第15章 轴对称典型例题 易错精练-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章轴对称典型例题+易错精练-2026-2027学年数学八年级上册人教版 典型例题 1．（2025秋•鄂伦春自治旗期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； （2）求△A′B′C′的面积； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，求点P的坐标． 2．（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝________ °，∠EAN＝_______ °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝_______ °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系____________________ ． 3．（2026春•泰山区期末）在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形、将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D． （1）如图1，已知∠B＝2∠C，在CD上截取MD＝BD，连接AM．求证：AB+BD＝CD； （2）如图2，已知AD＝BD＝5、CD＝9，E为AD延长线上一点，连接BE，∠E＝2∠C，求DE的长． 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•北京校级模拟）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•开封校级开学）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 3．（2026•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•莲湖区期末）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 5．（2025秋•农安县期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 6．（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为50°，则等腰△ABC顶角的度数为（　　） A．65° B．65°或25° C．50° D．40°或140° 8．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝22.5°，∠BAC＝45°，，P为∠ABC角平分线上一动点，Q为AB边上一动点，PQ+AP的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 二．填空题（共6小题） 9．（2026•天宁区校级二模）等腰△ABC的周长是10cm，腰长AB＝4cm，则底边BC＝_____ cm． 10．（2025秋•巨野县期末）如图，在等腰三角形ABC中，，BC＝2，AD平分∠BAC，GE垂直平分AC交AD于点F，则AF的长是 __________________ ． 11．（2025秋•让胡路区校级期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 ____________________ ． 12．（2026秋•同步）已知点A（a﹣1，1）和点B（4，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2025的值是_______ ． 13．（2026•天河区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝116°，点D，E分别为边AB，BC上的动点，且AD＝BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的大小是 _________ ． 14．（2025秋•鹿泉区期末）如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ _______ °． 三．解答题（共5小题） 15．（2026春•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 16．（2025秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 17．（2025秋•山丹县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出△ABC关y轴对称的△A′B′C′； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得△ACE与△ABC全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 18．（2025秋•延边州期末）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论． 19．（2025秋•临平区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 典型例题解析 1．（2025秋•鄂伦春自治旗期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； （2）求△A′B′C′的面积； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，求点P的坐标． 【解答】解：（1）如图，根据轴对称的性质作图，△A′B′C′即为所求． 由图可得，A′（﹣1，2），B′（﹣3，0），C′（﹣6，4）； （2）根据梯形面积减去两个三角形面积可得： △A′B′C′的面积为； （3）设点P的坐标为（m，0）， ∵△ABP的面积为8， ∴， 解得m＝11或﹣5， ∴点P的坐标为（11，0）或（﹣5，0）． 2．（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　112　 °，∠EAN＝　44　 °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　24　 °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）　 ． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°． ∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：112；44； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC． ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°， 故答案为：24； （3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下： 由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN） ＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C） ＝180°﹣2（∠B+∠C）． 由（2）知0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°， 综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 3．（2026春•泰山区期末）在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形、将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D． （1）如图1，已知∠B＝2∠C，在CD上截取MD＝BD，连接AM．求证：AB+BD＝CD； （2）如图2，已知AD＝BD＝5、CD＝9，E为AD延长线上一点，连接BE，∠E＝2∠C，求DE的长． 【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADM＝90°， 在△ABD和△AMD中， ， ∴△ABD≌△AMD（SAS）， ∴∠AMD＝∠B，AM＝AB， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AMD＝2∠C， 又∵∠AMD＝∠CAM+∠C， ∴∠CAM＝∠C， ∴CM＝AM， ∴CM＝AB， ∵CM+MD＝CD， ∴AB+BD＝CD； （2）如图，在CD上截取线段DF＝DE，连接AF，设DF＝DE＝x， 在△ADF和△BDE中， ， ∴△ADF≌△BDE（SAS）， ∴∠AFD＝∠E， ∵∠E＝2∠C， ∴∠AFD＝2∠C， ∵∠AFD＝∠CAF+∠C， ∴∠CAF＝∠C， ∴AF＝CF＝CD﹣DF＝9﹣x， 在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2， ∴52+x2＝（9﹣x）2， 解得， ∴． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•北京校级模拟）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 2．（2026•开封校级开学）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 3．（2026•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝9，则AD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设AD＝a， ∵AC＝9， ∴CD＝AC﹣AD＝9﹣a， ∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C（180°﹣∠ABC）＝30°， ∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴AD＝BD＝a， ∴∠DBA＝∠A＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CBD中，∠C＝30°， ∴CD＝2BD， ∴9﹣a＝2a， ∴a＝3， ∴AD＝a＝3． 故选：B． 4．（2025秋•莲湖区期末）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【解答】解：根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（﹣3，﹣5）， 故选：A． 5．（2025秋•农安县期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 6．（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，点C满足条件， 当BC为底时，以A为圆心，AB长为半径，画圆，点C″满足条件， 当AC为底时，以B为圆心，AB长为半径，画圆，点C′满足条件， 故选：C． 7．（2025秋•监利市期末）已知等腰△ABC，AB＝AC，若AB边上的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为50°，则等腰△ABC顶角的度数为（　　） A．65° B．65°或25° C．50° D．40°或140° 【解答】解：如图，当△ABC是锐角三角形时， ， ∵DE垂直平分AB，∠ADE＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ADE＝40°； 如图，当△ABC是钝角三角形时， ， ∵DE垂直平分AB，∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAE＝140°； 综上所述，等腰△ABC顶角的度数为40°或140°， 故选：D． 8．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝22.5°，∠BAC＝45°，，P为∠ABC角平分线上一动点，Q为AB边上一动点，PQ+AP的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【解答】解：过点Q作BP的对称点G，连接PG，AG，则PG＝PQ，过点A作AK⊥BC交BC延长线于点K， ∵P为∠ABC角平分线上一动点， ∴点G在射线BC上， ∴PQ+AP＝PG+AP≥AG≥AK， ∴PQ+AP的最小值为AK，此时G，K重合，点A，P，G共线， 过点C作CR⊥AC交AB于R，过点R作RT⊥BC于点T， ∴∠RTC＝∠CKA＝90°， ∴∠RCT＝∠CAK＝90°﹣∠ACK ∵∠BAC＝45°， ∴△ACR为等腰直角三角形，CR＝CA，∠ARC＝225°， ∴△RTC≌△CKA（AAS）， ∴AK＝CT， ∵∠ARC＝∠ABC+∠RCT，∠ABC＝22.5°， ∴∠RCT＝22.5°＝∠ABC， ∴RB＝RC， ∵RT⊥BC， ∴， ∴， ∴PQ+AP的最小值为， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•天宁区校级二模）等腰△ABC的周长是10cm，腰长AB＝4cm，则底边BC＝　2　 cm． 【解答】解：∵等腰△ABC的周长是10cm，腰长AB＝4cm， ∴底边BC＝10﹣4﹣4＝2（cm）． 故答案为：2． 10．（2025秋•巨野县期末）如图，在等腰三角形ABC中，，BC＝2，AD平分∠BAC，GE垂直平分AC交AD于点F，则AF的长是 　　 ． 【解答】解：等腰三角形ABC中，，BC＝2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BD，BD＝CDBC＝1， ∴AD2， 连接CE， ∵GE垂直平分AC交AD于点F， ∴AF＝CF， 设AF＝x，则DF＝AD﹣x＝2﹣x，CF＝AF＝x， 在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2， 即（2﹣x）2+12＝x2， 解得x， ∴AF， 故答案为：． 11．（2025秋•让胡路区校级期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 　或　 ． 【解答】解：当8为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣8﹣8＝4， ∴“优美比”为； 当8为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 12．（2026秋•同步）已知点A（a﹣1，1）和点B（4，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2025的值是　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意可知，点A（a﹣1，1）和点B（4，b﹣1）关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（2026•天河区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝116°，点D，E分别为边AB，BC上的动点，且AD＝BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的大小是 　132°　 ． 【解答】解：作∠CBF＝∠BAC＝116°，且BF＝AC，连接AF，交BC于点E，如图所示： 在△ACD和△BFE中， ， ∴△ACD≌△BFE（SAS）， ∴CD＝EF， ∴AE+CD＝AE+EF＝AF， 即AE+CD的最小值即为AF的长， 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝116°， ∴∠ACB＝∠ABC＝32°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠EBF＝32°+116°＝148°， ∵BF＝AB， ∴∠BFA＝∠BAF＝16°， ∴∠AEB＝∠BFA+∠EBF＝16°+116°＝132°， ∴当AE+CD的值最小时，∠AEB＝132°， 故答案为：132°． 14．（2025秋•鹿泉区期末）如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　43　 °． 【解答】解：连接AO并延长至M，直线AC与m交于点N， ∵线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O， ∴OA＝OC＝OB，∠1+∠ONA＝90°，∠A+∠ONA＝90°， ∴∠1＝∠A，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠MOB＝2∠OAB，∠MOC＝2∠OAC， ∵∠BOC＝∠MOB+∠MOC＝86°，∠A＝∠OAB+∠OAC， ∴， ∴∠1＝∠A＝43°， 故答案为：43． 三．解答题（共5小题） 15．（2026春•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB，DC＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC， ∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC， ∴∠ADC＝2∠ABC＝80°， ∵DA＝DB，DC＝DB， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD（180°﹣80°）＝50°； （2）∠B+∠ACD＝90°， 理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴2∠ACD+2∠ABC＝180°， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． 16．（2025秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 17．（2025秋•山丹县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出△ABC关y轴对称的△A′B′C′； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得△ACE与△ABC全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣4，2）关于y轴对称， ∴点C的坐标为（4，2）． （2）如图，△A′B′C′即为所求． （3）如图，点E1，E2，E3均满足题意， ∴点E的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（3，4）． 18．（2025秋•延边州期末）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠CDF＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠F， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEA＝∠FEB＝90°， 在Rt△ADE和Rt中，∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠F＝90°， ∴∠A＝∠B， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形，证明如下： ∵∠F＝30° ∴∠B＝90°﹣∠F＝60°， 由（1）可知：△ABC是等腰三角形， ∴△ABC是等边三角形． 19．（2025秋•临平区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $