精品解析：广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2026-2027学年上学期八年级9月学情自测数学试题

桂林市国龙外国语学校2026学年 初二年级9月数学学科质量检测 考试时间：120分钟　总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单选题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. ，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 把在实数范围内因式分解，结果为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 6. 如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的8倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 7. 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（ ） A. 30 B. 40 C. 70 D. 140 8. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 我爱福田 B. 我爱福外 C. 我爱幸福 D. 幸福福田 9. 因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 28 C. 40 D. 48 11. 在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A. 45 B. 63 C. 54 D. 不确定 12. 已知，，，那么代数式的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13. 分解因式：________． 14. 计算：_________． 15. 已知，则_________． 16. 已知实数p，q满足，，且，则_________． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 18. 分式计算： （1）； （2）； （3）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知：当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为，则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当________时，原式． 所以原式可分解为________与另一个整式的积． 若设另一个整式为，则________，________． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是， 求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． … （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为________，的值为________． 21. 配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式；原式______． （2）求代数式的最小值：， ∵， ∴当即时，有最小值，最小值是______． [拓展应用] （3）如图，在四边形中，，，，若，求四边形面积的最大值． 22. 【问题情境】 在校园劳动实践活动中，我们常常通过将劳动场地划分成若干个长方形来设计种植区域、分配劳动任务．比如，一块边长为的正方形菜地，就可以通过分割成4块较小的长方形菜地，如图1，面积分别为，即，所以． 【解决问题】 （1）如图2，将边长为的正方形劳动场地划分成9块较小的长方形，分别计算它们的面积，由此得到______； （2）在图2中，已知，，求的值； （3）【问题拓展】 如图3，已知边长分别为的正方形和边长为的长方形，利用这3种图形拼接一个面积为，画出拼接示意图，并利用该示意图直接写出多项式因式分解的结果． 23. 数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式． 【公式推导】 （1）请推导立方和公式：． 【公式应用】 （2）请利用上面的公式进行因式分解： ①； ②． 【拓展应用】 （3）已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市国龙外国语学校2026学年 初二年级9月数学学科质量检测 考试时间：120分钟　总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单选题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． ，左边是整式乘积，右边是多项式，不是因式分解． B． ，右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． C． ，与左边不相等，不是因式分解． D． ，左边是多项式，右边是整式乘积的形式且等式成立，是因式分解． 2. 下列各式：，，，，，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】分式的定义为：若A，B是整式，且B中含有未知数，则式子是分式． 【详解】解：的分母为常数2，分母为常数3，中是常数，都不是分式； 和的分母都含有未知数x，符合分式定义，是分式； ∴分式共有2个． 3. ，，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． 4. 把在实数范围内因式分解，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对原式用平方差公式分解，再对两个因式继续用平方差公式分解即可． 【详解】解：  ． 5. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 6. 如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的8倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：把和都扩大为原来的倍后，分式变为， 即分式的值扩大为原来的倍． 7. 如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值是（ ） A. 30 B. 40 C. 70 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形的周长计算公式和面积计算公式可推出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A. 我爱福田 B. 我爱福外 C. 我爱幸福 D. 幸福福田 【答案】A 【解析】 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 9. 因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲看错了的值可以知道，甲的分解结果中的值是正确的，根据乙看错了的值可以知道，乙的分解结果中的值是正确的，据此即可得到、的值，进而得到答案． 【详解】∵甲看错了的值， ∴， ∴； ∵乙看错了的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 10. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 28 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设两个偶数分别为、（、为整数，），则美丽数，与同奇偶，再逐一验证选项． 【详解】解：设两个偶数分别为、（、为整数，）， 根据定义，美丽数， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此36是美丽数； B选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此28是美丽数； C选项：，，不存在两个同奇偶的整数相乘得10，因此40不是美丽数 D选项：，，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，解得，，存在整数解，因此48是美丽数． 11. 在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A. 45 B. 63 C. 54 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m）， ∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m）， ∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m）， ∴n﹣2＝9，m＝， ∴n＝11，m＝63． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 12. 已知，，，那么代数式的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、代数式的化简求值，利用差值消元是解题的关键． 通过计算的值，将原式转化为，再代入的表达式简化求值． 【详解】解： ． ． 原式． 故选：B． 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，保证分解彻底． 【详解】解：． 14. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行简便计算． 【详解】解： 15. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求多项式按每3项分组，利用已知推导出，再化简计算即可得到结果． 【详解】解：设所求式子为 ∵ ，等式两边同乘得，即 ∴ 将从首项开始每3项分为一组，可得 ∵ 每组提取公因式后满足，前组共项，和为 ∴ ∵ ， ∴ ∵ ，移项得 ∴ 16. 已知实数p，q满足，，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形构造出关于和的关系式，利用因式分解结合得到的值，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，等式两边同乘得 ， ∴ ； ∴ ， 移项整理得 ， 因式分解得 ， 即 ； ∵ ， ∴ ； ∴ ， 代入得 ． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解． （2）先分组分解，前两项用平方差公式分解后再提取公因式． （3）直接用平方差公式分解后化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 分式计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】将除法转化为乘法约分，再合并分式得到最简式，代入数值计算即可求解． 【详解】解：原式  将，代入得： 原式． 20. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知：当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为，则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当________时，原式． 所以原式可分解为________与另一个整式的积． 若设另一个整式为，则________，________． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是， 求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． … （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为________，的值为________． 【答案】（1）；；； （2）解：设另一个因式为，则， 展开右侧：， 左右两边同次项系数相等：， 由得， ∴另一个因式为 代入：， ∴另一个因式为，． （3） ； 【解析】 【分析】（1）先代入整数试根找到使原式等于0的值，确定一次因式，再展开等式右侧多项式，对比等式两边同次幂系数列方程组，解方程组得到、即可； （2）先设出二次因式，展开右侧乘积式，根据左右两边同次项系数相等列出三元一次方程组，依次求出、，再计算的值，写出另一个因式即可； （3）先设出另一个一次因式，展开等式右侧多项式，对比一次项系数求出未知常数，确定另一个因式，再根据常数项等量关系求出的值即可． 【小问1详解】 解：原式：， 试根：代入，， 当时，原式， 原式可分解为与另一个整式的积， 设， 展开右侧：， 对比系数：， 解得：，， 故答案为：；；；． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 设 展开右侧：， 对比一次项系数：，得， ∴另一个因式为， 常数项关系：， 代入，得， 解得． 21. 配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式；原式______． （2）求代数式的最小值：， ∵， ∴当即时，有最小值，最小值是______． [拓展应用] （3）如图，在四边形中，，，，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）根据不等式的性质求解； （3）设与交于点O，首先表示出，然后利用配方法表示出四边形面积，然后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设与交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，四边形面积的最大值为9． 22. 【问题情境】 在校园劳动实践活动中，我们常常通过将劳动场地划分成若干个长方形来设计种植区域、分配劳动任务．比如，一块边长为的正方形菜地，就可以通过分割成4块较小的长方形菜地，如图1，面积分别为，即，所以． 【解决问题】 （1）如图2，将边长为的正方形劳动场地划分成9块较小的长方形，分别计算它们的面积，由此得到______； （2）在图2中，已知，，求的值； （3）【问题拓展】 如图3，已知边长分别为的正方形和边长为的长方形，利用这3种图形拼接一个面积为，画出拼接示意图，并利用该示意图直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】（1）； （2） （3）如图所示， ． 【解析】 【分析】（1）如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）将等式变形，利用代入法即可求解； （3）根据等式，可确定所需长方形5个和边长为m的正方形2个以及边长为n的正方形3个，作出相应的图形，再根据总面积等于长乘以宽即可进行因式分解． 【小问1详解】 解：如图， 从整体来看，该图是边长为的正方形，可得图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为，宽为的长方形、个长为，宽为的长方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式：， 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴； 【小问3详解】 解：略； 23. 数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式． 【公式推导】 （1）请推导立方和公式：． 【公式应用】 （2）请利用上面的公式进行因式分解： ①； ②． 【拓展应用】 （3）已知，，求的值． 【答案】（1）解： ， ， ， ． （2）① ； ② ． （3）． 【解析】 【分析】（1）先类比立方差公式的推导方法得到立方和公式； （2）直接利用公式计算，即可求解； （3）用公式进行因式分解，最后通过完全平方与立方和公式把 用 与 表示． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① ． ② ． 【小问3详解】 解：， ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $