精品解析：广东佛山市南海区石小实验学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次学情调研卷

2026－2027学年度第一学期九年级第一次学情调查 数学科调研卷 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. 1 B. 2.5 C. 7.5 D. 10 2. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 3. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感．我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点，则图中黄金矩形的个数是（注：）（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 12. 若，则______． 13. 现有大小相同的正方形纸片张，小亮用其中张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张___________正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开). 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15. 如图，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合：以的速度沿直线从左向右运动矩形保持不动，直到点运动到与点重合时运动停止，设运动时间为秒，当与矩形重叠部分的面积为时，的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程：． 17. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 20. 如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； （2）在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； （3）在图3中的线段上画一个点P，使． 21. 如图，在中，，点为的中点，连接．过点作的平行线，交的延长线于点，连接．过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： （1）若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； （2）对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 23. 如图1，在中，点M是边上的一点，连接．若． （1）【初步感知】＝______． （2）【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点P，连接的延长线与相交于点N．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【变式探究】如图3，连接与交于点E，连接．当时，与之间的关系是，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期九年级第一次学情调查 数学科调研卷 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. 1 B. 2.5 C. 7.5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的定义得到，然后把代入进行计算即可． 【详解】解：∵线段是成比例线段，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段有，那么就说这四条线段成比例． 2. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 3. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：在方程中， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由△AEO∽△CBO，可知OE：BO=3:1，即可得出OB的长. 【详解】∵ ∴，则 ∵△AEO∽△CBO， ∴， ∴OB=6，选C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用. 7. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设共有x个队参加比赛，根据“赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设共有x个队参加比赛，则， 故选：D． 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景．通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来即可求解． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示； 中间小正方形的边长为其面积为1， 大正方形的面积：，其边长为5， 因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选：D． 10. 两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感．我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点，则图中黄金矩形的个数是（注：）（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理得，然后依次判断每个矩形的长与宽的比是否为，据此即可解答． 【详解】解：不妨设正方形的边长为， ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∵分别取AB、CD的中点E、F，连接EF， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可证，四边形，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴矩形是黄金矩形； 在矩形中， ， ∴， ∴矩形不是黄金矩形； 在矩形中，，， ∴， ∴矩形是黄金矩形； 在矩形中，， ∴矩形不是黄金矩形； 同理可证，矩形不是黄金矩形； 综上，黄金矩形有2个，分别是矩形，矩形， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知比例关系得到的值，再将所求分式拆分为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. 现有大小相同的正方形纸片张，小亮用其中张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张___________正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开). 【答案】8 【解析】 【分析】两个长方形形状相同，即相似，由相似多边形对应边成比例，可知长宽至少是原来的2倍，据此计算可出答案. 【详解】∵拼一个它形状相同但比它大的长方形，长宽至少是原来的2倍， 原长方形由1×2个正方形组成， ∴大的长方形至少为2×4个正方形组成， ∴至少需要8个正方形纸片 故答案为8. 【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键. 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 15. 如图，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合：以的速度沿直线从左向右运动矩形保持不动，直到点运动到与点重合时运动停止，设运动时间为秒，当与矩形重叠部分的面积为时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∴， ∵ ∴，即点在矩形的上边所在直线上，当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论： ①当未完全进入矩形时， 即此时点在点的左侧，重叠部分面积， ∵ ∴左侧未进入部分为等腰直角三角形， 依题意， ∴ 解得， ∵ ∴ ②当穿出矩形时，即此时点在点的右侧，超出部分长度为重叠部分面积 ∵ ∴右侧穿出部分为等腰直角三角形 ∴ 解得， ∵ ∴ 综上所述，的值为或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 17. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质可得即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（矩形的对角线相等）， （矩形的对角线互相平分）． ∴． ∴， ∴． 又∵（矩形的四个角都是直角）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理及直角三角形的性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设这两年平遥县游客量的年平均增长率为，根据2025年接待游客量将达到1440万人次，再建立方程求解即可； （2）设每个纪念品应降价元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设这两年平遥县游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年平遥县游客量的年平均增长率； 【小问2详解】 设每个纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每个纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每个纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每个纪念品应降价10元． 20. 如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； （2）在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； （3）在图3中的线段上画一个点P，使． 【答案】（1）如图，正方形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，则四边形即为所求，根据勾股定理可求，若连接，则在中，由勾股定理逆定理可得，故四边形为正方形，故符合题意； （2）取格点E，连接，则即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明，则和是以点A为位似中心的位似三角形； （3）取格点C、D，连接交于点P，则点P即为所求，可证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，，点为的中点，连接．过点作的平行线，交的延长线于点，连接．过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：点为的中点， . ， . 又， . . 又， 四边形为平行四边形. 又四边形为菱形. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，判定四边形是平行四边形，再结合已知，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）根据菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 四边形为菱形， ，即. 在Rt中，根据勾股定理得. ， ． 又， . ，即 ． . 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： （1）若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； （2）对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 【答案】（1）①；②． （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； （2）先由题意得，得到，根据，可得 ，由韦达定理可得，，则，故，再分类求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为，其中，，， “最值码”， ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 对于方程，由韦达定理可得， ∴ ∵方程是“全整根方程” ∴一定为完全平方数 而是平方数 ∴为平方数， ∵是正整数 ∴或 ∴或 ∴该方程的“最值码”为或． 23. 如图1，在中，点M是边上的一点，连接．若． （1）【初步感知】＝______． （2）【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点P，连接的延长线与相交于点N．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【变式探究】如图3，连接与交于点E，连接．当时，与之间的关系是，求k的值． 【答案】（1） （2）线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图： 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先求得，，即可得到，据此求解即可； （2）连接交于点，证明，求得，推出四边形为平行四边形，再证明，求得，再证明，据此计算即可求解； （3）证明，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴以为底的高相等， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长和相交于点， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $