第二章 特殊三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第二章特殊三角形培优冲刺单元卷，融合中考真题与多地期中期末题，通过几何变换、动态问题等设计，提升推理能力与空间观念，适配单元复习拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|等腰三角形性质、赵爽弦图、尺规作图|结合四川巴中中考真题（第1题），考查角平分线作图与面积计算，体现几何直观| |填空题|6/18|动态直角三角形、折叠变换、等边三角形|新疆中考真题（第11题）以滑动直角三角形为情境，求顶点到墙角最大距离，培养空间观念| |解答题|8/72|全等证明、轴对称、最值问题|分层设计，如第23题结合轴对称与面积最值，第24题探究等边三角形判定，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据证明得出，根据勾股定理即可得出结果． 本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点，给出下列结论：①；②若，则．其中下列判断正确的是（   ） A．①错，②对 B．①，②都对 C．①对，②错 D．①，②都错 【答案】B 【分析】根据，得出，又因为平分，则，再结合三角形外角性质，得出；取的中点G，连接，设，再利用x、y表示，列方程即可得到x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵， ∴， 故结论①是正确的； 取的中点G，连接， 设， 可得， ∵， ∴ ∴， ∵，点G是的中点， ， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 故结论②是正确的； 故选：B 6．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，连接，，根据直角三角形的性质可得，，又为的中点，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的尺规作图、垂线段最短、角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再得出射线是的角平分线，然后根据垂线段最短、角平分线的性质定理解答即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由尺规作图可知，射线是的角平分线， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值等于， 故选：A． 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】延长到H，使，连接，依题意得，，，，证明和全等得，，证明得，则，之后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，设，分别表示出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ A. 不一定等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 没有条件得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 在上取点，使，连接，先得到，进而说明是等边三角形，再证，继而得到，则，代入长度即可求解． 【详解】如图，在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， , ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，且，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且满足，设，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和折叠的性质、三角形内角和定理以及勾股定理的应用，先利用等腰三角形和内角和证明，再通过勾股定理建立方程求解线段长度，进而求出比值． 【详解】解：如图，连接． 设， ∵，∴． 由折叠性质可知， 又， ∴． ∴，． ∵， ∴，即， ∴，即是直角三角形． 设，则． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ∴， 解得，即，． ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 【答案】3 【分析】先作等腰底边上的高，利用三线合一求出底边一半长，借助勾股定理算出高，得到取值范围，确定整数只能为2、3；对应垂足处1个点，，通过勾股计算得出底边左右两侧各个点，汇总得到符合条件的点P． 【详解】过点作于点， ， ∴ 在中，由勾股定理得： ， 根据垂线段最短，的最小值为； 当与或重合时，取得最大值， ∵的取值范围：， 若长为整数，则或： 时，点与垂足重合，满足条件，有个点； 时，设，在中： 解得，， 说明在、上各存在1个符合条件的点，共2个点． 综上，满足条件的点P一共有3个． 15．如图，在等腰中，，，，在上取点，点、关于直线的对称点分别为点、，连结、、，交于，当时，长为 _____． 【答案】 【分析】作于，利用轴对称的性质得到，利用全等三角形的性质得到，即，再利用平行线和等腰三角形的性质说明，得，利用等腰三角形的性质得到的长，然后勾股定理求出的长，设，则，利用勾股定理得到，解方程即可得出答案． 【详解】解：作于， ∵点、关于直线的对称点分别为点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，是等边三角形，以为一腰作等腰三角形，使且 为边上的高，直线与直线交于点F，已知，则___________． 【答案】6或10 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键，分点在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为一腰作等腰三角形，使且 为边上的高， ∴， ∴； 当点在下方时，如图，作交的延长线于点，连接， 设，则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在上方时，如图， 同法可得：，， ∴， ∴； 综上：或10； 故答案为：6或10． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖南长沙·中考真题）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【分析】（1）利用平行条件可得出一组对应角相等，然后利用判定三角形全等； （2）由（1）可得，过点向作高线，由于，利用勾股定理可求出高线的长度，即可求出的面积． 【答案】(1)证明：， ． 在和中， ， ． (2)的面积是5 4分 解：如图所示，过点向对边作垂线，垂足为， 则， 由（1）可得， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得：， ， ． 8分 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，和均为等边三角形，点E在内，连接，． (1)证明：； (2)如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且，的面积为1，求的面积． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）利用即可证明； （2）求得，作，垂足分别为，，利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【答案】(1) 证明：在等边和等边中， ， ，即， ； 4分 (2) 解：B，E，D恰好在同一条直线上， ， ， ， 又， ， 作，垂足分别为，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ， 而， ． 8分 19．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由作图方法可知垂直平分，，则可证明，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，是等边三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）【答案】(1) 是等边三角形，理由如下： 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 4分 （2）解：由（1）可知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴． 8分 20．（8分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 4分 （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 8分 21．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出； （2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可； （3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴， ， ； 2分 （2）解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； 6分 （3）解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 10分 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）在上截取，证，得到，再证，即可求解； （3）①在上截取，证，得到，同时由可得，即可求证；②延长至点，使得，连结，作于，证，得到，根据三线合一，得，由，求得，根据勾股定理，求得，再根据，即可求解． 【答案】(1) 解：如图所示． 2分 （2）解：在上截取， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ． 5分 （3）解：①证明：在上截取， ， ， ， ， ， ； 7分 ②延长至点，使得，连结，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10分 23．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【答案】(1)解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 2分 (2)①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 6分 ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 10分 24．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，在的下方作交的延长线于点，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的值． 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明，再根据等边三角形的判定定理证明即可； （3）延长，相交于点，连接，先证明，然后证明是等腰直角三角形，则由勾股定理得，然后证明，那么，即可求解． 【答案】(1)证明：垂直平分 ， ∴ ， ， ； 3分 (2) 证明：∵，， ， ， 是等边三角形； 5分 （3）解：延长，相交于点，连接 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 垂直平分 ， ∵是等边三角形； ∴， 是等腰直角三角形 ， ∵，由（1）得， ∴， 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点，给出下列结论：①；②若，则．其中下列判断正确的是（   ） A．①错，②对 B．①，②都对 C．①对，②错 D．①，②都错 6．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D．8 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，且，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且满足，设，则__________． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 15．如图，在等腰中，，，，在上取点，点、关于直线的对称点分别为点、，连结、、，交于，当时，长为 _____． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，是等边三角形，以为一腰作等腰三角形，使且 为边上的高，直线与直线交于点F，已知，则___________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖南长沙·中考真题）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，和均为等边三角形，点E在内，连接，． (1)证明：； (2)如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且，的面积为1，求的面积． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 20．（8分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 23．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 24．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，在的下方作交的延长线于点，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章特殊三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2+V13 12.4-V2 13.k2 2-k2 14.3 16.6或10 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【答案】(1)证明：.∵AB‖DE, ∠B=∠E 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 在△ABC和△就中， ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ∴.△ABC≌△gAAS. 4分 (②)△兰的面积是5 解：如图所示，过点D向对边EF作垂线DG,垂足为G, D B F A 则∠DGE=90°」 由(1)可得△ABC≌△乙， ∴.AB=DE=2V2, .∠E=45°， ∴.△DEG是等腰直角三角形，DG=EG, ∴.DG2+EG2=DE2, .2DG=2V2P, 解得：DG=2, .EF=5, ..S △兰i=xEF×DG=x5x2=58 8分 18.(8分) 【答案】(1) 证明：在等边△ABC和等边△DEC中， ∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC,DC=EC, ∴.∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,即∠ECB=∠DCA, ∴.△BEC≌△ADC(SAS): 4分 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)S△ABD=2 解：B,E,D恰好在同一条直线上， ∴.∠BEC=180°-∠CED=120°， .△BEC≌△ADC, ∴.∠ADC=∠BEC=120°， 又.∠CDE=60, ∴.∠ADB=∠ADC-∠CDE=60°=∠CDB, 作BM⊥AD,BN⊥DC,垂足分别为M,N, ∴.BM=BN(角平分线上的点到角两边的距离相等)， .SABD:S△ABD=CD:AD, 而AD=2CD】 ∴.S△ABm=2 SABCD=2. 8分 19.(8分) 【详解】(1)【答案】(1) △ABC是等边三角形，理由如下： 由作图方法可知PQ垂直平分AB,AC=AB ∴.AC=BC, .AC=BC=AB, ∴.△ABC是等边三角形： 4分 (2)解：由(1)可知△ABC是等边三角形，CD⊥AB, ·∠A=∠B=60°，∠ACD=∠BCD, .DF AC, ∴.∠FDC=∠ACD,∠FEB=∠A=60°， :.CF=DF=9,△BEF是等边三角形， 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=BF=BC-CF=4. ..DE=DF-EF=5. 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：：在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， A0=DO-BD.CO=DO=BD, ∴∠OAD=∠ADB=30°，∠OCD=∠BDC=40°， :.∠AOB=∠OAD+∠ADB=60°，∠COB=∠OCD+∠BDC=80°， .∠AOC=∠AOB+∠COB=140°. 4分 (2)解：，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， ∴A0=D0=3BD,0=D0=BD, ∴∠OAD=∠ADB,∠OCD=∠BDC, .∠AOB=∠OAD+∠ADB=2∠ADB,∠COB=∠OCD+∠BDC=2∠BDC, .ㄥADC=a, ∴.∠AOC=∠AOB+∠COB =2∠ADB+2∠BDC =2∠ADB+∠BDC, =2∠ADC =2a. 8分 21.(10分) 【详解】(1)解：.∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAB=∠CBA=45°， 又DB=DE ∴.∠DEB=∠DBE=∠CBA-∠ABE=45°-Q, .∴.∠ADC=∠DEB+∠DBE=90°-2a, ∴.∠CAD=90°-∠ADC=2a; 2分 (2)解：若CD=DE, DE=BD=1, 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=DE=1, ∴.AC=BC=CD+BD=2, 由勾股定理得：AD=VAC2+CD=5 若CE=DE, DE=BD=1. ..CE=DE=1 ∴根据解析(1)可得：∠ECD=∠CDE=90°-2a, .∠ACE=90°-∠ECD=90°-90°-2a=2a, 根据解析(1)可得：∠CAD=2a, .∠CAD=∠ACE, ∴AE=CE=1, .AD=AE+DE=2 6分 (3)解：如图，延长BC至点G使得CG=CF=7, .'AC=BC,∠ACG=∠BCF G B ∴.△ACG≌△BCF SAS, ∴.∠AGC=∠BFC=45°+，∠GAC=∠FBC=45°-a, ∴.∠GAD=∠GAC+∠CAD=45°-a+2a=45°+a, .∠GAD=∠AGC, .∴.GD=AD=12, .∴.CD=GD-CF=12-7=5, 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=VAD2-CD2=V122-5=V119 .∴.BC=AC=V119 .BD=BC-CD=119-5. 10分 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分) 【答案】(1) 解：如图AD所示. D 2分 (2)解：在AB上截取AE=AD, D E B .AC平分∠BAD, .∠CAD=∠CAE, 又.AC=AC ∴.△ACD≌△ACE SAS, .∠D=∠CEA,CD=CE, CD=BC, ∴.CE=BC, ∴.∠CEB=∠B=70°， .∴.∠D=∠CEA=110° 5分 (3)解：①证明：在AB上截取AE=CD, E B .∠A=∠C=45°，AD=BC, '.△CBD≌△ADE SAS, 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BDC=∠DEA,ED=BD, ∴.∠DEB=∠ABD, .∠DEB+∠AED=180°， ∴.∠ABD+∠BDC=180°： 7分 ②延长CD至点E,使得DE=AB,连结BE,作BH⊥CE于H, HD E ·,‘DE=BA,∠EDB=180°-∠BDC=∠ABD,BD=BD B ∴.△EDB≌△ABD|SAS, ∴.EB=AD,ED=AB, .AD=BC, ∴.BE=BC, .BH⊥CE, ∴.EH=CH, .'AB-CD=DE-CD=EH +DH-CH-DH=2DH=92. ·DH=92 2 .BD=10, BH-YBD-DH2-238 21 ∴56km-54em=5am5m=25=2×5×922x8238-997T9. 10分 22 2 23.(10分) 【答案】(1)解：：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ·AB=32+4=5 5.w-AC+BC-jAB-CD. 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=AC·BC=3×4_12 AB 559 2分 (2)①证明：，△AEC和△FEC关于CE成轴对称， ∴△AEC≌△FEC ∴.∠A=∠F,∠AEC=∠FEC, .CD是AB边上的高， .∠ADC=90°， ,'∠AEC=∠ECD+∠ADC=90°+∠ECD, .∠FEC=90°+∠ECD .∠FEC=∠BEF+∠BEC,∠BEC=90°-∠ECD, .∠FEC=∠BEF+90°-∠ECD, .90°+∠ECD=∠BEF+90°-∠ECD, ∴∠BEF=2∠ECD: 6分 ②解：：△AEC≌△FEC, ∴.CA=CF=3,∠A=∠F,AE=FE, 在△AEH和△FEG中， ∠A=∠F ∠AEH=∠FEG EA=EF ∴.△AEH≌△FEG AAS, ..AH=FG .FG=CF-CG=3-CG. ∴.当CG最小时，FG取得最大值， .G为AB上一点， :点G与点D重合时，CG取得最小值为CD=1 5 FG的最大值为3-12=3 55 AT的故大宜为号 10分 24.（10分) 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：·DE垂直平分AC ∴.AD=DC,∠DEC=90 ∴.∠DCA=∠A=30 ∴.∠BDC=∠A+∠DCA=60 .∠B=90, .∴.∠BCD=30 .∴.∠BCD=∠DCA .DC=DC,∠B=∠DEC=90 .△BCD≌△ECD AAS ∴.CE=CB 3分 (2) 证明：，∠ABC=90°，∠A=30°， ∴.∠BCA=90°-30°=60°，∠FBC=180°-ABC=90° .∴.∠BCA=∠GCF=60 ∴.∠BCA-∠GCB=∠GCF-∠GCB ∴.∠BCF=∠GCE .·∠GEC=∠FBC=90°，CE=CB .∴.△BCF≌△ECG ASA ∴.CG=CF .∠GCF=60 ∴.△GCF是等边三角形： 5分 (3)解：延长ED,CB相交于点H,连接HF G .AF=AC∠A=30 H ∠AFC=∠ACP=180∠A=75, 2 ,∠CBF=90° 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCF=90°-∠AFC=15°=∠GCE, .∠DEC=90°， .∠BHD=90°-∠ACB=30°=∠BCD, .DB=DB,∠DBC=∠DBH .△DHB≌△DBC AAS .BC=BH,DH=DC ∴.DF垂直平分HC .∴.FH=FC ∴.∠FHC=∠FCH=151 ∴.∠HFC=180°-15°-15°=150°，∠GHF=30°+15°=45° ,△GCF是等边三角形： ∴.∠CFG=60°，GC=GF ∴.∠HFG=150°-60°=90 ∴.△GFH是等腰直角三角形 ∴.GH=GF2+HF2-R2GF' ,DH=DC,由(1)得AD=DC, .DH=AD, .AD+DG=HD+DG=GH=V2GF=2GC .k=2 10分 10/10 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二章 特殊三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，与交于点，于点，于点，与交于点，给出下列结论：①；②若，则．其中下列判断正确的是（   ） A．①错，②对 B．①，②都对 C．①对，②错 D．①，②都错 6．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D．8 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____． 13．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，且，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且满足，设，则__________． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，，，P为边上一点，连结，使长为整数的点P一共有_________个． 15．如图，在等腰中，，，，在上取点，点、关于直线的对称点分别为点、，连结、、，交于，当时，长为 _____． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，是等边三角形，以为一腰作等腰三角形，使且 为边上的高，直线与直线交于点F，已知，则___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·湖南长沙·中考真题）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 18．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，和均为等边三角形，点E在内，连接，． (1)证明：； (2)如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且，的面积为1，求的面积． 19．（8分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 20．（8分）（25-26八年级上·浙江·期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1是由边长为1的正方形构成的的网格图，的顶点都在格点上． (1)请在上找一点，使得，画出； (2)如图2，平分，，，若，求的度数； (3)如图3，在和中，，，． ①求证：； ②若，求出与的面积之差． 23．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 24．（10分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，点是上一点，在的下方作交的延长线于点，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $