精品解析：广西桂林市第十八中学2025-2026学年八年级上学期1月数学学情自测

数学 （考试时间表120分钟满分：120分） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效，不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解决此题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：分式有意义， ， ，   故选：A ． 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 4. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 6. 若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 5或9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、二次根式的加法、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、二次根式的加法、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 10. 平面直角坐标系中，已知，．若在x轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由点A、B的坐标可得到，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为A（2，2）、B（4，0）． ∴， ①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x坐标轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）， ∴满足△ABC是等腰三角形的C1点有1个； ②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x坐标轴有2个交点，满足△ABC是等腰三角形的C2与C3点有2个； ③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x坐标轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C4点有1个； 综上所述：点C在x坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个． 故选：C． 【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上． 11. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 12. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则，． 根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则的度数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．利用平行线的性质求得，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 若与的值相等，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，解分式方程． 根据与的值相等建立方程，然后解分式方程，注意分母不为零的条件． 【详解】解：∵与的值相等， ∴， 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）化简：，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出零次幂，绝对值，二次根式的值，再算加减即可； （2）根据分式的性质，先算括号，再算乘法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 如图所示： 的面积为； 【小问3详解】 存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 20. 在某段高速公路修建中需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ （2）经预算甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 【答案】（1） 天 （2） 元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用． （1）设甲工程队需要天，则乙工程队需要天，甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天，找相等关系列方程求解； （2）设两个工程队合作完成这项工程需要天，列方程求出工作的天数，再根据甲、乙两个工程队的费用求出打通这条隧道的施工费用． 【小问1详解】 解：设甲工程队需要天，则乙工程队需要天， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 甲工程队单独施工需要天， 天， 答：乙工程队单独完成此项工程需要天； 【小问2详解】 解：设两个工程队合作完成这项工程需要天， 根据题意可得：， 解得：， (元)， 答：两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是元． 21. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式； （2）若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】（1） （2） ①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ② 【解析】 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 22. 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． （2）根据图②所得的公式，若，求的值． （3）如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）； （2）； （3）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为平方米． 【小问1详解】 解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）的结论得：， 又， ； 【小问3详解】 解：设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， （2）解： 理由：如图，连接，在取点G，使得，连接， 同得， ，，， ， ，即， ， ， ， （3）的值为 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得； 在取点G，使得，连接同得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出； 延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 【详解】略 略 解：的值为；理由如下： 延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 同理可证：，， ，， ， 设，，， 则，，， ，，， ， ，， 即，， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （考试时间表120分钟满分：120分） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效，不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 2 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 5或9 7. 如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，已知，．若在x轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 12. 如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：___________． 14. 如图，在中，，，则的度数是 ________． 15. 若与的值相等，则___________． 16. 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为______度． 三、解答题（共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）化简：，． 18. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）请在下图中画出与关于y轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20. 在某段高速公路修建中需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． （1）乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ （2）经预算甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 21. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式； （2）若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 22. 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． （2）根据图②所得的公式，若，求的值． （3）如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 23. “转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为，所以…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边改成，且，，其他条件不变，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形中，，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $