专题04 指数运算与指数函数（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学北师大版高一必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04指数运算与指数函数（六大题型） 考点归纳 考点01指数幂的运算性质 考点02指数函数的概念 考点03指数函数的图象 考点04指数型复合函数的值域与最值问题 考点05指数型复合函数的不等式问题 考点06指数函数模型的应用 考点专练 考点01指数幂的运算性质 一、单选题 1.已知Vx2+9-V2+2=1,则x2的值为() A.3 B.4 c.万 D.7 2.设幂函数f()=(2m2-2m-3)r的图象经过原点，若1<a<b,则() A.f8日rafo ®.日sf8fo)<fa c.fo)<fa)f日f日 D.faro86⑧ 3.某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物 4 每周以%的增长率生长若经过8周后，该植物的长度是原来的3倍，则再经过12周，该植物的长度大约 是原来的( 9v6 96 16倍 B. 8倍 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 323 c.2倍 。等e 4.化简a-+-a}+1-a+(a-+2-b+b-2的结果是() A.1-a B.21-a) c.a-1 D.2(a-1) 5.己知4+(x-2)2-1=0,4+y22-16=0,则2026*y=（) A.2026 B.20262 C.2026 D.20264 二、解答题 6.(1)用分数指数幂表示匠V云： 0.3 。+=g求@a+a:@。+a:@(a+2 (3)已知！】 7.计算： (9+0.1+27) (1 25)月 -(3+π)° 64 a3+a3+2 2已知a+a=3,求a+a的值 a*+ax 8.已知g=√2+1，求a+a的值 9.化简下式： oo 12 21 10.正实数a,b满足a+b=4,若m=a+3ab,n=b+3ab,求(m+n)+(m-n)的值. 考点02指数函数的概念 一、单选题 2x2 1.函数y=33西的图象大致为（) 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、 2.已知函数f()=(x-1),则() A.f(x-1)=f(1-x) B.f(x-1)=f(x+1) c.f(1+x)=f(1-x) D.f(1+x)=-f(1-x) 3.若函数f()=(8-2)a(a>0且a≠1)是奇函数，则a=() A.4 B.2 c.2 1 D.4 4已痛数两间e-必的国经试个则君-() A. 2 C.2 D.2 5.己知函数f(x)满足xyeR,3f0)-3f()s(9-9)f,)f),且0=5，则r(x)的最大值 是( ) 86 6 C.1 D.2 二、多选题 6.己知函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)+f()+g()-g)=2+2',则() A.f(0)=1 B.曲线y=f(x)是轴对称图形 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.f(x)≥g(x) D.曲线y=g(x)是中心对称图形 三、填空题 7.设f)是R上的函数，若f()+x为奇函数，f)+2为偶函数，则f四的值为 g已知数小--中1，若正数”0满足日f-小-，则m+片的最小值为一 四、解答题 9股间 1)求f(0)和f(): (2)若0<a<1,求f(a)+f(1-a)的值： 2025 (3)求 (2026 的值 10.己知函数f()定义域为R,f)>fx-)+f(x-2),且当x<3时，f()=x. (1)求证：f(3)>3: (2)求证：f(5)>8: (3)请判断2-2-2'的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数(x)表达式. 考点03指数函数的图象 一、单选题 1.函数y=e+e 「e-e的图象大致为() e 2,当a<0时，函数/()=-的图象大致是（) 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :O 3.己知函数f(x)=e-e+x,若函数y=/r-m)+川为偶函数，则() A.m+n=-2 B.m+n=-1 C.m+n=0 D.m+n=2 4.函数f()=a的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是() -10 1 A.a>1.b<0 B.a>1,b>0 c.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 5.已知函数f(x)=a-ba>0,且a≠)的图象如图所示则函数g(x)=(x-a)(x+b)的图象可能是() y=f(x) y=f(x) A B 5/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x 6.已知m∈R且a=2m+5,b=3m+3,c=5m+2,则a,b,c的大小关系不可能是() A.a<b<c Bb<c<a C.a<c<b D.b<a<c 7函数f()=x21-2》 e*+1 的部分图象大致为() VA 二、多选题 &.函数y=a-a>0,a≠的图象可能是（) A 6/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.若实数x,y满足5x-4y=5'-4,则下列关系式中可能成立的是() A.x=y B.I<x<y C.0<x<y<1 D.y<x<0 三、解答题 10.己知片=a,片=b是指数函数，为=x,y4=x是幂函数，它们的图象如图所示，判断a,b,c, d的大小关系 VA 考点04指数型复合函数的值域与最值问题 一、单选题 x2-2mx+4,x<0 1.已知函数/(x)= 3-m,x>0 ”m≤0：若关于x的方程f)-m-4=0恰有一个实数根，则 ,其中 实数m的取值范围为() A.（-0,-2) B.（-0,-I) c.[-2,0] D.[-l,0] 2.己知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f()-3e,则函数y=f()的最大值为() A.-2 B.-2i C.2 D.2W2 二、填空题 「-x2-4x+1,x≤0 3.已知函数f(x)= 2-s0·则 的最大值为 f(x) 三、解答题 4.已知奇函数f(x)=a:2-1 2*+1 (1)求实数a的值： (2)判断函数∫(x)的单调性，并用定义证明； (3)函数m(x)=b(2+f(x)+4+b-1,x∈[-3,0]，是否存在实数b,使得函数m(x)的最大值为1？若 存在，求出b的值，若不存在，说明理由 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知函数f(x)=9-2m3 (1)若m=1,求(x)的值域： (2)若x∈[0，]时，f(x)的最小值为g(m),求函数g(m)的解析式. 6.已知函数f(x)=9+2a3-1. (1)当a=-1时，求f)在x∈[-l,2]上的值域： (2)若f(x)在(L,+o)上单调递增，求实数a的取值范围 7.已知函数f(x)=a'+a的定义域为[-l,小 且图案经过点引 (1)求a的值： (2)求f()的值域： 3)求g(x)=[f(x)]-2mf(x)+2的最小值h(m). 8,已知函数y=-5十：x∈R是奇函数，m为实数 (1)求m的值； m 2)当x∈[-1,2)时，求函数y=1- S”+1的值域。 9.己知函数f()=m(m>0且m≠1)的图象过点(3,27). (1)求f(x)的解析式： (2)设函数G(x)=f(x)+af(2x)(a∈R),求G(x)在(0,0]上的最大值. 10.己知函数f(x)=2*+2,g(x)=2-2 (1)若存在x∈(0，+)，使得f(x)=12+1成立，求实数t的取值范围； 2)若x∈0，，求函数F()=/2x)-8)-1的最小值。 考点05指数型复合函数的不等式问题 一、填空题 1.若不等式4+2+a>0对于任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 2.已知函数f()=2+m-4,若x∈[0,2]，f(x)>2-m2-2恒成立，则实数m的取值范围是 二、解答题 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.设函数f(x)=r+ka(k∈R,a>0,a≠1)且f(x为奇函数. (a若/0=，求f(四)的解析式 (2)在(1)的条件下，若函数h(x)=a2+a2-f(x)2元在x∈[l,+∞)上恒成立，求实数元的取值范围. 4.解出下列x的取值范围. (1)如果a>a(a>0,a≠)，求x的取值范围。 2没f)=3,8()=10-},如果fg,那么x的取值范周是多少？ 3 5.己知函数8()=3+ (1)求8(x)+g(2-x)的值： (2)若对任意，∈R,且+x>2,不等式8(：)+8()>+21恒成立，求实数1的取值范围， 6.已知图数日am-红+2，虽数A)小-（周） (x) (1)若函数f(x)在(-0，和[，+∞)上的单调性相反，求f()的解析式： 2活。<0不等式h)s9在0号引 上恒成立，求的取值范围. 7.已知函数 3+1 +a.3 (1)当a=1时，求f(x)在(0，+∞)上的值域： (2)若对于定义域内的任意实数x,都有f(:)≥-l恒成立，求实数a的取值范围： 3)若函数8(x)=/()-1在区间(O,刂内单调递减，求实数a的取值范围。 8.若函数f(x)满足：x,y20,有f(x)≥0，f(y)≥0和f(x+)+f(0)≥f(x)+f(y)同时成立，则称 f()为“类直线函数”· (1)判断函数f()=x+1是否为“类直线函数”： 2)设函数g()=4-0+a)2+a 2 (i)若8(x)为“类直线函数”，求实数a的取值范围： 9/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （i)若。=0求证：当21时，8)-82-1， 9.已知函数f(x)=a-2+ +2(a、b为非零常数) (1)当a=1时，f(x)为偶函数，求b的值； (2)当a=b>0时，求f(x)满足f(x+2)>f(x)的x的取值范围： 当a=子方=时，若有在5e(0,对红产xeQ小花有心)户r-3斗求m的取位范 10. 己知函数f(x) 和 -x2+4x+1,x>0g(x)=ax+1 (1)求函数f(x)的单调减区间： (2)当a>0时，对任意∈[0,2]，，∈[L2],都有f()≤g()成立，求实数a的取值范围. (3)若对任意的x∈(0,1)，至少有4,6∈[-1，a],(G≠1)使得f(G)=f(G)=g(x),求实数a的取值范围 考点06指数函数模型的应用 一、单选题 12 1.已知f(x)=e,若a>0:b>0:且f(a)f(2b)=e3,则a+的最小值为（） 9 A.2 B.3 C.2 D.9 2.一种质量为kg的物质，在化学分解中，经过时间t(单位：mi)后，所剩的质量m(单位：kg)与 时间t的函数关系为m=a(a,k均为参数，a>0且a≠1)已知kg的该物质，在化学分解中，经过 min后，所剩的质量为0.5kg,再经过min后，所剩的质量为0.25kg,则() A.4=2 B.4=213 1 C.6=412 D.4=2 3.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系 统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）·现在加密密 钥为y=a（a>0:且a≠1)，如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“64”，则解密后 得到的明文是() 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-18 B.-15 C.15 D.18 1 1 4.从盛有L纯酒精的容器中倒出，然后用水填满：再倒出，又用水填满…连续进行n次后，容 器中纯酒精剩下不到2，则n至少是() A.4 B.5 C.6 D.7 5.有容积相等的桶A和桶B,开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B中，t分钟 后，桶A的水剩余y=m(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B中的水相等，要使桶A a 中的水只有16升，必须再经过() y =am a A y2=? B A.12分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 6.某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动一张纸每对折一次，纸张变成两层， 纸张厚度会翻一倍现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折： 借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折()次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距 离 A.41 B.43 C.45 D.47 7.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为 原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q,该生物体 内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为() 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A=0为 ®=1别 e-et对 喝 二、解答题 8.对于定义在D上的函数f(x),若存在实数m,使得f(x+m)-f(m)为偶函数，则称函数f(x)为2型函 数，若存在实数，使得f(x+m)-f(m)为奇函数，则称函数f(x)为22型函数， (1)已知f(x)的定义域为R,且f(x)的图象关于直线x=a对称.证明：若f(x)为2型函数. (2)若f)=e+e,h(x)=fx)-e,且h()为2，型函数. ①证明：t>1; ②若t=2,对于x∈R,af(2)+h(2)+2a+6≤0，求a的取值范围. 9.定义函数f(x)=4-(a+l)2+a(其中x为自变量，a为常数)· (I)若当xe[0,2]时，函数f(x)的最小值为-1，求实数a的值： (Ⅱ)设全集U=R,已知集合A={x5()≥f(0外，B={f(x)+f(2-x)=5(2},若集合A,B 满足(CuA)门B≠②，求实数a的取值范围， 10.定义：若对定义域内任意x,都有f(r+a)>f()(a为正常数)，则称函数f(r)为“a距”增函数. (1)若f()=2-x,x∈0，+∞，试判断f(x)是否为“1距”增函数，并说明理由： (2)若f)-+4,XGR是a距”增函数，求a的取值范周： (3)若f()=2,x∈(1，+∞，其中keR,且为“2距”增函数，求f()的最小值. 12/12 专题04 指数运算与指数函数（六大题型） 考点01 指数幂的运算性质 考点02 指数函数的概念 考点03 指数函数的图象 考点04 指数型复合函数的值域与最值问题 考点05 指数型复合函数的不等式问题 考点06 指数函数模型的应用 考点01 指数幂的运算性质 一、单选题 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 2．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 3．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 5．已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 二、解答题 6．（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 7．计算： (1) (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 8．已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 9．化简下式：. 【答案】 【详解】 10．正实数满足,若,,求的值. 【答案】8 【分析】利用最小幂换元，设,将转化为关于的表达式， 再借助于立方和和立方差公式提取公因式化简，代入已知条件即可求值. 【详解】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 考点02 指数函数的概念 一、单选题 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， 所以. 3．若函数且是奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以， 又且，所以. 当时，是奇函数. 故满足题意. 4．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 5．已知函数满足，，且，则的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，① ． 则交换可得，， 化为② 由① ② 可得③ ， ③ 中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于. 二、多选题 6．已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．曲线是轴对称图形 C． D．曲线是中心对称图形 【答案】ABD 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：令可得，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知，结合对称性的定义分析判断；对于C：利用作差法分析判断. 【详解】因为，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，解得，故A正确. 对于选项B：令，，解得， 则，所以函数是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，且， 则， 整理可得对任意x，y成立， 可知是常数，设，即， 则， 所以的图象关于点对称，故D正确； 对于选项C：因为， 因为的值未知，则的符号未知， 所以不能判断与的大小关系，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题 7．设是上的函数，若为奇函数，为偶函数，则的值为______． 【答案】 【分析】应用为奇函数可得，利用为偶函数可得，进而可得. 【详解】因为为上的奇函数，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以两式相加即得， 所以. 故答案为：. 8．已知函数，若正数，满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据函数的解析式，可得，据此得出，再结合基本不等式中“1”的代换应用，即可求解. 【详解】因为函数， 则 ， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 又，所以，即，所以， 又，均为正数，所以 即， 当且仅当时，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 9．设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 10．已知函数定义域为，，且当时，． (1)求证：； (2)求证：； (3)请判断的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数表达式． 【答案】(1)由条件得，，，令，得到，故； (2) 由（1）知，，令，则：， 再令，则：，故. (3) 为正； 【分析】（1）直接将代入即可； （2）分别将代入，即可完成证明； （3）计算为正，因，满足，因此构造分段指数函数. 【详解】（1）略 （2）略 （3），结果为正； . 考点03 指数函数的图象 一、单选题 1．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 2．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 3．已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 5．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 6．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项. 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 7．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 二、多选题 8．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 9．若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的单调性，结合函数图象分析判断即可. 【详解】由题意，实数，满足，可化为， 设，， 由基本初等函数的性质，可得，在上都是单调递增函数， 画出函数，的大致图象，如图所示． 根据图象可知，当时，；当时，. 故当或时，，即成立，A正确； 当时，，B不正确； 当时，可能成立，C正确； 当时，可能成立， D正确． 三、解答题 10．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 考点04 指数型复合函数的值域与最值问题 一、单选题 1．已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数判断段方程的正根情况，用判别式与韦达定理分析段方程的负根情况，再分类组合使总根个数恰好为，从而确定的取值范围. 【详解】原方程等价于： 和共有一个实数根. 当时，函数在上严格单调递增，因此在上的值域为， 方程在上有一个实根等价于， 令，则，结合题干得，不等式等价于：， 构造函数，， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故的解为，故的解为. 故当方程在上有一个实根时. 当时，考虑方程即， ，结合分类： 当， 由韦达定理，两根之和，两根之积，故有个负根； 当或； 时，方程为，根（不在区间，无负根）； 当：方程为，根（在区间，有个负根）； 当：方程无实根，无负根. 分类讨论总根个数： 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，不符合题意； 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，符合题意； 当：方程无负根，方程有个正根总根个数，符合题意； 故满足方程恰有一个实数根的取值范围为：. 2．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式求解即可.． 【详解】由，得， 联立方程，解得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当，即取等号． 二、填空题 3．已知函数，则的最大值为________. 【答案】 【分析】分别求函数在各段上的最大值，再综合比较即可得答案. 【详解】当时，， 故当时，取得最大值； 当时，， 由于时，， 所以 综上，函数的最大值为. 故答案为： 三、解答题 4．已知奇函数 (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)1 (2) 是上的增函数，证明如下： 设任意，，， 因为 所以， ，∴，，， ， ∴是上的单调增函数． (3)存在， 【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验； （2）根据函数单调性定义证明即可； （3）化简函数解析式得出，换元后，利用二次函数最值的求法，分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 检验：当时，， 因为，故满足题意. （2）略 （3） ， 令，由于，则， 即在上有最大值1， 因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得， 若， 此时有， 但此时，矛盾，不合题意； 若，此时有， 且此时，满足题意. 综上，存在，使函数的最大值为1. 5．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 6．已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【详解】（1）当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. （2）令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 7．已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 8．已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 9．已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分三种情况求解可得的最大值. 【详解】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以 （2）， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 10．已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 考点05 指数型复合函数的不等式问题 一、填空题 1．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 2．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 二、解答题 3．设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 4．解出下列的取值范围． (1)如果，求的取值范围． (2)设，，如果，那么的取值范围是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， ； (2) 【分析】（1）讨论的范围，结合单调性解不等式； （2）将式子化简即得到，通过换元令，即可得到关于的一元二次不等式，求解即可. 【详解】（1）①当时，为减函数， 则，解得； ②当时，为增函数， 则，∴， 综上，当时，， 当时，． （2）由 ，得， 即， 设，故有，， 即， ∴． 5．已知函数. (1)求的值； (2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）应用指数运算法则计算求解； （2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）解：，. （2）解：对任意的，且，不等式恒成立， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，， 因为函数在上单调递减，， 所以可得函数在上单调递增， 因为，即，所以， 由（1）可知，即 因为不等式恒成立， 所以，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 6．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 7．已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 8．若函数满足：，有和同时成立，则称为“类直线函数”． (1)判断函数是否为“类直线函数”； (2)设函数， （ⅰ）若为“类直线函数”，求实数a的取值范围； （ⅱ）若，求证：当时，． 【答案】(1)是 (2) （ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，且， 当时，． 由“类直线函数”可知 即 所以，不等式得证． 另解：当，，则． 要证，即证，等价于，（*） 因为，所以，， 所以（*）式得证，原不等式得证． 【分析】（1）根据“类直线函数”的定义进行判断； （2）（ⅰ）由为“类直线函数”知，对，及恒成立，通过参变分离可求得的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知若，为“类直线函数”，从而利用函数的性质可得证. 【详解】（1）当，时，，， 又， 所以是“类直线函数”． （2）（ⅰ）当时，由恒成立，又，所以． 由，得 ， 即， 整理可得, 即， ，， 故，， 所以， 综上可知，a的取值范围是． （ⅱ）略． 9．已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 10．已知函数和． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围． (3)若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的性质即可得出判断； （2）结合（1）求得在的最大值，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意，将条件转化为集合间包含关系，结合函数图像即可求解． 【详解】（1）因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减， 二次函数在上单调递增，在单调递减， 所以的单调减区间为，． （2）由（1）知，在单调递增，所以， 当时，对任意，，都有成立，等价于， 解得． 所以a的取值范围为． （3）由题意得，， 并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立， ①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立； ②当时，在上值域为， 由的图像可知，只要使得，则，解得； ③当时，在上值域为，由的图像可知， 要满足即可，即，解得， 综上所述，． 所以a的取值范围为． 考点06 指数函数模型的应用 一、单选题 1．已知，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】由题设条件得到，利用“1”的妙用转化为基本不等式即可求出最值. 【详解】依题意，，故， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3. 故选：B. 2．一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到之间的关系. 【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养. 由题意可得， 所以，解得. 故选：A 3．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．现在加密密钥为（，且），如“3”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是（   ） A．－18 B．－15 C．15 D．18 【答案】A 【分析】由题意代入数据，由指数运算法则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：A. 4．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，，故至少是4. 故选：A 5．有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【答案】B 【分析】由题意可得桶中水的体积，由，可得，利用，结合指数运算可得答案. 【详解】由题意，桶中水的体积， 因为时，，所以，得． 设再经过分钟后桶中的水只有升，则， 所以， 所以，即再经过15分钟，桶中的水只有升． 故选：B 6．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（    ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A．41 B．43 C．45 D．47 【答案】B 【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】设，则由题意(万公里)， 设至少对折次，纸张厚度超过38万公里， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 故选：B. 7．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位， 根据经过N年衰减为原来的一半，则，即， 且生物体内碳14原有初始质量为Q 所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为 即 故选:D. 二、解答题 8．对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． (1)已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． (2)若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 若关于对称，所以， 即， 故为偶函数，即为型函数． (2)① 证明如下： 设， 则为奇函数，即在R上恒成立； 由 ， 则，即， 因为，所以． ② 【分析】（1）根据型函数的定义，结合函数奇偶性的判断方法即可证明； （2）① 设，由为型函数可得，由此推出，即得，故得证；② 先将题设不等式转化成，通过化简，利用换元，将其化成关于的二次函数，即可求其值域，得到参数范围. 【详解】（1）略 （2）① 略 ② 由①知，，则不等式化为： ，则. 因 , 令，则，， 故当时，取到最小值，所以． 故a的取值范围为． 9．定义函数（其中为自变量，为常数）. （Ⅰ）若当时，函数的最小值为-1，求实数的值； （Ⅱ）设全集，已知集合，，若集合，满足，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）采用换元法令，原函数可转化为，，再由对称轴与定义域的关系分类讨论进一步确定最值即可； （2）由题可知，化简可得； 集合， 整理得，由，可得在内有解，再采用换元法，令，原式等价于方程在上有解，分离参数得，结合函数增减性即可求解 【详解】（Ⅰ）令，∵，∴， 设，， ①当，即时，，与已知矛盾； ②当，即，， 解得或，∵，∴； ③当，即，， 解得，但与矛盾，故舍去， 综上所述，之值为3. （Ⅱ）， ， 由已知即在内有解， 令，则，方程在上有解， 也等价于方程在上有解. ∵在上单调递增， ∴，故所求的取值范围是. 【点睛】本题考查由含参二次函数在定区间的最值分类讨论求解参数，换元法求解一元二次方程在定区间有解时对应参数取值范围，转化与化归思想，分类讨论思想，函数与方程思想，综合性强，计算量大，属于难题 10．定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）任意,, 因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数． （2）； （3）. 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值． 【详解】（1）略 （2）. 因为是“距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，，且为“2距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，，即恒成立， 所以, 得; 当时，， 得恒成立， 所以,得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值. 因为在R上是单调递增函数， 所以当，的最小值为；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $