精品解析：广东江门市新会尚雅学校2026-2027学年九年级上学期数学 第一次核心素养训练B

2026—2027学年第一学期九年级数学 第一次核心素养训练B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为； 故选:B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键． 4. 某厂家年至月份的某种产品产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图确定月份和月份的产量，结合平均增长率公式建立方程． 【详解】解：由图可知，月份的产量为万件，月份的产量为万件， ∵从月份到月份该厂家这种产品产量的平均月增长率为， ∴月份产量为万件，月份产量为万件， ∴可列方程． 5. 设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 6. 如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 7. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 8. 二次函数的图象与轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设“□”为m，根据判别式的意义得到，求出m的范围，再根据选项即可解答． 【详解】解：设“□”为m， ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， 解得， 只有选项A，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数（a，b，c是常数，），决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 9. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将一般式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图象是对称轴为，最大值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行会停止， ∴A选项符合题意． 10. 如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，证明，则，那么当时，最小，即最小，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取中点，连接，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴此时， ∴最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形进行问题转化． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分 11. 若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出m的值． 【详解】解：∵二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下， ∴|m|＝2，且m+1＜0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较大小，涉及二次函数图象与性质、二次函数增减性等知识，先判断增减性，再求出对称轴，根据点到对称轴的距离求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴点B离对称轴最近，点C离对称轴最远， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 【答案】(32-x)(20-x)=540 【解析】 【分析】如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，进而列出方程即可． 【详解】解：如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了， 由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米， 由矩形的面积公式则可得：(32-x) (20-x)=540． 故答案为：(32-x) (20-x)=540． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是列出正确的方程． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 如果二次函数的系数满足，那么我们把这种函数称为和谐函数．有关和谐函数，下列说法：①该和谐函数必过定点；②若关于的函数是和谐函数，则；③和谐函数的图象与轴一定有交点；④若一个和谐函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，则．其中正确的是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据和谐函数的定义，结合二次函数的性质和一元二次方程根与系数的关系，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：①当时，代入二次函数得， ∵和谐函数满足， ∴， 即和谐函数必过定点，故①正确． ②∵是和谐函数， ∴根据定义得， 解得或，故②错误． ③∵和谐函数满足， ∴， 对应一元二次方程的判别式， 代入得， ∴和谐函数的图象与轴一定有交点，故③正确． ④若和谐函数的图象与轴交于， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴，故④正确． 综上，正确的是①③④． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 利用解一元二次方程-因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 17. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）已知方程有一根大于6，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， 依题意，得 ∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可得； （2）由求根公式得出，由方程有一个根大于6知，解之可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由求根公式，得， ∴， ∵方程有一个根大于6， ∴． ∴． ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形： （2） 解：如图，即为所求作的三角形： （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 20. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 21. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【小问1详解】 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； 【小问3详解】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求线段的最大值； （3）如图，点在线段上（点不与点重合），点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等面积法求出是解题的关键． （1）当时，求出，当时，求出，； （2）过点作轴交直线于点，设，则，再由，得到，当时，有最大值； （3）设，则，直线与抛物线的交点为，同理可求直线与抛物线的交点为，又由，，即可求． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， 解得或， ，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值； 【小问3详解】 解：设，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 同理可求直线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ，， ． 23. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）①；② （2）①解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使，连接， ， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）①小林的思路：证明，得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案；小红的思路：根据三角形中位线定理得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案； ②可证明，得到，再利用勾股定理求解即可； （2）①延长到点G，使，连接，由三角形中位线定理得到；证明，得到，则可得到； ②分两种情况：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，同（1）②证明即可得到答案． 【小问1详解】 解：①小林的思路：如图2，延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 小红的思路：如图3，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； ②如图2所示，当时，， 由（1）①得， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②∵等腰直角三角形中，，， ∴； 如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∴由（2）①可得； 如图所示，当点D在的延长线上时，延长到点M，使，连接， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学 第一次核心素养训练B 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂家年至月份的某种产品产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 5. 设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 二次函数的图象与轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 9. 飞机着陆后滑行的距离s（）关于滑行时间t（）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分 11. 若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为_____． 12. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____． 13. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 如果二次函数的系数满足，那么我们把这种函数称为和谐函数．有关和谐函数，下列说法：①该和谐函数必过定点；②若关于的函数是和谐函数，则；③和谐函数的图象与轴一定有交点；④若一个和谐函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，则．其中正确的是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）已知方程有一根大于6，求的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 21. 投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求线段的最大值； （3）如图，点在线段上（点不与点重合），点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 23. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $