，则，，根据得，，根据在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角得，根据四边形内角和为，得，当是等腰三角形时，有三种情况：① 当时，，可得，根据平角得，根据是锐角的高得，即可得；② 当时，，则，根据是锐角的高得，即可得；③ 当时，，即可得，根据是锐角的高得，即可得． 【详解】 解：（1）∵四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形． ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：是． （2）略 （3）① ∵沿AB边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：四边形； ② ∵沿AC边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， ∴，， ∵， ∴，， ∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况： ① 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ② 当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ③ 当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质、三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解题的关键． 35．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在长方形中，，为边上一点，连接，作关于对称的，点与点关于对称，设，若点在内（不包括边界），则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由点在内（不包括边界），需分别讨论点在、上时的两种临界情况即可：（1）当点在上时，点与点重合，再大一点就能满足条件，由与关于对称得，可求出此时的角度；（2）当点在上时，再小一点就能满足条件，由与关于对称得，由点与点关于对称得，则的度数可用表示，解方程即可． 本题主要考查了轴对称的性质，理解题意找到两个临界情况是解题的关键． 【详解】 解：（1）当点在上时，点与点重合， ∵与关于对称，， ∴，； （2）当点在上时， ∵与关于对称， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， 解得， 综上； 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（     ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质解答即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】 解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：． 2．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（       ）． A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【分析】 本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】 解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 3．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（   　 ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故选B． 4．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（     ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】 解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 5．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】D 【分析】 此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键．先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答． 【详解】 解：A、逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意. B、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：等腰三角形有两条边相等，是真命题，不符合题意； D、.逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】 解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 7．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】 解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】 本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题　　　　　　． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【详解】 本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】 解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 10．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：． 11．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】 本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 12．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的边长，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．依据线段垂直平分线的性质可得到，则的周长，进行求解即可． 【详解】 解：因为是的垂直平分钱， 所以． 因为的周长是， 所以 所以的周长． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，要在公路l旁修建一个超市P，使超市到A、B两个小区的距离相等，请在图中画出超市P的位置（保留作图痕迹，说明理由）． 【答案】如图： 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解的关键，根据垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线交于点，即可得到答案． 【详解】 解：连接，作的垂直平分线交于点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点即为所求． 14．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，在中，点E为的中点，，若，，则　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】 解：点为的中点，， 是线段的垂直平分线， ， 则， 故答案为：5． 15．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，数形结合分析是关键． 根据垂直平分线的性质得到，由此即可求解． 【详解】 解：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， 故答案为：10 ． 16．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得． 【详解】 解：如图，设交于点H， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·福建泉州培元中学·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 18．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，在中，．    （1）尺规作图：在边上取一点，连接，使； （2）在（1）的条件下，若，，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求．         （2）是等腰三角形，理由： 由（1）知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 （1）先作线段的垂直平分线，可得，则，再结合三角形的外角的性质可得，从而可得点P符合要求； （2）结合求解，再求解，可得，从而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练的作线段的垂直平分线是解本题的关键． 19．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，在中，为钝角，为的平分线． （1）尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分． 【答案】（1） 所作图形如图所示： ；     （2） 证明：由作图可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段．      【分析】 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求； （2）证明，推出可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于 E，交直线于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，交于点O，若平分，请在（1）的基础上说明． 【答案】（1） 直线即为所作图形：      （2） 证明：∵平分， ∴， 由（1）可知，垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）连接，作线段 的垂直平分线，交于E，交于F，连接即可； （2）由（1）中作图可知，，再证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等． 21．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，，其中． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，的周长为13，求的周长； （3）在（2）的条件下，若是等腰三角形，则______；_______． 【答案】（1） 解：如下图，此时点P即为所求，      （2）的周长为21     （3）8；5      【分析】 本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图和三角形周长，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）以点A为圆心，以大于为半径作上下两条弧，再以点B为圆心，以大于为半径作上下两条弧，分别交于点D和点E，连接直线，交于点，此时点P即为所求； （2）根据垂直平分线的性质可得，从而得出的值，再根据，即可求得的周长； （3）分两种情况进行讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图， 的垂直平分线交于点， ， 的周长为13， ， ， 即， 的周长； (3) 小问详解： 解：， 分两种情况， ①时， ； ②时， ， ∵， ∴不合题意舍去； 综上所述，若是等腰三角形，的三条边的长度为． 故答案为：8；5． 22．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：在内部求作一点P，使，且； （2）连接PC，若，求的大小． 【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键． （1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点． （2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点；作线段的垂直平分线交于点，交于点；连接，（不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1） 如图所示即为所求：      （2） 证明：∵垂直平分线段， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线及垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据垂直平分线及角平分线的定义得出，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明． (1) 小问详解： 解：① 根据角平分线的作法作出作的平分线，交于点； ② 作线段的垂直平分线交于点，交于点； ③ 连接，； (2) 小问详解： 证明：略． 【点睛】 题目主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定和性质，中垂线的性质等，理解题意，熟练掌握角平分线及中垂线的作法是解题关键． 24．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）已知中，，如图所示． （1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线交于； ②作线段的垂直平分线交于，交于，垂足为； ③连接． （2）在（1）的基础上，写出图中一对全等的三角形并加以证明． 【答案】（1） 解：按要求作图如下： ．     （2） 解：，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴．      【分析】 本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形全等的判定即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【详解】 解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴    故答案为：． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键． 26．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，等边三角形，点D、E在边，上，且．连接，交于点F，G为延长线上一点，且满足，的平分线交于点H，过G作于点M． （1）求证：； （2）若，点P在上，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明； （2）连接，，可证明，得到，则可证明垂直平分，得到，导角可得，则；根据，得到当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12，即的最小值为12． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的平分线交于点H， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12， ∴的最小值为12． 27．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）在平面直角坐标系中，点的垂直平分线交于点，交于点，点是直线上一点，且点在点的上方，． （1）求点的坐标： （2）求点的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且．若存在，请求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查一次函数几何问题，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式等，根据题意正确画出图形是关键． （1）根据待定系数法求直线的表达式，根据是的垂直平分线， 得出，把代入，即可求出点的坐标； （2）根据题意画出图形，根据即可求解； （3）过点分别作轴，可得，设，根据全等三角形得性质表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， 设直线的表达式为， 则 ，解得：， 则直线的表达式为， ∵是的垂直平分线， ， 把代入得：， ． (2) 小问详解： 解；设， ∵在点的上方， ， ，即， ，解得：， ． (3) 小问详解： 解：存在； 如图，过点分别作轴， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 由（2）得，， ， ， 则， 解得：， ， 同理可得：； 综上可得：或． 28．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，已知，， （1）利用直尺和圆规在上作点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点也在的垂直平分线上，判断的形状，并证明． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求； 或      （2） 解： 是直角三角形． 证明：由（1）得 ， ． ， 点也在的垂直平分线上， ． ． 是一个直角三角形． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质以及基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作出的垂直平分线，交于P，则；作，由等角对等边，则，由此可得； （2）由（1）可得，可得，由点也在的垂直平分线上，可得，则，可得是直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点关于x轴的对称点的特征可知，横坐标不变，纵坐标变为相反数，因此可得结果． 【详解】 点关于轴对称的点的坐标是． 故选C． 【点睛】 本题坐标与图形变化轴对称，熟记关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为相反数的特征是解题的关键． 3．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】 点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 4．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴的对称点坐标的特征，根据横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】 解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 5．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】 解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 6．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了点坐标与轴对称，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键．根据点坐标关于轴对称的变换规律“横坐标不变，纵坐标变为相反数”求解即可得． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 7．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确理解和计算是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出和的值，进而计算和其次幂． 【详解】 点和点关于轴对称， ，（横坐标相反，纵坐标相等）， ， ； 故选． 9．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点B的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标变化规律． 先确定点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的坐标，最后结合选项得出答案． 【详解】 解：观察平面直角坐标系，确定点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 所以点关于轴对称点的坐标为，纵坐标为7， 即的坐标为． 故选：A． 10．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于x轴对称点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查直角坐标系中点的特性，根据点P在第三象限，因此横坐标和纵坐标均为负数．根据点到坐标轴的距离，可确定P的坐标，再求其关于x轴对称点的坐标． 【详解】 解：∵ 点P在第三象限， ∴ P的横坐标和纵坐标均为负数． ∵ P到x轴的距离为2， ∴，即． ∵ P到y轴的距离为6， ∴ ，即． ∴ P的坐标为． ∵ 点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ P关于x轴对称的点的坐标为． 故选：C． 11．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）点关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据点的坐标关于坐标轴对称的方法“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可直接求解． 【详解】 解：由点关于轴的对称点坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 12．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，熟练掌握关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数是解题的关键． 利用关于x轴对称点的坐标性质来求解，即明确横坐标和纵坐标的变化规律． 【详解】 解：点，关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）假定某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示，则此时真正时间是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 镜面图形与实际图形互为轴对称图形．钟表的时针实际指向9和10之间，分针指向25． 【详解】 解：作对称图形如下： 则此时的准确时间是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是轴对称的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 14．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标的特征．根据两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为，点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到轴的距离是3，到轴的距离是4．    （1）写出图中点B的坐标：______；在图中描出点C，并写出C的坐标：______； （2）画出关于轴的对称图形，并联结，、，，那么四边形的面积等于______． 【答案】（1），；     （2）26 【分析】 （1）根据B的位置写出坐标即可；描出点C，根据C的位置写出坐标即可； （2）作出A、B关于y轴的对称点即可；根据计算即可． (1) 小问详解： 解：观察可知点B的坐标为：；点C的位置如图所示，坐标为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图所示， ． 故答案为：26． 【点睛】 本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积． 16．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在平面直角坐标系中点关于x轴对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质．直接利用关于x轴对称点的性质“关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标为：． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知，解答下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为               ；（直接写出结果） （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为               ． 【答案】（1） 如图所示：      （2）     （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的轴对称图形的绘制以及三角形面积相关知识，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征和三角形面积公式． （1）根据关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质，找出A，B，C对称点坐标并连线； （2）依据关于轴对称点的坐标规律直接得出坐标； （3）先求出的面积，再根据与面积相等，进而确定的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的坐标为； (3) 小问详解： 利用割补法求的面积，以A，B，C三点向方格线作垂线构造矩形， 矩形面积为， 三个直角三角形面积分别为， 则， 因为， ， 解得：， 进而确定的坐标为， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是　　　　　　． 【答案】15∶01 【分析】 本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】 解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1的坐标：A1_________；B1_________；C1_________． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1为所作；      （2）（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）      【分析】 （1）根据A（−3，2），B（−4，−3），C（−1，−1）和轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1、B1、C1的坐标. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）． 故答案为：（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）． 【点睛】 本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 20．（25-26学年八上·福建宁德·期中）已知点，若点在轴上，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据在轴上点的坐标特征，横坐标为0，得到，求出a的值，得出的值，即可得出点的坐标，掌握“在轴上点的横坐标为0”是解题的关键． 【详解】 解：∵点，若点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·福建宁德·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在正方形网格的格点上． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，并写出点的坐标； （2）与关于轴对称，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 建立直角坐标系如图所示：      （2） 即为所求；       【分析】 本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）在的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都是格点，点的坐标是．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答下列问题． （1）关于轴对称的图形，（点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），请在图中画出；并直接写出点E，F的坐标； （2）点O到线段的距离为___________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求：      （2）3      【分析】 本题考查坐标与图形－轴对称、涉及轴对称的性质、三角形的面积公式，掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）先求得的面积然后利用等面积法求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，根据网格，， ， ∴点到线段的距离为， 故答案为：3． 23．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，根据题意的描述，得火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称，结合火焰顶尖S点的坐标是，则顶尖点的坐标是，即可作答． 【详解】 解：依题意，火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称， ∵火焰顶尖S点的坐标是， ∴顶尖点的坐标是， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标分别是． （1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系： （2）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标： （3）写出点关于直线（直线上各点的纵坐标都是）对称点的坐标． 【答案】（1） 所作平面直角坐标系如图所示：      （2） 所作如图所示； ；     （3）      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系及轴对称的性质，熟练掌握平面直角坐标系及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据点的坐标分别是可建立平面直角坐标系； （2）分别得出点关于轴对称的点，然后可进行作图； （3）根据（2）中平面直角坐标系可直接进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可知：． 25．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】 解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】 解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出，使和关于轴对称，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ，，     （2） 如图，点P即为所求作的点． 【分析】 本题主要考查了轴对称变换以及轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于轴对称的点，，，再顺次连接即可得出，根据点，，在坐标平面内的位置，写出点的坐标即可； （2）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 28．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在格点上． （1）已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整； （2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为          ； （3）在直线l上找出点P，使最短． 【答案】（1） 如图，和即为所求．      （2）     （3） 如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题考查了两点之间线段最短，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据轴对称的性质找到点C的对称点，点B的对称点即可求解； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解； （3）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可得：可得点的坐标为． 故答案为：； (3) 小问详解： 连接交l于点P，则点P即为所求． 29．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）是___________．（填“直角三角形”，“锐角三角形”或“钝角三角形”） （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求作： ；     （2）直角三角形     （3）      【分析】 本题考查坐标与图形变换-轴对称，勾股定理的逆定理，轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形； （3）连接，交x轴于点P，则可知点P坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； (3) 小问详解： 解：连接，交x轴于点P，则，此时最小，即点P即为所求作， 由图知，点P坐标为， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴的对称图形； ②画出沿x轴向右平移4个单位长度的图形 （2）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是            ． 【答案】（1） ① 如图1所示，即为所求； ② 如图1所示，即为所求；      （2）      【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）① 直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；② 直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移变换的性质得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：① 如图1所示，，，关于x轴对称的点为，顺次首尾连接，即为所求； ② 如图1所示，沿x轴向右平移4个单位长度得到，顺次首尾连接，即为所求； (2) 小问详解： 点M经过第一次变换后坐标为，经过第二次变换后的坐标为， 故答案为：； 31．（25-26学年八上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请直接写出点A、B的坐标； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1），     （2）如图，      （3）4      【分析】 本题考查了网格作图——关于y轴对称，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点． （1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置即可求出答案； （2）点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，即可画出图形； （3）由网格可知，的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为； (2) 小问详解： 点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接， 就是所求作的图形， (3) 小问详解： 由图可知，． 32．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形； （2）点的坐标为___________，的面积为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2），      【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于轴对称的点的坐标规律和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，分别找出、、三点关于轴的对称点、、，再顺次连接这三个点即可得到对称图形． （2）求的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征求解；求的面积，可根据三角形面积公式（其中为底，为高），以为底，求出的长度和边上的高，进而计算面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点关于轴的对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴． ∵的长度为，边上的高为点到直线的垂直距离，即， ∴． 33．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）， （1）请以y轴为对称轴，画出与△对称的△，并直接写出点、、的坐标； （2）点（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则____________， ____________． 【答案】（1） 解：△如下图，A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）；      （2），      【分析】 （1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的值 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称， ∴ ，解得： ， 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题的关键是要注意：先找到图形的关键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形． 34．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求；      （3）或      【分析】 此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． (1) 小问详解： 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 35．（25-26学年八上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于x轴成轴对称，画出 （2）点的坐标为______，的面积为______． （3）在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2）；4     （3） 如图，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握轴对称最短路径问题是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到、、对应点、、的坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）利用割补法求解即可； （3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意可得， 的面积为， 故答案为：；； (3) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题： （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出定义：将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“双轴对称点”． 例如：点关于轴和直线的“双轴对称点”为点． ①点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是_____； ②点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是，求和的值； 【答案】（1） 如图，即为所作，      （2）①；②的值为，的值为      【分析】 （1）根据轴对称的性质作出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接，然后根据直角坐标系可得出点的坐标； （2）依照新定义计算即可； （3）依照新定义确定的坐标，根据题意列出关于和的方程组，解方程组即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， 故答案为：； ② ∵点关于轴对称的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， ∵的坐标是， ∴ ， 解得： ， ∴的值为，的值为． 【点睛】 本题考查图形的变换—轴对称，平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组的应用，解题的关键是对新定义“双轴对称点”的理解． 37．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标和的面积． 【答案】解：如图，即为所求， 的坐标为；的面积为2 【分析】 本题考查作图-轴对称变换，割补法求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．根据轴对称的性质作图，即可得的坐标，再利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】 解：图略 的坐标为； 的面积为：． 38．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） （1）画出格点关于直线的对称的； （2）的面积为_______； （3）在上画出点P，使最小． 【答案】（1）如图所示，即为所求；     （2）     （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，求解网格三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接． （2）利用割补法求解三角形面积即可． （3）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ． (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的图形（点、、分别对应、、），并写出、、坐标：________，________，________； （2）若点在y轴上，当线段的值最小时，请直接写出点坐标________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ，，；     （2）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作出，再写出、、坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，点坐标为． 40．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形顶点上． （1）在图中画出与关于直线MN成轴对称的． （2）在直线上画一点P．使．（在图中标出点P，保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图， 【分析】 本题考查了轴对称图形的画法以及利用轴对称性质解决角相等问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，即对称点的连线被对称轴垂直平分． （1）根据轴对称性质，找到、、关于直线的对称点、、，再连接成三角形； （2）利用轴对称性质，找到点关于直线的对称点，连接与的交点即为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点 ，连接，点 即为所求， 理由：∵关于对称， ∴， ∵， ∴． 41．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使得的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小明的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小明进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小明的思路求出点C的坐标． 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点A处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点B处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥（点M在上，点N在上）可以使A、B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 【答案】方法分析：如图，点即为所求作； 点的坐标为； 问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，如图：    桥与铁路的距离为． 【分析】 方法分析：根据小明的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设，根据，求出的值即可． 【详解】 解：方法分析：设，则， 点与点关于轴对称， ， , , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则，    由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（   ） A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长． 【详解】 ∵是等腰三角形的顶角平分线 ∴CD=BD=5． 故选：B． 【点睛】 本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识． 2．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查尺规作图，角平分线，垂直平分线，根据作图痕迹分辨尺规作图是解答本题的关键．根据角平分线，垂直平分线等尺规作图的作法，逐个分析即可． 【详解】 A．尺规作图作的的角平分线， 由图可知，， ， ，， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故A不符合题意； B．尺规作图作的线段的垂直平分线， 由图可知，， ， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故B不符合题意； C．，， ，， 有尺规作图可得， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故C不符合题意； D．， ， 但不能说明为等腰三角形， 不能把分成两个等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（     ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【分析】 根据平行线的性质，角平分线的定义得，进而即可求解． 【详解】 解：∵分别平分， ∴， DE∥BC， ， ， ， AB＝9，AC＝7，， △ADE的周长为， ． 故选D 【点睛】 本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，掌握等角对等边是解题的关键． 4．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【分析】 本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据作图痕迹判断是否符合题意即可． 【详解】 解：① 根据作图得，故，符合题意； ② 根据作图得，不符合题意； ③ 根据作图得    平分，， ∴， ∴， ∴， 因此③ 符合题意； ④ 根据作图得，不符合题意， ∴符合题意的有① ③ ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据含直角三角形的性质得，即可得出，及，然后说明，最后求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵ ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的长为； 故选：C． 6．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝4，然后计算OH﹣MH即可． 【详解】 解：作PH⊥MN于H，如图， ∵PM＝PN， ∴MH＝NH＝MN＝1， 在Rt△POH中，∵∠POH＝60°， ∴∠OPH＝30°， ∴OH＝OP＝×8＝4， ∴OM＝OH﹣MH＝4﹣1＝3． 故选B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质，利用三线合一作出辅助线是本题的解题关键． 7．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可. 【详解】 解：线段的垂直平分线交线段于点， ， ， . 8．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=2，则AE的长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【详解】 解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D ∴BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝ ∴∠B＝∠ECD， 又∵∠B=30°，BE=2 ∴∠ECD=30°，CE=2，DE==1 又∵CE平分∠ACB ∴∠ECD＝∠ACE＝30° ∴∠ACB＝60° 又∵在△ABC中，∠B=30° ∴∠BAC＝90° 在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30° ∴AE＝＝1； 故选B． 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形性质，解题的关键是正确的运算，合理的推理． 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，在等腰直角中，，，．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，取的中点F，根据题意得到，然后求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】 如图所示，取的中点F， ∴ ∵ ∴ ∵在等腰直角中，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故选：C． 10．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】 解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 11．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图所示，是一钢架，且，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（       ）根 A. 4 B. 5 C. 8 D. 无数 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．利用三角形外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解． 【详解】 如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故，不能再添加了． 故选B． 12．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）如图，在中，，垂直平分，D为垂足，若，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，即可得到，因此，得到，于是． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，关键是由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出． 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，同角的补角相等，延长交于点，证明，所以，，所以，然后通过同角的补角相等得，然后根据等腰三角形的性质求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与互补，与互补， ∴， ∴， 故选：． 14．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在等腰中，为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点处，绕点任意旋转三角板，使两直角边分别交于点（点，与点不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．上述结论正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵在等腰中，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，故① 正确； ∴的周长， ∵的周长， ∵、不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③ 错误； ∵ ∴是直角三角形， ∵，点，与点不重合， ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，此时， 又∵也为等腰直角三角形，，， ∴， 而， ∴也为等腰直角三角形， 同理可证， 在与中， ∴≌，故② 正确； ∵≌， ∴， ∴． 综上所述，其中正确的结论是① ② ④ ．   故选：C ． 15．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 16．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　　　　　°． 【答案】65 【分析】 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角等于50°， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180°﹣50°）×=65°． 故答案为65． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D．    （1）求证：点D在的垂直平分线上； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 点D在的垂直平分线上；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系． （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立； （2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， ， ． 18．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，中，，BD为AC边上的中线． （1）尺规作图：在线段AB上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，求证： 【答案】（1） 点E即为所求作的点；      （2） 证明：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）通过作线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质求解； （2）先根据三线合一，得出，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据平行线的判定求解． (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线交于点E，连结， 则． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作已知线段的垂直平分线，等边对等角，三线合一，平行线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 19．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是　　　　　　　　　　　. 【答案】60°或105° 【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算. 【详解】△CDE可以是等腰三角形， ∵△CDE是等腰三角形； ① 当CD=DE时， ∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠DEC=75°， ∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°， ② 当DE=CE时,∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°. ③ 当EC=CD时， ∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120° ∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°， ∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论. 20．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【分析】 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】 解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 21．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在中，，点，在边上，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）结合、是中点，得到，进而证明； （2）由（1）中得到，再结合三角形外角性质和的等腰三角形性质求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 23．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长． 【答案】6 【分析】 根据三角形的内角和得到∠C=30°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，求出AD=BD=2，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 ∵AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°， ∴∠C=30°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴AD=BD=2， ∴CD=2AD=4， ∴BC=BD+CD=6． 【点睛】 考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．解题关键是利用了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 24．（25-26学年八上·福建福州·期中）平潭某民宿用等腰设计窗台造型，保证窗台两侧受力均匀，D是边的中点，连接用于安装加固支架．若，则　　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质得出． 根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【详解】 解：，是边的中点， ． 故答案为： 25．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 26．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）在中，P、F分别是边、边上的点，作于点D，于点E，连接，若，． （1）求证：； （2）若，求证F为边上中点． 【答案】（1） 证明：∵于点D，于点E，， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即F为边上中点．      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出结论； （2）先利用三线合一得出，再证明，然后等角对等边得出，从而可得，再得出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等的性质和（）综合（或者），角平分线的判定定理，等边对等角，三线合一，根据等角对等边证明等腰三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 28．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得． 如图2，从点B向正南方向走到点D，O是的中点，继续从点D沿垂直于的方向走，直到点A，O，E在一条直线上．                         测量方案示意图                 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段             的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点A，O，H在一条直线上且点H在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； （3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性． 【答案】（1）     （2） 解：第二小组的方案可行，证明如下： ∵点A，O，H在一条直线上且点H在左侧， ∴延长交的延长线于点E，如图4所示： ∵O是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行．     （3） 解：第三小组的设计方案是： 观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 此时线段的长就是河宽长，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长等于线段的长．      【分析】 本题主要考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据已知条件可判定是等腰直角三角形，据此可得河宽的长度就是线段的长度； （2）延长交的延长线于点E，，先证明得，，，设，则，，再根据可求出，由此得，则，进而，据此可得出答案； （3）观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D，河宽的长等于线段的长，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 【答案】（1） 解：如图，点G为所求．      （2） 解：连接， 由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是中点．      【分析】 本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质． （1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于； （2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 求证，进而求证，从而，得，所以． 【详解】 解：∵于点D，于点E， ∴,． ∴． ∴. ∴． 又∵， ∴. ∴. ∴. ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余；由全等三角形推证线段相等是解题的关键． 31．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）（多选）如图，在中，，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F． 求证：． 【答案】证明：如图 ∵CD平分， ， 【分析】 根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 32．（25-26学年八上·福建漳州芗城区第二中学·期中）【问题背景】 （1）如图1，和均是等腰直角三角形，，连接、相交于点．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，分别以线段，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点． ①连接，求的长； ②求的长． 【答案】（1）证明：∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （2）①；② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握证明三角形全等，利用其性质进行证明是解答本题的关键． （1）由已知条件，和均是等腰直角三角形，利用其性质，得到，因此． （2）① 由已知条件，利用等腰直角三角形的性质，计算出，证明，即可求解．② 因为，，得到，根据全等三角形的性质，在中，，从而得到． 【详解】 解：（1）略 （2）① 如图，在中，， 即， 解得：， ∵是等腰直角三角形， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， 在中，， 即， 解得：， ∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴． ② 如图，相交于点， ∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）（1）尺规作图：如图在中，，在上求作一点D，使得； （2）在（1）条件下，若，求的度数． 【答案】（1）如图，点D为所求； （2） 【分析】 本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，根据线段的垂直平分线的性质得，则点D即为所求； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：（1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，则，点D为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ．     （2） 证明：， ． ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定． 先由平行线的性质得，，再由角平分线的定义求得，从而由等角对等边得出，即可求解． 【详解】 ∵， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵E是的中点，， ∴，即； ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得； （2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，∵平分， ∴，， 在中，， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 37．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．先求出，再得出平分，垂直平分，则，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 38．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点，，，其中，，，若是等腰直角三角形，且，则的取值范围是 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，坐标与图形；过点作轴于点，证明，得，，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点作轴于点， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 39．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　                  　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】（1）     （2）     （3） ① 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②．      【分析】 （1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）① 证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ② 由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ① 略 ② ∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 40．（25-26学年八上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，，． （1）如图1，已知，，，轴于E， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，已知在中，，，连接，N是的中点，连接，，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） ① 证明：∵． ∴ ∵． ∴； ② 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） ，，证明如下； 如图，延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K， ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴ ∴， ∴． ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等即可解答； ②证明，可得，，即可证明为等腰直角三角形，即可解答； （2）延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K，证明，可得，，再证明，得到，，利用角度的计算即可解答． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点，分别在轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出的值； （2）若，，的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作轴于点，求得，据此列式计算即可求解； （2）先求得，作轴于点，作轴交的延长线于点，证明四边形是矩形，证明，求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：作轴于点， ∵与轴所夹的锐角为，即， ∴， ∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知， 如图， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， 作轴于点，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 42．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图在平面直角坐标系中，已知在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，O为原点，． （1）求m的值． （2）动点P由点A出发沿向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线方向运动，当点P至达点C时，两点运动同时停止，连接交x轴于点G，做轴于点E，求的长． （3）在（2）的条件下，以为底边，在x轴的上方做等腰直角三角形，即，若的面积等于8，求点M的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值； （2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可； （3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，得到，，得到，进而得出的坐标． (1) 小问详解： 解：如图1，作于，     ，，， ，， ， ，即， 解得； (2) 小问详解： 解：如图1，作轴于， ， ， 点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ，，，， ； (3) 小问详解： 解：如图2，作轴于，连接，     ， ， 又，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ∴轴， ， 的面积等于8， ，即， ， ∵轴，，轴， ， 又， ， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及坐标与图形等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 43．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点B关于的对称点为点D，连接、． （1）如图1，判断以下结论是否能成立，能成立，直接写出的值，若不成立不要说明理由；结论①：；结论②：； （2）如图2，作的平分线，交于点E，与交于点O． ①当是等腰三角形时，求的值； ②当时，试探究、与关系，并证明． 【答案】（1）结论①成立，；结论②成立，；     （2）①或； ② 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴． 如图，取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）结论①：假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，即，，根据平行线的性质得到，即，根据列方程计算即可； 结论②：画出图象，假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，进而根据“点B关于的对称点为点D”推出，再根据列式计算即可； （2）① 根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据三角形外角的性质得到，分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和列方程求解即可； ② 根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，可知，取，连接，证明，得到，，进而可得，则，最后根据计算即可． (1) 小问详解： 解：结论①：当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即； 结论②：如图， 于点， ， ∵， ∴， 点B关于的对称点为点D， ， ， ， ， 解得． (2) 小问详解： ① 解：∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，． 当时，，不成立； 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； ② 略 44．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）图，在平面直角坐标系中，，点是边的中点，且．点是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）如图1，若点C在线段上，过点作交于点，求证：； （2）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵点是边的中点，且， ∴， ∵，， ∴． 如图， ∵， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） ① 不会发生改变． 理由：过C作交延长线于F， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②2      【分析】 （1）先证是等腰直角三角形，可得出，，然后证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）① 过C作交于F，类似（2）即可求解；② 取中点H，连接，可得，再证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 取中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 45．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，在中，点在边上，连接，，点在线段上，连接，，且满足，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形，三角形外角的性质． 作于点，作，交延长线于点，可证明，可得，由含角的直角三角形的性质，可得，从而可得，结合已知，代入三角形的面积公式计算，即可得． 【详解】 解：如图，作于点，作，交延长线于点， 则， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 46．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，且，． （1）如图，若，，求点的坐标； （2）如图，交轴于点，若平分，，求点的横坐标； （3）当点与原点重合时，的平分线交轴于点，点为线段上一动点（不与点、重合），将沿翻折，的对应边的延长线交于点，在上取点（不与点重合），使．请你先根据题意画出图形，再用等式表示，与三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；     （2）点的横坐标为；     （3） 解：根据题意所画图形如图所示， 或，理由如下： 过点作于点，于点，连接， ， 的平分线交轴于点，， ， 沿翻折得到， 平分， ， 如图，当点在点上方时， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ； 如图，当点在点下方时， 由可得，， ，， ， ， 综上所述，，与三者之间的数量关系为或．      【分析】 （）过点作轴于点，根据同角的余角相等得出，证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； （）过点作轴于点，交的延长线于点，根据角平分线定义得出，则有，所以，通过等腰三角形性质可得，证明，所以，从而求得点的横坐标为； （）根据题意所画图形，过点作于点，于点，连接，由沿翻折得到，则有平分，所以，然后分当点在点上方时，证明，同理可得，，所以，，然后通过线段和差得出；当点在点下方时，由可得，，，所以，，然后通过线段和差得出． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：过点作轴于点，交的延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点的横坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线定义，角平分线性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（       ） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° 【答案】C 【分析】 根据DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案． 【详解】 解：∵DF=DE，CG=CD， ∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60° ∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°， ∴∠GDC=30°． 又∵∠GDC=∠E+∠EFD， ∴∠E=15°． 故选C 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键． 2．（25-26学年八上·福建福州·期中）下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（     ） A. 等边三角形的三条边都相等 B. 等边三角形的三个内角都等于 C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 D. 等腰三角形具有等边三角形的性质 【答案】D 【分析】 本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质；根据等边三角形，等腰三角形的性质进行解答即可． 【详解】 解：等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于，等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形， 故D选项错误；符合题意．其他选项均正确． 故选：D． 3．（25-26学年八上·福建厦门湖里中学·期中）如图，等边三角形中，，点D是OB上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称最短路径，含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】 解：作点D关于轴的对称点M，过点M作于点F，交轴于点E，过点作于点H，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， 点F的横坐标为， 故选：C． 4．（25-26学年八上·福建厦门思明区槟榔中学·期中）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【分析】 本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（     ）． A. 点与点重合时的周长最小； B. 点与点重合时的周长最小； C. 点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D. 点落在的延长线上时的周长最小． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】 解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 6．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿方向以的速度移动，动点Q从点O出发沿方向以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，要使是等腰三角形，则t的值为（     ） A. 4 B. 6 C. 4或12 D. 6或12 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．先求出，再分两种情况：① 当点在上运动时，则要使钝角是等腰三角形，只能是，建立方程，解方程即可得；② 当点在上运动时，此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形，只需，建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵， ∴． 由题意得：，， ① 当点在上运动时，，此时是钝角三角形， 则要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∴； ② 当点在上运动时，， ∵， ∴此时要使是等腰三角形，相当于要使是等边三角形， ∴只需， ∴， ∴； 综上，的值为4或12， 故选：C． 7．（25-26学年八上·福建福州第十九中学·期中）如图，已知是等边三角形，点分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（       ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 证明，从而得出，即可判断① ；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断② ；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③ ；根据④，，，即可判断④ ． 【详解】 解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故① 正确，符合题意； ② 如图，作交的延长线于，作于， ， ， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由① 知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故② 正确，符合题意； ③ 由② 知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③ 错误，不符合题意； ④，， ， 即， ， ，故④ 正确，符合题意； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故选：A． 8．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．    （1）请画出关于x轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）的面积为________； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，请画出点P的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 、 、，     （2）     （3）如上图所示．      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可； （3）作点A关于y轴的对称点，再连接，与y轴的交点即为所求． 解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图，等边三角形中，是上的高，，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可． 【详解】 解：∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是上的高， ∴． 故答案为：1． 10．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，是等边三角形，若，，，则度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 11．（25-26学年八上·福建福州杨桥中学·期中）如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为________（用含的式子表示）． 【答案】（1）     （2） 证明：在上取点，使得，连，如图， ， ， ，， ∴， ，． ，， ∴， ；     （3）      【分析】 利用等边三角形的性质得，结合三角形外角定理和三角形内角和定理即可求得答案； 在上取点，使得，连，利用“边角边”证明，则有和，进一步证得即可； 以为边作等边，连接，有，结合可证得，有，则当、、共线时，最小，即可求得． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为边作等边，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 当、、共线时，最小， 此时． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、以及距离最小的问题，解题的关键是作辅助线和熟练全等三角形的证明． 12．（25-26学年八上·福建龙岩武平县第三中学·期中）如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】（1）     （2）是等边三角形，理由见解析      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． (1) 小问详解： 解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 13．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解． 【详解】 是等边三角形， ，， 作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P， 则此时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 14．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】 由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·福建泉州·期中）问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，． 求证：．    证明：如图，延长至点D．使，连接． （1）请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程． （2）结论运用： ①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米．    ②如图，为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长． 【答案】（1） 证明：如图，延长至点D．使，连接，则，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；     （2）①2；②      【分析】 （1）如图2，延长至点D．使，连接，则，由线段垂直平分线的性质得到，求出，判定是等边三角形，得到，即可证明； （2）① 由等角对等边得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求出长． ② 由，得到，由三角形外角的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图，是气象站离地面的高度，    ∵， ∴， ∴千米， ∵， ∴（千米）， ∴气象站离地面的高度是2千米， 故答案为：2． ② ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及仰角俯角，熟练掌握相关知识的联系与运用，解答关键是通过作辅助线构造等边三角形； 16．（25-26学年八上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，在中，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是　　　　　　 【答案】2 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，取的中点E，连接．由，推出，推出当时，的值最小，进行求解即可． 【详解】 解：如图，取的中点E，连接．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最小，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：2． 17．（25-26学年八上·福建泉州第七中学·期中）如图：已知等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求的度数． （2）求证：M是的中点． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，连接， ， ∵为等边三角形，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M是的中点．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）连接，由等边三角形的性质可得，从而可得，由等角对等边可得，最后由等腰三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·福建莆田荔城区莆田中山中学·期中）已知是等边三角形，，，为的中点，连接，． （1）如图1，点D在线段的延长线上， ①求证：； ②直接写出线段与之间的数量关系． （2）如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②     （2） 解：，证明如下： 如图所示，延长到G，使得，连接，则， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定， 四边形内角和定理等等，利用倍长中线构成全等三角形是解题的关键． （1）① 由等边三角形的性质得到，则可得，即可证明；② 如图所示，延长交延长线于G，先证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则； （2）如图所示，延长到G，使得，连接，则，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，由此证明是等边三角形，得到，即可得到． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图所示，延长交延长线于G， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年八上·福建龙岩第二中学·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）      （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】 （1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，    ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 20．（25-26学年八上·福建厦门第十一中学·期中）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，　　　　　　　　　　　度． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识．如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】 解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：30． 21．（25-26学年八上·福建福州·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 任务图     任务图中共有的条件 在中，点D在边上（不与B、C重合），． 探究任务 任务1 如图1，若，，则和______等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，若，和是否为等角三角形？并证明你的结论． 任务3 若，和是等角三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是； 任务2：和是等角三角形，理由如下： ∵ 又∵，． ∴，． ∴和是等角三角形； 任务3： 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握利用三角形内角和定理计算角度是解题的关键． 任务1：根据三角形内角和定理计算各角的角度，即可解答； 任务2：根据三角形内角和定理和角度之间的转换可得和是等角三角形； 任务3：根据和是等角三角形可得是底角为的等腰三角形，即可解答． 【详解】 解：任务1：若，， 则, ， ， ， 和是等角三角形， 故答案为：是； 任务2：略 任务3：∵，和是等角三角形． ∴是底角为的等腰三角形 ∵ ∴ ∴； 22．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）如图，已知的顶点分别为、、 （1）作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在x轴上找出一点P，使的值最小，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； 点的坐标为；     （2） 如上图所示，点即为所求．       【分析】 本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到的顶点的对应点，顺次连接即可求解，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据轴对称的性质，连接交轴于点，点即为所求，利用网格及勾股定理即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 23．（25-26学年八上·福建厦门第六中学·期中）如图，在四边形中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的值． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质得到，则可证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，求出得到，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，平分， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】 解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 25．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）如图，在等边中，点为中点，，点为线段上一动点，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，垂线段最短等知识，过点作于点，由等边三角形的性质得，得，过点作于点，当三点共线时，最短，根据等边三角形的性质得，故可得结论． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分，即， 过点作于点，过点作于点,交于点，如图， ∴，， 当三点共线时，即点与点重合，此时最小， ∵是等边三角形， ∴，即的最小值是2． 故答案为：2． 26．（25-26学年八上·福建泉州东海中学·期中）如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考   在图①中，求证：； 问题再探   若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展   若且平分，如图③，请直接写出的值为               ． 【答案】问题思考：证明：∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 问题再探：，理由如下： 在上取点G，使，连接CG，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形 又∵，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题拓展： 【分析】 问题思考：证，推出，根据等腰三角形性质推出，即可得出答案； 问题再探：在上截取，连接，证，为等边三角形，再证明，推出，即可得出答案； 问题拓展：延长交于点H，证，推出，证，推出，即可得出答案． 【详解】 问题思考：略 问题再探：略 问题拓展：延长交于点H，如下图 ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大． 27．（25-26学年八上·福建永春第一中学·期中）（多选）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连结AD、BE相交于点P，求证：BE＝AD． （2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交于点P，下列结论中：①AD＝BE＝CF；②∠BEC＝∠ADC；③∠DPE＝∠EPC＝∠CPA＝60°．正确的是          （只填序号即可）； （3）如图2，把（2）的条件和正确结论作为条件，求证：PB＋PC＋PD＝BE． 【答案】（）证明：△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴BC=AC，CE=CD，∠ ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD； （2）① ② ③ ； （3）证明：在PE上截取PM=PC，连接CM 由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠1=∠2 设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60° 同理∠CPE=60° ∴△CPM是等边三角形 ∴CP=CM，∠PMC=60°． ∴∠CPD=∠CME=120°． ∵∠1=∠2， ∴△CPD≌△CME（AAS）， ∴PD=ME， ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，，求出，证出即可； （2）求出BC=AC，CE=CD，，，证，推出， ，同理，推出BE=CF，，根据推出，求出，即可求出，同理求出； （3）在PE上截取PM=PC，连接CM，求出，求出是等边三角形，推出CP=CM，，证，推出PD=ME即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① ② ③都正确． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴，， ∴②正确； 同理 ∴BE=CF， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴③正确； 故答案为：① ② ③； （3） 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 28．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，等边点F在上，点D在延长线上，，过点D作，与延长线交于点E．求证： （1）为等边三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （2） 证明：∵等边， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质结合平行线的性质求得，即可判断为等边三角形； （2）证明，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·福建福州福建师范大学附属中学·期中）如图，等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识． 通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，． 【详解】 解：连接，∵，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点， 此时，的值最小，， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图，在△EBD中，EB=ED,点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC. （1）求∠EBC的度数； （2）求证△ABC为等边三角形. 【答案】（1）30°； （2）证明∵CE=CD， ∴∠D=∠DEC， ∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D． ∵BE=DE， ∴∠EBC=∠D． ∴∠ECB=2∠EBC． 又∵BE⊥CE， ∴∠ECB=60°． ∵BE⊥CE，AE=CE， ∴AB=BC． ∴△ABC是等边三角形． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可； （2）因为EB=ED，CE=CD，所以可求得∠ECB=2∠EBC，又因为BE⊥CE，则∠ECB=60°，AB=BC，故△ABC是等边三角形． 【详解】 （1）∵CE=CD， ∴∠D=∠DEC， ∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D． ∵BE=DE， ∴∠EBC=∠D． ∴∠ECB=2∠EBC． 又∵BE⊥CE， ∴∠ECB=60°． ∵∠ECB=∠CED+∠EDC, ∴∠EDC=30°， ∵EB=ED， ∴∠EBC=∠EDC=30°. （2）略 【点睛】 此题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．解题关键在于掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 31．（25-26学年八上·福建厦门第九中学·期中）在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，，．C是边上的一点，连接，在的左侧作等边． （1）点A的坐标为； （2）如图1，若，点E，连接，则与有何关系？并说明理由； （3）如图2，当在C在边上运动时，且，C点不与B点重合，连接，求证：． 【答案】（1）     （2） ，且，理由如下： 连接，如图1， ∵，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴；     （3） 证明：作点C关于y轴的对称点N，连接，，，如图2， 则，， ∴是等边三角形， ∴，∠BCN=60°， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据含角的直角三角形的性质得出解答即可； （2）连接，利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）作点C关于y轴的对称点N，连接，，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答． (1) 小问详解： 解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了坐标系中的对称，全等的性质和综合（），等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 32．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）有最小值，最小值为2； 【分析】 （1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 33．（25-26学年八上·福建厦门第一中学·期中）如图，在等边中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据等边三角形的性质可得，设，从而可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，最后根据三角形的内角和定理、以及即可得； （2）先同（1）的方法可得，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质求得，根据，然后根据等腰三角形的性质即可得． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ， 设，则， 由轴对称的性质得：， ， 又， ， ， 当，即时， 则， ， ； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）已得：， ， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 34．（25-26学年八上·福建泉州·期中）如图1，在等腰中，，D在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系． （1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系； （3）将图1特殊化，如图3，当时，连接，M是的中点，N是的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：为等腰直角三角形，证明如下： 连接，延长交于G，连接，设与交于H， 由（2）得：当时，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， N是的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形．      【分析】 （1 ）在上截取，使，连接，根据角的关系可证，可得，进而可证是等边三角形，即可得解； （2）在上截取，使，连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质即可得解； （3）连接，延长交于G，连接，设与交于H，证明，再证明，即可证明为等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 解：在上截取，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； (2) 小问详解： 解：在上截取，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形的综合应用，主要考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 35．（25-26学年八上·福建漳州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，两点之间，线段最短的知识点．熟练掌握圆柱的侧面展开图，勾股定理是解题的关键． 把圆柱形玻璃杯的侧面沿母线展开成矩形，把立体空间中蚂蚁到蜂蜜的最短路径问题，转化为平面直角三角形中斜边长度的计算问题，进而利用勾股定理求解． 【详解】 解： 圆柱底面周长为， 展开后长方形的长为，长的一半为（水平方向的关键距离）， 圆柱高为，点离杯底， 垂直方向的距离为， 展开后，蚂蚁从到的最短路径是直角三角形的斜边，两条直角边分别为（水平）和（垂直）， 根据勾股定理，最短距离． 故答案为． 36．（25-26学年八上·福建龙岩初级中学·期中）数学课上，老师出示了如下框中的题目： 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：________（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下： 如图2，过点作，交于点，（请你继续完成解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且．若的边长为3，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】（1）=     （2） =；理由如下： 如图2，过作交于， ∵是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF ， ，， ， ， ， 在和中， ，，BE=CF ， ， 即，     （3）8或2      【分析】 （1）根据等边三角形三线合一可得∠ECB=30°，根据等边对等角可得∠D=∠ECB=30°，结合三角形的外角和定理，即可证明AE=DB； （2）用“AAS”证明即可得出结论； （3）根据（2）的思想，用一样的方法证明即可求出BD=AE，结合图形分情况讨论即可． (1) 小问详解： ∵△ABC为等边三角形，点为的中点， ∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB， ∴∠ECB=30°， ∵ ∴∠D=∠ECB=30°， ∴∠DEB=60°-30°=30°， ∴DB=BE， ∵AE=BE， ∴AE=DB； 故答案为：= (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 如图： 当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E，作，延长AC于EF交于点F， ∵， ∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF， ∵∠A=60°，∠∠AFE=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∵DE=CE ∴∠BDE=∠BCE ∴∠BDE=∠CEF ∵∠ABC=60°， ∴∠DBE=60°， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF， ∵EF=AE=5， ∴BD=5， ∴CD=5+3=8； ② 如图： 当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E作，延长CA，交EF于点F， ∵， ∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD ∵∠ACB=∠B， ∴∠EFC=∠B=60°， ∵∠FAE=∠BAC=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴EF=AE=5， ∵DE=CE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠FEC=∠EDC， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF=5， ∴CD=BD-BC=5-3=2， 综上：CD=8或2． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定于性质，结合题意做出相应的图形和辅助线是解题的关键． 37．（25-26学年八上·福建漳州第一中学·期中）（1）发现问题：如图1，和均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接，求的度数； （2）类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展提高：如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【答案】（1）， （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； 在中，由勾股定理，得：， ∴； （3）或， 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，推出，利用勾股定理和等量代换，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵为等腰直角三角形， ∴， ①当点在线段上时，连接，如图 同（2）可得：， ∴，， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： 同理：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形，进行求解． 38．（25-26学年八上·福建厦门思明区第五中学·期中）在中，，，点是平面上一个动点，，点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图1，当点在边上时， ①求证：； ②求； （2）当点在内部时，连接，依题意补全图2，若，求． 【答案】（1） ① 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②     （2）      【分析】 （1）① 由角所对直角边等于斜边的一半可得，由代换得，即，即可得； ② 连接、，由，得，再由，得是等边三角形，得，即可得，由点关于直线的对称点为，得，，得，可得是等边三角形，得，再由，得垂直平分，即可得出； （2）延长至点，使，连接，，，，，可得是等边三角形，可得，，可证，得，，再证明得，，进而可得． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，延长至点，使，连接，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点 ，关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，轴对称性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 39．（25-26学年八上·福建福州延安中学·期中）在四边形中，是上一点，，连接． （1）如图1，请判断的形状，并说明理由． （2）如图2，延长，交于点，， ①求证：； ②如图3，延长至，使，，点在上，求的最小值． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2） ① 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）① 由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； ② 由题意易得，，，则有，，过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 40．（25-26学年八上·福建福州仓山区·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． （1）求证：是等边三角形； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形；     （2）或或      【分析】 本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，结合，即可得证； （2）分3种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况， ①，则：，解得； ②，则：，解得； ③，则：，解得； 综上：或或． 41．（25-26学年八上·福建福州屏东中学·期中）已知等边，点在上. （1）如图1，连接，以为边，在的右侧作等边，连接，若，，则的长为_____； （2）点为平面内一点，连接，，. ①如图2，若点在上，求证：； ②如图3，若点在等边内，连接，点为的中点，连接，，求的度数. 【答案】（1）5     （2） ① 法一： 证明：等边， ，． ， ，． ． ． ． ， ． 法二： 证明：连接． ， ． ， ． ． 在等边中，， ． ②      【分析】 （1）根据等边三角形性质，得，，，推出，得，得，即得， （2）① 法一：由等边三角形性质得，， 由，得，，推出 ，得，即得；法二：连接，由等边对等角得，由平行线性质得，由三线合一即得； ② 解：延长至点使得，连接，， 证明，得，，结合， ，，证明，得 即可得，. (1) 小问详解： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：5． (2) 小问详解： ①略 ② 解：延长至点，使得，连接，，． 等边， ，． 点为的中点， ． 在和中， ， ． ，． ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． ． ． 【点睛】 本题考查全等三角形，熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行线的判定及其性质，添加辅助线，构造全等三角形或等边三角形，是解题的关键． 42．（25-26学年八·福建厦门思明区外国语中学·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． （1）如图1，若，直接写出的度数； （2）如图1，若，，求的长； （3）如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）     （2）8     （3） 解：； 证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值， 如图，在上截取，使，连接， ∴同理（2）可知是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可； （2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可； （3）由（2）可得，证明过程同（2）． (1) 小问详解： 解：由等边三角形及翻折的性质得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， 如图，在上截取，使，连接， 由题意知， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·福建福州第一中学·期中）如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接． （1）若，求点D到边的距离； （2）如图2，过点B作的垂线，分别交于点E，F，求证：； （3）如图3，在中，边上的高为3，M，N，P分别是边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）     （2） 解：在上截取，连接，，如图所示：     ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）6      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质， （1）延长，过点作于点E，根据等边三角形性质求出，，根据等腰直角三角形性质求出，，求出，根据，根据含角的直角三角形性质求出； （2）在上截取，连接，，证明，得出，根据即可证明结论； （3）过点作的对称点为，连接，可得点共线，则，故当点重合，且时，取得最小值，通过等边三角形和等腰直角三角形得到由题意得，则，即可求解最小值． (1) 小问详解： 解：延长，过点作于点E，如图所示：     ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴， ∴点共线， ∴， ∴当点重合，且时，取得最小值， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 由题意得， ∴， ∴当时，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 9．D 10．A 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C 16．D 17．B 18．C 19．B 20．C 21．B 22．B 23．A 24．B 25．D 26．B 27．C 28．B 29．D 30．C 31．【答案】130 【分析】 本题主要考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用正六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将正六棱柱侧面展开后，再利用勾股定理即可解答． 【详解】 解：如图所示，正六棱柱侧面展开后，这圈彩带的长度最短为的长， 由勾股定理得， 这圈彩带的长度至少为， 故答案为：． 32．【答案】12或16 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 33．【答案】（1），     （2）      (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 34．【答案】（1）是； （2）解：性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下： 如图所示，连接，，    ∵四边形是筝形， ∴，， 在和中， ∴（SSS）， ∴，， ∴平分，平分． （3）①四边形②的度数为或或 【分析】 （1）根据题意得，，即可得四边形是筝形； （2）连接，，根据四边形是筝形得，，利用SSS证明，得，，即可得平分，； （3）① 根据沿AB边翻折后得到得，可得，，即可得；② 根据沿AC边翻折后得到得，可得，，即可得四边形是筝形，则，，根据得，，根据在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角得，根据四边形内角和为，得，当是等腰三角形时，有三种情况：① 当时，，可得，根据平角得，根据是锐角的高得，即可得；② 当时，，则，根据是锐角的高得，即可得；③ 当时，，即可得，根据是锐角的高得，即可得． 【详解】 解：（1）∵四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形． ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：是． （2）略 （3）① ∵沿AB边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， 故答案为：四边形； ② ∵沿AC边翻折后得到， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形， ∴，， ∵， ∴，， ∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况： ① 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ② 当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； ③ 当时， ∴， ∴， ∵是锐角的高， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质、三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 由点在内（不包括边界），需分别讨论点在、上时的两种临界情况即可：（1）当点在上时，点与点重合，再大一点就能满足条件，由与关于对称得，可求出此时的角度；（2）当点在上时，再小一点就能满足条件，由与关于对称得，由点与点关于对称得，则的度数可用表示，解方程即可． 本题主要考查了轴对称的性质，理解题意找到两个临界情况是解题的关键． 【详解】 解：（1）当点在上时，点与点重合， ∵与关于对称，， ∴，； （2）当点在上时， ∵与关于对称， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， 解得， 综上； 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 9．【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【详解】 本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】 解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 10．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：． 11．【答案】真 【分析】 本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 12．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的边长，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．依据线段垂直平分线的性质可得到，则的周长，进行求解即可． 【详解】 解：因为是的垂直平分钱， 所以． 因为的周长是， 所以 所以的周长． 故答案为：． 13．【答案】如图： 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解的关键，根据垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线交于点，即可得到答案． 【详解】 解：连接，作的垂直平分线交于点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点即为所求． 14．【答案】5 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】 解：点为的中点，， 是线段的垂直平分线， ， 则， 故答案为：5． 15．【答案】10 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，数形结合分析是关键． 根据垂直平分线的性质得到，由此即可求解． 【详解】 解：∵直线是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， 故答案为：10 ． 16．【答案】度 【分析】 本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得． 【详解】 解：如图，设交于点H， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 17．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 18．【答案】（1） 如图所示，点即为所求．         （2）是等腰三角形，理由： 由（1）知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 （1）先作线段的垂直平分线，可得，则，再结合三角形的外角的性质可得，从而可得点P符合要求； （2）结合求解，再求解，可得，从而可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练的作线段的垂直平分线是解本题的关键． 19．【答案】（1） 所作图形如图所示： ；     （2） 证明：由作图可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段．      【分析】 本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求； （2）证明，推出可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1） 直线即为所作图形：      （2） 证明：∵平分， ∴， 由（1）可知，垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）连接，作线段 的垂直平分线，交于E，交于F，连接即可； （2）由（1）中作图可知，，再证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等． 21．【答案】（1） 解：如下图，此时点P即为所求，      （2）的周长为21     （3）8；5      【分析】 本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图和三角形周长，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）以点A为圆心，以大于为半径作上下两条弧，再以点B为圆心，以大于为半径作上下两条弧，分别交于点D和点E，连接直线，交于点，此时点P即为所求； （2）根据垂直平分线的性质可得，从而得出的值，再根据，即可求得的周长； （3）分两种情况进行讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图， 的垂直平分线交于点， ， 的周长为13， ， ， 即， 的周长； (3) 小问详解： 解：， 分两种情况， ①时， ； ②时， ， ∵， ∴不合题意舍去； 综上所述，若是等腰三角形，的三条边的长度为． 故答案为：8；5． 22．【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键． （1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点． （2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1） 如图所示即为所求：      （2） 证明：∵垂直平分线段， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线及垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据垂直平分线及角平分线的定义得出，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明． (1) 小问详解： 解：① 根据角平分线的作法作出作的平分线，交于点； ② 作线段的垂直平分线交于点，交于点； ③ 连接，； (2) 小问详解： 证明：略． 【点睛】 题目主要考查基本的作图方法及全等三角形的判定和性质，中垂线的性质等，理解题意，熟练掌握角平分线及中垂线的作法是解题关键． 24．【答案】（1） 解：按要求作图如下： ．     （2） 解：，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴．      【分析】 本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形全等的判定即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】 【分析】 连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【详解】 解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴    故答案为：． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键． 26．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）12      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明； （2）连接，，可证明，得到，则可证明垂直平分，得到，导角可得，则；根据，得到当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12，即的最小值为12． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接，， ∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的平分线交于点H， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为12， ∴的最小值为12． 27．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查一次函数几何问题，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式等，根据题意正确画出图形是关键． （1）根据待定系数法求直线的表达式，根据是的垂直平分线， 得出，把代入，即可求出点的坐标； （2）根据题意画出图形，根据即可求解； （3）过点分别作轴，可得，设，根据全等三角形得性质表示出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， 设直线的表达式为， 则 ，解得：， 则直线的表达式为， ∵是的垂直平分线， ， 把代入得：， ． (2) 小问详解： 解；设， ∵在点的上方， ， ，即， ，解得：， ． (3) 小问详解： 解：存在； 如图，过点分别作轴， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 由（2）得，， ， ， 则， 解得：， ， 同理可得：； 综上可得：或． 28．【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求； 或      （2） 解： 是直角三角形． 证明：由（1）得 ， ． ， 点也在的垂直平分线上， ． ． 是一个直角三角形． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质以及基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作出的垂直平分线，交于P，则；作，由等角对等边，则，由此可得； （2）由（1）可得，可得，由点也在的垂直平分线上，可得，则，可得是直角三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 画轴对称的图形 1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C 11．【答案】 【分析】 根据点的坐标关于坐标轴对称的方法“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可直接求解． 【详解】 解：由点关于轴的对称点坐标为； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，熟练掌握关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数是解题的关键． 利用关于x轴对称点的坐标性质来求解，即明确横坐标和纵坐标的变化规律． 【详解】 解：点，关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 镜面图形与实际图形互为轴对称图形．钟表的时针实际指向9和10之间，分针指向25． 【详解】 解：作对称图形如下： 则此时的准确时间是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是轴对称的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标的特征．根据两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15．【答案】（1），；     （2）26 【分析】 （1）根据B的位置写出坐标即可；描出点C，根据C的位置写出坐标即可； （2）作出A、B关于y轴的对称点即可；根据计算即可． (1) 小问详解： 解：观察可知点B的坐标为：；点C的位置如图所示，坐标为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图所示， ． 故答案为：26． 【点睛】 本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积． 16．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质．直接利用关于x轴对称点的性质“关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标为：． 故答案为：． 17．【答案】（1） 如图所示：      （2）     （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的轴对称图形的绘制以及三角形面积相关知识，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征和三角形面积公式． （1）根据关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质，找出A，B，C对称点坐标并连线； （2）依据关于轴对称点的坐标规律直接得出坐标； （3）先求出的面积，再根据与面积相等，进而确定的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的坐标为； (3) 小问详解： 利用割补法求的面积，以A，B，C三点向方格线作垂线构造矩形， 矩形面积为， 三个直角三角形面积分别为， 则， 因为， ， 解得：， 进而确定的坐标为， 故答案为：． 18．【答案】15∶01 【分析】 本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】 解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 19．【答案】（1） 如图，△A1B1C1为所作；      （2）（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）      【分析】 （1）根据A（−3，2），B（−4，−3），C（−1，−1）和轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1、B1、C1的坐标. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）． 故答案为：（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）． 【点睛】 本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 20．【答案】 【分析】 本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据在轴上点的坐标特征，横坐标为0，得到，求出a的值，得出的值，即可得出点的坐标，掌握“在轴上点的横坐标为0”是解题的关键． 【详解】 解：∵点，若点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 21．【答案】（1） 建立直角坐标系如图所示：      （2） 即为所求；       【分析】 本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1） 解：如图，即为所求：      （2）3      【分析】 本题考查坐标与图形－轴对称、涉及轴对称的性质、三角形的面积公式，掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）先求得的面积然后利用等面积法求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，根据网格，， ， ∴点到线段的距离为， 故答案为：3． 23．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，根据题意的描述，得火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称，结合火焰顶尖S点的坐标是，则顶尖点的坐标是，即可作答． 【详解】 解：依题意，火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称， ∵火焰顶尖S点的坐标是， ∴顶尖点的坐标是， 故答案为：． 24．【答案】（1） 所作平面直角坐标系如图所示：      （2） 所作如图所示； ；     （3）      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系及轴对称的性质，熟练掌握平面直角坐标系及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据点的坐标分别是可建立平面直角坐标系； （2）分别得出点关于轴对称的点，然后可进行作图； （3）根据（2）中平面直角坐标系可直接进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由平面直角坐标系可知：． 25．【答案】 【分析】 本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】 解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】 解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 27．【答案】（1） 如图所示，即为所求； ，，     （2） 如图，点P即为所求作的点． 【分析】 本题主要考查了轴对称变换以及轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于轴对称的点，，，再顺次连接即可得出，根据点，，在坐标平面内的位置，写出点的坐标即可； （2）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 28．【答案】（1） 如图，和即为所求．      （2）     （3） 如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题考查了两点之间线段最短，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据轴对称的性质找到点C的对称点，点B的对称点即可求解； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解； （3）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可得：可得点的坐标为． 故答案为：； (3) 小问详解： 连接交l于点P，则点P即为所求． 29．【答案】（1） 如图，即为所求作： ；     （2）直角三角形     （3）      【分析】 本题考查坐标与图形变换-轴对称，勾股定理的逆定理，轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形； （3）连接，交x轴于点P，则可知点P坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； (3) 小问详解： 解：连接，交x轴于点P，则，此时最小，即点P即为所求作， 由图知，点P坐标为， 故答案为：． 30．【答案】（1） ① 如图1所示，即为所求； ② 如图1所示，即为所求；      （2）      【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）① 直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；② 直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移变换的性质得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：① 如图1所示，，，关于x轴对称的点为，顺次首尾连接，即为所求； ② 如图1所示，沿x轴向右平移4个单位长度得到，顺次首尾连接，即为所求； (2) 小问详解： 点M经过第一次变换后坐标为，经过第二次变换后的坐标为， 故答案为：； 31．【答案】（1），     （2）如图，      （3）4      【分析】 本题考查了网格作图——关于y轴对称，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点． （1）根据点A、B在平面直角坐标系中的位置即可求出答案； （2）点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接，即可画出图形； （3）由网格可知，的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图可知，点A的坐标为，B的坐标为； (2) 小问详解： 点A、B、C分别作关于y轴对称的点，依次连接， 就是所求作的图形， (3) 小问详解： 由图可知，． 32．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2），      【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于轴对称的点的坐标规律和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，分别找出、、三点关于轴的对称点、、，再顺次连接这三个点即可得到对称图形． （2）求的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征求解；求的面积，可根据三角形面积公式（其中为底，为高），以为底，求出的长度和边上的高，进而计算面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点关于轴的对称点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴． ∵的长度为，边上的高为点到直线的垂直距离，即， ∴． 33．【答案】（1） 解：△如下图，A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）；      （2），      【分析】 （1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的值 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称， ∴ ，解得： ， 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题的关键是要注意：先找到图形的关键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形． 34．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求；      （3）或      【分析】 此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． (1) 小问详解： 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 35．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2）；4     （3） 如图，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握轴对称最短路径问题是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到、、对应点、、的坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）利用割补法求解即可； （3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意可得， 的面积为， 故答案为：；； (3) 小问详解： 略 36．【答案】（1） 如图，即为所作，      （2）①；②的值为，的值为      【分析】 （1）根据轴对称的性质作出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接，然后根据直角坐标系可得出点的坐标； （2）依照新定义计算即可； （3）依照新定义确定的坐标，根据题意列出关于和的方程组，解方程组即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， 故答案为：； ② ∵点关于轴对称的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于轴和直线的“双轴对称点”的坐标是， ∵的坐标是， ∴ ， 解得： ， ∴的值为，的值为． 【点睛】 本题考查图形的变换—轴对称，平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组的应用，解题的关键是对新定义“双轴对称点”的理解． 37．【答案】解：如图，即为所求， 的坐标为；的面积为2 【分析】 本题考查作图-轴对称变换，割补法求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．根据轴对称的性质作图，即可得的坐标，再利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】 解：图略 的坐标为； 的面积为：． 38．【答案】（1）如图所示，即为所求；     （2）     （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，求解网格三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接． （2）利用割补法求解三角形面积即可． （3）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为： ． (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1） 解：如图，即为所求； ，，；     （2）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作出，再写出、、坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，点坐标为． 40．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图， 【分析】 本题考查了轴对称图形的画法以及利用轴对称性质解决角相等问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，即对称点的连线被对称轴垂直平分． （1）根据轴对称性质，找到、、关于直线的对称点、、，再连接成三角形； （2）利用轴对称性质，找到点关于直线的对称点，连接与的交点即为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于点 ，连接，点 即为所求， 理由：∵关于对称， ∴， ∵， ∴． 41．【答案】方法分析：如图，点即为所求作； 点的坐标为； 问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，如图：    桥与铁路的距离为． 【分析】 方法分析：根据小明的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设，根据，求出的值即可． 【详解】 解：方法分析：设，则， 点与点关于轴对称， ， , , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则，    由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 考点04 等腰三角形 1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C 11．B 12．B 13．C 14．C 15．【答案】 【分析】 本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 16．【答案】65 【分析】 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角等于50°， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180°﹣50°）×=65°． 故答案为65． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 17．【答案】（1） 证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 点D在的垂直平分线上；     （2）      【分析】 本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系． （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立； （2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， ， ． 18．【答案】（1） 点E即为所求作的点；      （2） 证明：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）通过作线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质求解； （2）先根据三线合一，得出，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据平行线的判定求解． (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线交于点E，连结， 则． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了作已知线段的垂直平分线，等边对等角，三线合一，平行线的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 19．【答案】60°或105° 【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算. 【详解】△CDE可以是等腰三角形， ∵△CDE是等腰三角形； ① 当CD=DE时， ∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠DEC=75°， ∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°， ② 当DE=CE时,∵∠CDE=30°， ∴∠DCE=∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°. ③ 当EC=CD时， ∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120° ∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°， ∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论. 20．【答案】 【分析】 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】 解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 21．【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 22．【答案】（1） 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）结合、是中点，得到，进而证明； （2）由（1）中得到，再结合三角形外角性质和的等腰三角形性质求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 23．【答案】6 【分析】 根据三角形的内角和得到∠C=30°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，求出AD=BD=2，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 ∵AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°， ∴∠C=30°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴AD=BD=2， ∴CD=2AD=4， ∴BC=BD+CD=6． 【点睛】 考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．解题关键是利用了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 24．【答案】度 【分析】 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质得出． 根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【详解】 解：，是边的中点， ． 故答案为： 25．【答案】10 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 26．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 27．【答案】（1） 证明：∵于点D，于点E，， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即F为边上中点．      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出结论； （2）先利用三线合一得出，再证明，然后等角对等边得出，从而可得，再得出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等的性质和（）综合（或者），角平分线的判定定理，等边对等角，三线合一，根据等角对等边证明等腰三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 28．【答案】（1）     （2） 解：第二小组的方案可行，证明如下： ∵点A，O，H在一条直线上且点H在左侧， ∴延长交的延长线于点E，如图4所示： ∵O是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行．     （3） 解：第三小组的设计方案是： 观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D， 此时线段的长就是河宽长，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长等于线段的长．      【分析】 本题主要考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据已知条件可判定是等腰直角三角形，据此可得河宽的长度就是线段的长度； （2）延长交的延长线于点E，，先证明得，，，设，则，，再根据可求出，由此得，则，进而，据此可得出答案； （3）观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于D，河宽的长等于线段的长，证明即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 29．【答案】（1） 解：如图，点G为所求．      （2） 解：连接， 由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是中点．      【分析】 本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质． （1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于； （2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．【答案】度 【分析】 求证，进而求证，从而，得，所以． 【详解】 解：∵于点D，于点E， ∴,． ∴． ∴. ∴． 又∵， ∴. ∴. ∴. ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余；由全等三角形推证线段相等是解题的关键． 31．【答案】证明：如图 ∵CD平分， ， 【分析】 根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 32．【答案】（1）证明：∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （2）①；② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握证明三角形全等，利用其性质进行证明是解答本题的关键． （1）由已知条件，和均是等腰直角三角形，利用其性质，得到，因此． （2）① 由已知条件，利用等腰直角三角形的性质，计算出，证明，即可求解．② 因为，，得到，根据全等三角形的性质，在中，，从而得到． 【详解】 解：（1）略 （2）① 如图，在中，， 即， 解得：， ∵是等腰直角三角形， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， 在中，， 即， 解得：， ∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴． ② 如图，相交于点， ∵和均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．【答案】（1）如图，点D为所求； （2） 【分析】 本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，根据线段的垂直平分线的性质得，则点D即为所求； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：（1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，则，点D为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．【答案】（1） 证明：， ． ． 在与中， ．     （2） 证明：， ． ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．【答案】 【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定． 先由平行线的性质得，，再由角平分线的定义求得，从而由等角对等边得出，即可求解． 【详解】 ∵， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．【答案】（1）     （2） 证明：∵E是的中点，， ∴，即； ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得； （2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，∵平分， ∴，， 在中，， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 37．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．先求出，再得出平分，垂直平分，则，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 38．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，坐标与图形；过点作轴于点，证明，得，，即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点作轴于点， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 39．【答案】（1）     （2）     （3） ① 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②．      【分析】 （1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）① 证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ② 由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ① 略 ② ∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 40．【答案】（1） ① 证明：∵． ∴ ∵． ∴； ② 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） ，，证明如下； 如图，延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K， ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴ ∴， ∴． ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等即可解答； ②证明，可得，，即可证明为等腰直角三角形，即可解答； （2）延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K，证明，可得，，再证明，得到，，利用角度的计算即可解答． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 41．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作轴于点，求得，据此列式计算即可求解； （2）先求得，作轴于点，作轴交的延长线于点，证明四边形是矩形，证明，求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：作轴于点， ∵与轴所夹的锐角为，即， ∴， ∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知， 如图， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， 作轴于点，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值； （2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可； （3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，得到，，得到，进而得出的坐标． (1) 小问详解： 解：如图1，作于，     ，，， ，， ， ，即， 解得； (2) 小问详解： 解：如图1，作轴于， ， ， 点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ，，，， ； (3) 小问详解： 解：如图2，作轴于，连接，     ， ， 又，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ∴轴， ， 的面积等于8， ，即， ， ∵轴，，轴， ， 又， ， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及坐标与图形等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 43．【答案】（1）结论①成立，；结论②成立，；     （2）①或； ② 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴． 如图，取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）结论①：假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，即，，根据平行线的性质得到，即，根据列方程计算即可； 结论②：画出图象，假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，进而根据“点B关于的对称点为点D”推出，再根据列式计算即可； （2）① 根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据三角形外角的性质得到，分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和列方程求解即可； ② 根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，可知，取，连接，证明，得到，，进而可得，则，最后根据计算即可． (1) 小问详解： 解：结论①：当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即； 结论②：如图， 于点， ， ∵， ∴， 点B关于的对称点为点D， ， ， ， ， 解得． (2) 小问详解： ① 解：∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，． 当时，，不成立； 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； ② 略 44．【答案】（1） 证明：∵点是边的中点，且， ∴， ∵，， ∴． 如图， ∵， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） ① 不会发生改变． 理由：过C作交延长线于F， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②2      【分析】 （1）先证是等腰直角三角形，可得出，，然后证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）① 过C作交于F，类似（2）即可求解；② 取中点H，连接，可得，再证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 取中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 45．【答案】 【分析】 本题考查三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形，三角形外角的性质． 作于点，作，交延长线于点，可证明，可得，由含角的直角三角形的性质，可得，从而可得，结合已知，代入三角形的面积公式计算，即可得． 【详解】 解：如图，作于点，作，交延长线于点， 则， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 46．【答案】（1）；     （2）点的横坐标为；     （3） 解：根据题意所画图形如图所示， 或，理由如下： 过点作于点，于点，连接， ， 的平分线交轴于点，， ， 沿翻折得到， 平分， ， 如图，当点在点上方时， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ； 如图，当点在点下方时， 由可得，， ，， ， ， 综上所述，，与三者之间的数量关系为或．      【分析】 （）过点作轴于点，根据同角的余角相等得出，证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； （）过点作轴于点，交的延长线于点，根据角平分线定义得出，则有，所以，通过等腰三角形性质可得，证明，所以，从而求得点的横坐标为； （）根据题意所画图形，过点作于点，于点，连接，由沿翻折得到，则有平分，所以，然后分当点在点上方时，证明，同理可得，，所以，，然后通过线段和差得出；当点在点下方时，由可得，，，所以，，然后通过线段和差得出． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：过点作轴于点，交的延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点的横坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线定义，角平分线性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．C 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．【答案】（1） 如图所示，即为所求， 、 、，     （2）     （3）如上图所示．      【分析】 本题主要考查作图-轴对称变换． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可； （3）作点A关于y轴的对称点，再连接，与y轴的交点即为所求． 解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 9．【答案】1 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可． 【详解】 解：∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是上的高， ∴． 故答案为：1． 10．【答案】�度 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，三角形内角和及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 11．【答案】（1）     （2） 证明：在上取点，使得，连，如图， ， ， ，， ∴， ，． ，， ∴， ；     （3）      【分析】 利用等边三角形的性质得，结合三角形外角定理和三角形内角和定理即可求得答案； 在上取点，使得，连，利用“边角边”证明，则有和，进一步证得即可； 以为边作等边，连接，有，结合可证得，有，则当、、共线时，最小，即可求得． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 以为边作等边，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 当、、共线时，最小， 此时． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、以及距离最小的问题，解题的关键是作辅助线和熟练全等三角形的证明． 12．【答案】（1）     （2）是等边三角形，理由见解析      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． (1) 小问详解： 解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 13．【答案】11 【分析】 根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解． 【详解】 是等边三角形， ，， 作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P， 则此时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 14．【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】 由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 15．【答案】（1） 证明：如图，延长至点D．使，连接，则，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；     （2）①2；②      【分析】 （1）如图2，延长至点D．使，连接，则，由线段垂直平分线的性质得到，求出，判定是等边三角形，得到，即可证明； （2）① 由等角对等边得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求出长． ② 由，得到，由三角形外角的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图，是气象站离地面的高度，    ∵， ∴， ∴千米， ∵， ∴（千米）， ∴气象站离地面的高度是2千米， 故答案为：2． ② ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及仰角俯角，熟练掌握相关知识的联系与运用，解答关键是通过作辅助线构造等边三角形； 16．【答案】2 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，取的中点E，连接．由，推出，推出当时，的值最小，进行求解即可． 【详解】 解：如图，取的中点E，连接．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最小，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：2． 17．【答案】（1）     （2） 证明：如图，连接， ， ∵为等边三角形，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M是的中点．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）连接，由等边三角形的性质可得，从而可得，由等角对等边可得，最后由等腰三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②     （2） 解：，证明如下： 如图所示，延长到G，使得，连接，则， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定， 四边形内角和定理等等，利用倍长中线构成全等三角形是解题的关键． （1）① 由等边三角形的性质得到，则可得，即可证明；② 如图所示，延长交延长线于G，先证明，得到，，再证明是等边三角形，得到，则； （2）如图所示，延长到G，使得，连接，则，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，由此证明是等边三角形，得到，即可得到． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图所示，延长交延长线于G， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 19．【答案】（1）      （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】 （1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，    ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 20．【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识．如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】 解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：30． 21．【答案】任务1：是； 任务2：和是等角三角形，理由如下： ∵ 又∵，． ∴，． ∴和是等角三角形； 任务3： 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握利用三角形内角和定理计算角度是解题的关键． 任务1：根据三角形内角和定理计算各角的角度，即可解答； 任务2：根据三角形内角和定理和角度之间的转换可得和是等角三角形； 任务3：根据和是等角三角形可得是底角为的等腰三角形，即可解答． 【详解】 解：任务1：若，， 则, ， ， ， 和是等角三角形， 故答案为：是； 任务2：略 任务3：∵，和是等角三角形． ∴是底角为的等腰三角形 ∵ ∴ ∴； 22．【答案】（1） 如图所示，即为所求； 点的坐标为；     （2） 如上图所示，点即为所求．       【分析】 本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到的顶点的对应点，顺次连接即可求解，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据轴对称的性质，连接交轴于点，点即为所求，利用网格及勾股定理即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 23．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义及其尺规作图，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质得到，则可证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，求出得到，据此可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，平分， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．【答案】7 【分析】 本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】 解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 25．【答案】2 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，垂线段最短等知识，过点作于点，由等边三角形的性质得，得，过点作于点，当三点共线时，最短，根据等边三角形的性质得，故可得结论． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分，即， 过点作于点，过点作于点,交于点，如图， ∴，， 当三点共线时，即点与点重合，此时最小， ∵是等边三角形， ∴，即的最小值是2． 故答案为：2． 26．【答案】问题思考：证明：∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 问题再探：，理由如下： 在上取点G，使，连接CG，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形 又∵，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题拓展： 【分析】 问题思考：证，推出，根据等腰三角形性质推出，即可得出答案； 问题再探：在上截取，连接，证，为等边三角形，再证明，推出，即可得出答案； 问题拓展：延长交于点H，证，推出，证，推出，即可得出答案． 【详解】 问题思考：略 问题再探：略 问题拓展：延长交于点H，如下图 ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大． 27．【答案】（）证明：△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴BC=AC，CE=CD，∠ ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD； （2）① ② ③ ； （3）证明：在PE上截取PM=PC，连接CM 由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠1=∠2 设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60° 同理∠CPE=60° ∴△CPM是等边三角形 ∴CP=CM，∠PMC=60°． ∴∠CPD=∠CME=120°． ∵∠1=∠2， ∴△CPD≌△CME（AAS）， ∴PD=ME， ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，，求出，证出即可； （2）求出BC=AC，CE=CD，，，证，推出， ，同理，推出BE=CF，，根据推出，求出，即可求出，同理求出； （3）在PE上截取PM=PC，连接CM，求出，求出是等边三角形，推出CP=CM，，证，推出PD=ME即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① ② ③都正确． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴，， ∴②正确； 同理 ∴BE=CF， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴③正确； 故答案为：① ② ③； （3） 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 28．【答案】（1） 证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （2） 证明：∵等边， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质结合平行线的性质求得，即可判断为等边三角形； （2）证明，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识． 通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，． 【详解】 解：连接，∵，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点， 此时，的值最小，， 故答案为：． 30．【答案】（1）30°； （2）证明∵CE=CD， ∴∠D=∠DEC， ∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D． ∵BE=DE， ∴∠EBC=∠D． ∴∠ECB=2∠EBC． 又∵BE⊥CE， ∴∠ECB=60°． ∵BE⊥CE，AE=CE， ∴AB=BC． ∴△ABC是等边三角形． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可； （2）因为EB=ED，CE=CD，所以可求得∠ECB=2∠EBC，又因为BE⊥CE，则∠ECB=60°，AB=BC，故△ABC是等边三角形． 【详解】 （1）∵CE=CD， ∴∠D=∠DEC， ∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D． ∵BE=DE， ∴∠EBC=∠D． ∴∠ECB=2∠EBC． 又∵BE⊥CE， ∴∠ECB=60°． ∵∠ECB=∠CED+∠EDC, ∴∠EDC=30°， ∵EB=ED， ∴∠EBC=∠EDC=30°. （2）略 【点睛】 此题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．解题关键在于掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 31．【答案】（1）     （2） ，且，理由如下： 连接，如图1， ∵，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴；     （3） 证明：作点C关于y轴的对称点N，连接，，，如图2， 则，， ∴是等边三角形， ∴，∠BCN=60°， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据含角的直角三角形的性质得出解答即可； （2）连接，利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）作点C关于y轴的对称点N，连接，，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答． (1) 小问详解： 解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了坐标系中的对称，全等的性质和综合（），等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 32．【答案】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）有最小值，最小值为2； 【分析】 （1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据等边三角形的性质可得，设，从而可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，最后根据三角形的内角和定理、以及即可得； （2）先同（1）的方法可得，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质求得，根据，然后根据等腰三角形的性质即可得． (1) 小问详解： 解：是等边三角形， ， 设，则， 由轴对称的性质得：， ， 又， ， ， 当，即时， 则， ， ； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）已得：， ， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 34．【答案】（1）     （2）     （3） 解：为等腰直角三角形，证明如下： 连接，延长交于G，连接，设与交于H， 由（2）得：当时，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， N是的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形．      【分析】 （1 ）在上截取，使，连接，根据角的关系可证，可得，进而可证是等边三角形，即可得解； （2）在上截取，使，连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质即可得解； （3）连接，延长交于G，连接，设与交于H，证明，再证明，即可证明为等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 解：在上截取，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； (2) 小问详解： 解：在上截取，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形的综合应用，主要考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 35．【答案】 【分析】 本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，两点之间，线段最短的知识点．熟练掌握圆柱的侧面展开图，勾股定理是解题的关键． 把圆柱形玻璃杯的侧面沿母线展开成矩形，把立体空间中蚂蚁到蜂蜜的最短路径问题，转化为平面直角三角形中斜边长度的计算问题，进而利用勾股定理求解． 【详解】 解： 圆柱底面周长为， 展开后长方形的长为，长的一半为（水平方向的关键距离）， 圆柱高为，点离杯底， 垂直方向的距离为， 展开后，蚂蚁从到的最短路径是直角三角形的斜边，两条直角边分别为（水平）和（垂直）， 根据勾股定理，最短距离． 故答案为． 36．【答案】（1）=     （2） =；理由如下： 如图2，过作交于， ∵是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF ， ，， ， ， ， 在和中， ，，BE=CF ， ， 即，     （3）8或2      【分析】 （1）根据等边三角形三线合一可得∠ECB=30°，根据等边对等角可得∠D=∠ECB=30°，结合三角形的外角和定理，即可证明AE=DB； （2）用“AAS”证明即可得出结论； （3）根据（2）的思想，用一样的方法证明即可求出BD=AE，结合图形分情况讨论即可． (1) 小问详解： ∵△ABC为等边三角形，点为的中点， ∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB， ∴∠ECB=30°， ∵ ∴∠D=∠ECB=30°， ∴∠DEB=60°-30°=30°， ∴DB=BE， ∵AE=BE， ∴AE=DB； 故答案为：= (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 如图： 当点E在直线BC下方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E，作，延长AC于EF交于点F， ∵， ∴∠AFE=∠ACB=60°，∠BCE=∠CEF， ∵∠A=60°，∠∠AFE=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∵DE=CE ∴∠BDE=∠BCE ∴∠BDE=∠CEF ∵∠ABC=60°， ∴∠DBE=60°， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF， ∵EF=AE=5， ∴BD=5， ∴CD=5+3=8； ② 如图： 当点E在直线BC上方时，以点E为圆心，EC长为半径画弧，交直线BC于点D， 过点E作，延长CA，交EF于点F， ∵， ∴∠EFC=∠ACB，∠FEC=∠ECD ∵∠ACB=∠B， ∴∠EFC=∠B=60°， ∵∠FAE=∠BAC=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴EF=AE=5， ∵DE=CE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠FEC=∠EDC， 在△BDE和△EFC中 ∠BDE=∠CEF， ∠DBE=∠AFE，DE=CE ∴△BDE≌△EFC， ∴BD=EF=5， ∴CD=BD-BC=5-3=2， 综上：CD=8或2． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定于性质，结合题意做出相应的图形和辅助线是解题的关键． 37．【答案】（1）， （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，； ； 在中，由勾股定理，得：， ∴； （3）或， 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，推出，利用勾股定理和等量代换，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵为等腰直角三角形， ∴， ①当点在线段上时，连接，如图 同（2）可得：， ∴，， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： 同理：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形，进行求解． 38．【答案】（1） ① 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②     （2）      【分析】 （1）① 由角所对直角边等于斜边的一半可得，由代换得，即，即可得； ② 连接、，由，得，再由，得是等边三角形，得，即可得，由点关于直线的对称点为，得，，得，可得是等边三角形，得，再由，得垂直平分，即可得出； （2）延长至点，使，连接，，，，，可得是等边三角形，可得，，可证，得，，再证明得，，进而可得． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，延长至点，使，连接，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点 ，关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，轴对称性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 39．【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2） ① 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）① 由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； ② 由题意易得，，，则有，，过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 40．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形；     （2）或或      【分析】 本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，结合，即可得证； （2）分3种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况， ①，则：，解得； ②，则：，解得； ③，则：，解得； 综上：或或． 41．【答案】（1）5     （2） ① 法一： 证明：等边， ，． ， ，． ． ． ． ， ． 法二： 证明：连接． ， ． ， ． ． 在等边中，， ． ②      【分析】 （1）根据等边三角形性质，得，，，推出，得，得，即得， （2）① 法一：由等边三角形性质得，， 由，得，，推出 ，得，即得；法二：连接，由等边对等角得，由平行线性质得，由三线合一即得； ② 解：延长至点使得，连接，， 证明，得，，结合， ，，证明，得 即可得，. (1) 小问详解： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：5． (2) 小问详解： ①略 ② 解：延长至点，使得，连接，，． 等边， ，． 点为的中点， ． 在和中， ， ． ，． ． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． ． ． 【点睛】 本题考查全等三角形，熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行线的判定及其性质，添加辅助线，构造全等三角形或等边三角形，是解题的关键． 42．【答案】（1）     （2）8     （3） 解：； 证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值， 如图，在上截取，使，连接， ∴同理（2）可知是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可； （2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可； （3）由（2）可得，证明过程同（2）． (1) 小问详解： 解：由等边三角形及翻折的性质得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为； (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， 如图，在上截取，使，连接， 由题意知， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； (3) 小问详解： 略 43．【答案】（1）     （2） 解：在上截取，连接，，如图所示：     ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）6      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质， （1）延长，过点作于点E，根据等边三角形性质求出，，根据等腰直角三角形性质求出，，求出，根据，根据含角的直角三角形性质求出； （2）在上截取，连接，，证明，得出，根据即可证明结论； （3）过点作的对称点为，连接，可得点共线，则，故当点重合，且时，取得最小值，通过等边三角形和等腰直角三角形得到由题意得，则，即可求解最小值． (1) 小问详解： 解：延长，过点作于点E，如图所示：     ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴， ∴点共线， ∴， ∴当点重合，且时，取得最小值， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 由题意得， ∴， ∴当时，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $