5.1.2 等式的性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

5.1.2 等式的性质 教学设计 课题 5.1.2 等式的性质 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课 教学目标 1. 了解等式的两个性质，能用文字语言和符号语言表述等式的性质；2. 会运用等式的性质解简单的一元一次方程，把方程逐步化为“x＝a”的形式；3. 通过探索等式的性质的过程，培养观察、分析、概括的能力，渗透化归思想，培养参与数学活动的自信心与合作交流意识. 教学重点 理解和应用等式的两个性质. 教学难点 应用等式的性质，把简单的一元一次方程化为“x＝a”的形式. 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 1．上节课我们学习了方程的哪些内容？ 答案：方程的概念（含有未知数的等式叫作方程）；方程的解（使方程左、右两边的值相等的未知数的值）；解方程（求方程的解的过程）. 2．我们能估算出方程 的解吗？仅靠估算能解比较复杂的方程吗？ 答案：能估算出 x＝5（1.2×5+1＝7＝0.8×5+3）；但方程是含有未知数的等式，仅靠估算来解比较复杂的方程是很困难的，因此还要讨论怎样解方程——为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质. 【师生活动】学生回顾方程、方程的解与解方程的概念，体会估算的局限性，产生“系统学习解方程”的需求，教师顺势引出本课主题. 学生回顾旧知，体会仅靠估算解复杂方程的局限性，认识到研究等式性质的必要性. 回顾旧知，温故知新；由估算的局限性引出研究解方法的必要性，为新课做好铺垫. 环节二 创设情境 导入新课 二、创设情境 【情境导入】小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候，恰好处于平衡的位置．这时，李强和小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候跷跷板是否仍然平衡？ 答案：仍然平衡——两边同时增加相等的重量，平衡状态不变，这和等式的性质类似. 【认识天平】用天平测量物体的质量是常用方法．观察天平，回答下列问题： 天平的结构 问题1：天平有什么作用？它代表什么意义？ 答案：天平用来称量物体的质量；天平平衡时，左、右两盘物体的质量相等，可以类比等式两边相等. 问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？ 答案：左、右两盘所放物体的质量相等. 问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着质量为 (3x+4) g 的物体，右盘放着质量为 5x g 的物体，你知道怎样列式吗？ 答案：由左、右两盘质量相等，得 ． 问题4：你能求出等式 中的 x 是多少吗？ 答案：当 x＝2 时，左盘 3×2+4＝10，右盘 5×2＝10，天平平衡，所以 x＝2． 【置疑】在小学，我们利用逆运算能够解形如 ax+b＝c 的方程，比如 6x−3＝15．而对于比较复杂的方程，如 ，又该怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须要研究等式的性质. 【师生活动】学生凭生活经验回答跷跷板与天平的平衡问题，尝试求解问题3、4，再面对置疑中的复杂方程产生认知冲突，教师顺势导入新课. 学生由跷跷板、天平感受“平衡＝两边相等”，能对简单方程试解，面对分数系数方程时发现已有知识不够用，产生求知欲. 通过学生非常熟悉的跷跷板和天平，让学生感受等式可以类比天平，形象直观地展现等式的性质，激发学生的求知欲. 环节三 实践探究 交流新知 三、实践探究 【活动内容 1】探究等式的性质 在天平两边的秤盘里放着质量相等的物体，使天平保持平衡．第一步，在天平两边同时加入相同质量的砝码，观察天平是否平衡；第二步，在天平两边同时拿去相同质量的砝码，观察天平是否平衡. 两边同时加（或减）相同的量 答案：两步操作后天平都保持平衡——两边同时加上或同时拿去相同质量的砝码，天平仍平衡. 【想一想】如果天平两边物体的质量同时扩大相同的倍数（例如 3 倍），或同时缩小为原来的 ，天平还保持平衡吗？你能得出等式的什么性质？ 两边同时乘（或除以）相同的数 答案：仍保持平衡，由此可以得到等式的两条性质. 【归纳】等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 如果 a＝b，那么 ．（强调：两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子） 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等． 如果 a＝b，那么 ；如果 a＝b（c≠0），那么 ． 【活动内容 2】利用等式的性质解方程 对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的性质来解．下列方程你能用等式的性质来解吗？(1) ；(2) ． 解：(1) 两边减 7，得 3x+7−7＝−2−7． 化简，得 3x＝−9． 两边除以 3，得 x＝−3． (2) 两边加 1，得 −x−1+1＝2+1． 化简，得 −x＝3． 两边乘 −2，得 x＝−6． 【检验】把 x＝−3 代入 (1)：左边＝3×(−3)+7＝−2＝右边；把 x＝−6 代入 (2)：左边＝−×(−6)−1＝3−1＝2＝右边．一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 【归纳】经过对原方程的一系列变形（两边同加减、同乘除），最终把方程化为最简的形式 x＝a（常数），即方程左边只有一个未知数项，且未知数项的系数是 1，右边只有一个常数项．在运用性质 2 时，不能在等式两边同时乘或除以 0. 【师生活动】学生叙述天平实验发现的规律，教师引导：等式就像平衡的天平，具有同样的性质；让学生先用文字叙述，再在教师归纳下学会用符号语言表示等式的性质，随后尝试用性质解方程并交流检验方法. 学生通过天平实验观察、归纳等式的两条性质，能用文字语言与符号语言表述；会用性质把方程化为“x＝a”的形式，并养成代入检验的习惯. 天平实验既培养学生观察、思考、分析、归纳的能力，又培养学生用符号语言表示等式性质的能力；学会运用等式的性质解方程，学以致用. 环节四 学以致用 开放训练 四、学以致用 【典型例题】例 1　填空： (1) 若 m+2n＝p+2n，则 m＝p，这是把等式两边都　　　　　　，依据是等式的性质　　　； (2) 若 2a＝2b，则 a＝b，这是把等式两边都　　　　　　，依据是等式的性质　　　． 答案：(1) 减去 2n，1；(2) 除以 2，2. 例 2（教材例 4）　利用等式的性质解下列方程： (1) ；(2) ；(3) ． 解：(1) 两边减 7，得 x+7−7＝26−7． 于是 x＝19． (2) 两边除以 −5，得 ． 于是 x＝−4． (3) 两边加 5，得 −x−5+5＝4+5． 化简，得 −x＝9． 两边乘 −3，得 x＝−27． 检验：把 x＝−27 代入原方程，左边＝−×(−27)−5＝9−5＝4＝右边，所以 x＝−27 是原方程的解. 【变式训练】1．下列变形的依据是什么？ (1) 由 x−5＝0，得 x＝5； 解：根据等式的性质 1，等式两边同时加 5. (2) 由 ，得 y＝−30. 解：根据等式的性质 2，等式两边同时乘 −3. 2．利用等式的性质解方程： (1) ；(2) ；(3) ． 解：(1) 两边减 8，得 x＝−13；(2) 两边除以 4，得 x＝4；(3) 两边加 4，得 3x＝15，两边除以 3，得 x＝5. 【拓展辨析】1．下列等式变形错误的是（　） A．由 a＝b，得 a+5＝b+5　　B．由 a＝b，得 　　C．由 x+2＝y+2，得 x＝y　　D．由 x＝y，得 2x＝2y 答案：B（B 中未注明 c≠0，当 c＝0 时等式两边不能同时除以 c；A、D 用性质 1、2，C 用性质 1，均正确）. 2．利用等式的性质解方程：． 解：两边减 1，得 2x＝6；两边除以 2，得 x＝3． 【师生活动】学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法；教师对填空题强调“变形的依据必须与性质的条件一致”，对解方程强调逐步化简的目标是 x＝a. 学生准确说出等式变形的依据，规范书写“两边如何变形—化简—得出 x＝a”的格式，并注意性质 2 中除数不为 0 的条件. 例题的讲解让学生巩固所学的知识；变式与拓展辨析进一步体会两条性质的条件与结论，并能利用性质解方程，举一反三、灵活掌握. 环节五 课堂检测 堂堂清 五、课堂检测 1．方程 −6x＝3 的两边都除以 −6，得（　） A．x＝−2　　B．x＝　　C．x＝−　　D．x＝2 答案：C（3÷(−6)＝−）. 2．下列结论中，正确的是（　） A．在等式 3a−6＝3b+5 的两边都除以 3，可得等式 a−2＝b+5 B．如果 2＝−x，那么 x＝−2 C．在等式 5＝0.1x 的两边都除以 0.1，可得等式 x＝0.5 D．在等式 7x＝5x+3 的两边都减去 x−3，可得等式 6x−3＝4x+6 答案：B（A 中右边应得 b+；C 中应得 x＝50；D 中左边应为 7x−(x−3)＝6x+3；B 由性质 1 可得）. 3．如果 am＝an，那么下列等式不一定成立的是（　） A．am−3＝an−3　　B．5+am＝5+an　　C．m＝n　　D．0.5am＝0.5an 答案：C（A、B 由性质 1 得出，D 由性质 2 得出；当 a＝0 时 am＝an＝0 恒成立，m 不一定等于 n）. 4．利用等式的性质解下列方程： (1) ；(2) ． 解：(1) 两边加 3，得 −a＝8；两边乘 −2，得 a＝−16． (2) 两边减 2x，得 x+6＝31；两边减 6，得 x＝25． 【师生活动】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解；第 2、3 题强调性质使用的条件（除数不为 0、a＝0 的特殊情形）. 学生限时独立完成检测；第 1~3 题辨析性质的条件与结论，第 4 题规范运用性质解方程的书写格式. 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”. 环节六 课堂小结 布置作业 六、课堂小结 （1）等式有哪些性质？（2）运用等式的性质解方程时要注意什么？（3）你在本节课的学习中有哪些收获？还存在哪些困惑？ 【归纳】①等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等；③运用性质把方程逐步化为“x＝a”的形式，注意两边不能同时乘或除以 0；④解出的值可代入原方程检验. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生自主归纳等式的两条性质及运用时的注意事项，养成系统整理知识的习惯；课后独立完成作业. 加强反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯. 板书设计 5.1.2 等式的性质 一、等式的性质 性质1：如果 a＝b，那么 a±c＝b±c（两边加或减同一个数或式子） 性质2：如果 a＝b，那么 ac＝bc；如果 a＝b（c≠0），那么 a/c＝b/c 二、利用等式的性质解方程 目标：把方程化为 x＝a 的形式；注意两边不能同时乘或除以 0 学生板演区 学科网（北京）股份有限公司 $