精品解析：浙江绍兴市越城区联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科课堂作业调测 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，分别对A、B、C、D各选项的函数进行判断即可得答案. 【详解】解：A. 函数是一次函数，不是二次函数，故A错误. B. 中，的最高次数为1，不是二次函数，故B错误. C. 中，的最高次数为2，是二次函数，故C正确. D. 中，的最高次数为3，不是二次函数，故D错误. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件与随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义即可判断． 【详解】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意； B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意； C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意； D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 4. 某中学举办趣味运动会，其中有一项比赛的规则是：如图．三名学生分别站在点，，的位置，计时开始后，三人同时去拿放在点的气球，先拿到气球的人获胜，为了保证比赛的公平性，点应该是（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可求解； 【详解】解：利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知气球要放在三条边的垂直平分线的交点处才能使比赛公平； 故选：A 5. 若二次函数满足，则其图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，函数图象上的点满足函数函数解析式． 【详解】A、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； B、把代入，得到，满足，所以该点在函数图象上，该选项符合题意； C、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； D、把代入，得到，则，不满足，该选项不符合题意； 故选：B． 6. 从甲地到乙地有三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时的频数 公交车用时 线路 合计 45 265 167 23 500 59 151 166 124 500 50 50 122 278 500 早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（ ） A. 线路 B. 线路 C. 线路 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出A线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，即从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大，可得出结论，本题考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键． 【详解】解：由表格得，样本容量相同， ∵， ∴A线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，即从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 8. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 9. 某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】结合与确定、的正负，再代入二次函数列不等式求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵且， ∴，，即且， 解，得， 解，得， ∴， 故选项C符合题意． 10. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆．  ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则常数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上得到二次项系数为正数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得． 12. 如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点， ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 13. 若将抛物线向右平移个单位后与坐标轴只有两个交点，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线，结合平移规则得将抛物线向右平移个单位后与坐标轴只有两个交点，即可得原与轴的交点向右平移个单位后到达原点，可得的值． 【详解】解：对于抛物线， 令，解得：，当时，， ∴抛物线开口向上，对称轴是轴，与轴交点为，，与轴交点为顶点，与坐标轴有三个交点， ∴抛物线在左右平移过程中，与轴有两个交点，与轴有一个交点，通常与坐标轴有三个交点，当与轴的一个交点平移到原点时，与坐标轴只有两个交点， ∴将抛物线向右平移个单位后与坐标轴只有两个交点，原与轴的交点向右平移个单位后到达原点， ∴， ∴的值为． 14. 如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【解析】 【分析】由直径的长度求出圆的半径，明确的长度均等于半径．因为弧等于弧，所以对应圆心角与相等，结合已知的度数，求出的度数．根据的边长和角度特征，利用对应三角形的性质，求解的长度． 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接， ∵直径米， ∴圆的半径米． ∵，且， ∴， ∴． ∵是直径，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ 15. 如图，从家到公园有，两条路线可走，从公园到超市有，两条路线可走，现让小明随机选择一条从家出发经过公园到达超市的行走路线，那么恰好选到经过路线与的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率，考查学生的数据观念、应用意识．解题的关键是掌握概率=符合条件的情况数和总情况数之比． 根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：从家到公园，再到超市的路线有与，与，与 ，与共四种， 则恰好选到经过路线与的概率是． 16. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴和关键点函数值，根据最值差为定值确定的取值范围，再计算的最大值与最小值的和． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 顶点在处，顶点纵坐标为， ∵抛物线关于对称，到对称轴的距离为， ∴与函数值相等的对称点横坐标为， 此时，和处函数值相等． ∵时，最大值与最小值的差为定值，说明最大值和最小值都不随改变， ∵开口向上，要使最小值固定，顶点必须在区间内，即，此时最小值恒为顶点纵坐标； 要使最大值固定，最大值不能超过处的函数值，即， 若，最大值变为处的函数值，随改变而改变，差不再是定值， ∴的取值范围是， ∴能取到的最小值为，最大值为，二者和为． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22，23小题10分，第24小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：点D在内，点E在外，理由如下： ，，， ， ，分别是，的中点， ， 点在内； ， ， 点在外． 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，由，，，得，由，分别是，的中点，得，得点在内；由，得，得点在外，解题的关键是正确计算判断． 【详解】略 18. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． （2）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】（1）0.6 （2）10 【解析】 【小问1详解】 解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 【小问2详解】 解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 19. 在网格中（每个小正方形的边长都为个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连结，求的度数． 【答案】（1）圆心位置如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）利用外心是三边垂直平分线交点，在网格中作两条边的垂直平分线即可确定圆心； （2）计算 、、，由 判定两腰相等，由 判定顶角为直角，从而得到等腰直角三角形，求出底角 ． 【小问1详解】 解：三角形外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点．分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线交于点． 由网格格点坐标可得外接圆圆心为，以为圆心、为半径画圆即得的外接圆． 【小问2详解】 解：连接、、． 由图知 、、，由两点间距离的平方公式： ∴，即． 又． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且． ∵， 是等腰直角三角形． ． 20. 已知：抛物线 （1）求出它的对称轴，顶点坐标，并画出它的图象； （2）当取何值时，． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，图像见解析； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用配方法得到，则根据二次函数的得到抛物线的对称轴和顶点坐标，最后利用描点法画出二次函数图象； （2）结合函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 ， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 图像如下： 【小问2详解】 由图象可知，当或时，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 21. 某人要去一风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．他采用了这样的乘车方案：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆比第一辆差，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）你认为此人采用的方案，使自己乘坐上等车的可能性有多大？ 【答案】（1）6种可能；（2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法整数展示所有6种可能的结果； （3）利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率． 【详解】解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）． （2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．在各种可能性的顺序之下，此人会上哪一辆汽车： 顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上 结果 下 中 上 上 上 中 ∴此人乘上等车的概率是． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 22. 一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． （1）求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． （2）为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （2）连接AB交PQ于点E，可求出，可得A点的横坐标为，代入解析式可求出，在中，求出即可求解． 【小问1详解】 解∶由题意得，抛物线的顶点坐标为， 所以可设抛物线的表达式为， 又因为图象过点， 所以． 所以． 所以抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点E， 所以由对称可得． 因为， 所以． 所以A点的横坐标为：． 所以当时，，即． 因为， 所以． 所以在中，． 所以． 23. 在中，半径为． （1）如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． （2）如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】（1） （2）四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 ② 【解析】 【分析】第问，由弧的度数得到圆心角，判定等腰直角三角形求出弦长；看到两边中点，直接利用三角形中位线定理快速计算． 第通过弧相等得到圆心角为，结合半径相等证明等边三角形，根据四边相等判定菱形． 第采用构造中位线的思路，取中点，构造两条中位线、，借助菱形垂直关系推导出，在直角三角形中用勾股定理求． 【小问1详解】 解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． 【小问2详解】 ①略 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点， 所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 24. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 【答案】（1）3， （2）2.25米 （3）；的取值范围为： 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，代入求出值，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由、之间的水平距离为8米得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点， 已知墙与等高， 即（米， 当时，，即顶点坐标为， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； 【小问3详解】 解：由题意知，点、纵坐标均为3，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得； 当时，即，解得（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科课堂作业调测 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 3. 如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某中学举办趣味运动会，其中有一项比赛的规则是：如图．三名学生分别站在点，，的位置，计时开始后，三人同时去拿放在点的气球，先拿到气球的人获胜，为了保证比赛的公平性，点应该是（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条中线的交点 5. 若二次函数满足，则其图象必经过点（ ） A. B. C. D. 6. 从甲地到乙地有三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时的频数 公交车用时 线路 合计 45 265 167 23 500 59 151 166 124 500 50 50 122 278 500 早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（ ） A. 线路 B. 线路 C. 线路 D. 不能确定 7. 在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 某工厂生产一种产品，日利润y（万元，负值表示亏损）与日产量x（百件）之间近似满足二次函数关系．当日产量为3百件和5百件时，日利润分别为a万元和b万元．若，且，则n的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则常数a的取值范围是______． 12. 如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为___________． 13. 若将抛物线向右平移个单位后与坐标轴只有两个交点，则m的值为______． 14. 如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 15. 如图，从家到公园有，两条路线可走，从公园到超市有，两条路线可走，现让小明随机选择一条从家出发经过公园到达超市的行走路线，那么恰好选到经过路线与的概率是________． 16. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 三、解答题（本大题有8小题，第17~21小题每小题8分，第22，23小题10分，第24小题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 18. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． （2）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 19. 在网格中（每个小正方形的边长都为个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连结，求的度数． 20. 已知：抛物线 （1）求出它的对称轴，顶点坐标，并画出它的图象； （2）当取何值时，． 21. 某人要去一风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．他采用了这样的乘车方案：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆比第一辆差，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）你认为此人采用的方案，使自己乘坐上等车的可能性有多大？ 22. 一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． （1）求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． （2）为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 23. 在中，半径为． （1）如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． （2）如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 24. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​ （1）如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $