精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学多校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

2025—2026学年高二11月期中联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 3. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 6. 已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体 的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（ ） A. 与成60°角 B. 若 平面交CD于点H，则 C. 若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于 D. 若点E，F分别在上，且 直线EF与，所成的角分别是、β，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是锐角 10. 已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段的长度的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 13. 椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有_______个． 14. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 16. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）用表示，并求； （2）求与夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 17. 已知直线：（）. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 18. 如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）证明： （2）若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； （3）直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. （1）求圆的方程. （2）如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二11月期中联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质列式求得的值. 【详解】圆的圆心， 由直线是圆的一条对称轴，得，所以. 故选：C 2. 已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明求解即得. 【详解】平面的法向量，直线的方向向量， 由，得与不平行，则直线不垂直于平面； 由，得与不垂直，则直线，且不平行于平面， 所以与的位置关系是相交但不垂直. 故选：D 3. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求直线与圆相切时的值，再根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知斜率的取值范围，通过正切函数性质来确定倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率，为倾斜角，， 已知，即， 当时，； 当时，. 综上当时，. 故选：C 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 6. 已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程. 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值. 【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A 8. 正方体 的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（ ） A. 与成60°角 B. 若 平面交CD于点H，则 C. 若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于 D. 若点E，F分别在上，且 直线EF与，所成的角分别是、β，则 【答案】B 【解析】 【分析】由图建立空间直角坐标系，对于A，利用向量法求得，即可判断；对于B，利用空间向量共面定理求出点,即得；对于C，经推理计算得到点的轨迹长为线段的长度，计算即可判断；对于D，利用空间向量夹角公式分别计算、β，即可判断结论. 【详解】 对于A，如图建立空间直角坐标系，则 . 则， ，因， 故，即与成60°角，故A正确； 对于B，由可得，即， 设，则， 由题意，四点共面，故存在，使得， 则得，解得，即，，则，故B错误； 对于C，设，则， 由，可得， 故P点的轨迹长为线段的长度，为，故C正确； 对于D，因点E，F分别在上，且 ， 则， ， 则，则，因， 则，故； ，故，则有，故D正确. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是锐角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共面向量定理，以及空间向量基底的定义，以及数量积的定义，即可判断选项. 【详解】若三个向量所在的直线交于同一点，比如三棱锥的三条侧棱，这时三个向量不共面，故A错误； 若对空间中任意一点，有，其中，所以四点共面，故B正确； 若向量是空间的一个基底，则不存在实数使，所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 若，则或锐角，故D错误. 故选：BC 10. 已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段的长度的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】CD 【解析】 【分析】首先直线变形为，可得直线过定点即可判断A；根据定点与圆的位置关系，即可判断B；当定点为弦的中点时，此时弦长最短，即可判断C；根据题意转化为圆心到直线的距离为2，即可判断D. 【详解】A.直线，所以直线恒过点，故A错误； B.若直线恒与圆有2个交点，则定点在圆的内部，即，，得，故B错误； C.当定点为弦的中点时，此时弦长最短，，时，此时最短弦，故C正确； D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则圆心到直线的距离等于2，则，得，故D正确. 故选：CD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】#### 【解析】 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 13. 椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答. 【详解】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6， 则它到椭圆的另一个焦点的距离为， 因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6， 根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个. 故答案为：. 14. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果. 【详解】在正三棱锥中，，又， 所以，所以，同理可得，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 16. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）用表示，并求； （2）求与夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在点且. 【解析】 【分析】（1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案； （3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即， 由，解得，，， 故存在点且. 17. 已知直线：（）. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值是4，方程为. 【解析】 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可； （3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值. 【小问1详解】 直线方程为：：，它过定点，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 【小问3详解】 易知，令得，令，得， 即，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即. 18. 如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）证明： （2）若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； （3）直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，点在线段的延长线上，且. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可； （3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可. 【小问1详解】 由题意，在图1中，，，，，， 则在图2中，， ，，， 因为平面， 所以平面，而，则， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）及为的中点， 则，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，令，得， 设与平面所成的角为， 所以. 【小问3详解】 假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设， 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 而平面的一个法向量为， 由于平面平面， 当且仅当，即时成立， 所以直线上存在点，使平面与平面垂直， 此时点在线段的延长线上，且. 19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. （1）求圆的方程. （2）如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设动点，根据条件建立方程，化简即可求解； （2）（i）根据题设条件得，令，进而有，设，利用点在圆上，得，再结合，即可求解；（ii）根据条件得到在以为定点的阿氏圆上，再结合题设条件求得的坐标，即可求解. 【小问1详解】 设动点，因为、，又， 得，化简整理得：， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由， 又，所以，令，则， 设，则有，又直线的斜率，则， 又由，得，代入， 得到，即， ∵，则，所以， 又，则，所以， 故的取值范围. （ⅱ）由（ⅰ）有，由阿氏圆定义知在以为定点的阿氏圆上， 设此阿氏圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，整理得到， 又，解得，∴， 又， ∴， 设，则，整理得到， 解得或（舍去）， 由，解得， ， ∴，则直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $