专题01 与三角形有关的线段问题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

专题01 与三角形有关的线段问题 考点01 确定第三边的取值范围 考点02 三角形三边关系的应用 考点03 根据三角形中线求长度 考点04 根据三角形中线求面积 考点05 与三角形的高有关的计算 考点01 确定第三边的取值范围 1．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再选出不符合要求的选项． 【详解】解：设第三边长为，则 根据三角形三边之间的关系可得：， 即， 不在该范围内． 2．若三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，，8， ，即． 3．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，得 ，即． ∵ 是大于的偶数， ∴ ． ∴ 的周长为． 4．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 【答案】6或8 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据是偶数的条件确定的值． 【详解】解：三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ，化简得， 是偶数 的值为6或8． 5．已知三角形的两边长a、b满足，第三边长c为奇数，则__________. 【答案】 或 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数得到结果. 【详解】解：，，且， ，， 解得 ， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得： ， 代入得 ， 为奇数， 或 . 6．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合已知条件表示出和，再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共部分得到的取值范围． 【详解】解：∵，，为的三边，满足，， ∴联立两个等式相加得，即，两个等式相减得，即， 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式，代入得，解得； 代入得，解得； 代入得，解得； 取三个不等式解集的公共部分，得． 7．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系得： ． 8．已知，，是的三边，，，且三角形的周长为偶数． (1)求的值； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2) 是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合周长为偶数的条件求解的值； （2）根据三角形边的长度关系判断其形状． 【详解】（1）解：∵，，是的三边，，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数，即为偶数，，均为整数， ∴为整数，且为偶数， ∴为奇数， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰三角形． 考点02 三角形三边关系的应用 1．如图，小明和亮亮分别站在池塘岸边点A，B处，为了估计他们之间的距离，笑笑在池塘一侧选取一点O，测得，小明和亮亮之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，，即，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴， ∴小明和亮亮之间的距离不可能是． 2．把一根厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，根据“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”进行解答即可． 【详解】解：一边是，另外两边是即可组成三角形； 两边都是，那再分其中一边为两边后，都必然出现两边之和等于第三边的情况，不符合三边关系，不能组成三角形； 一边是，另外两边是即可组成三角形； 一边是，另外两边是或者都可组成三角形； 故答案是． 3．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 4．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 【答案】13 【分析】根据三角形的三边关系即可列不等式组，解出即可得的取值范围，再根据x为整数，即可得x的最大值为13． 【详解】解：设第三条边长为x，则根据三角形三边关系得: ， ∴． ∵x为整数， ∴x的最大值为13． 5．如图 ，某公园有一块三角形空地，要在它的周围围上栅栏(三角形具有稳定性，这样更牢固)．已知其中两边的长分别为 和 ． (1)求第三边长度的取值范围； (2)若第三边的长是奇数(单位：)，且这块空地是等腰三角形，求此时栅栏的总长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由三边关系得 ，即 ． （2）等腰三角形时第三边只能取 或 m， 其中 是偶数，不符合“第三边的长是奇数”，故只能取． 此时三边为，，， 栅栏总长． 考点03 根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线定义得到，再根据周长关系得到，进而可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ∴ ∵， ∴． 3．如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点．若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先根据是的重心，可得是边上的中线，是的中点；然后根据，求出的长度是多少即可． 【详解】解：是的重心， 是边的中线，是的中点； 又， ． 4．如图，是的一条中线，若，则________． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义求解即可． 【详解】解：是的一条中线， ． 5．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为_______． 【答案】21 【分析】根据三角形的中线的定义，推出的周长比的周长大，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为. 6．在等腰三角形中，，边上的中线把三角形的周长分成和两部分，求这个三角形的腰长和底边长． 【答案】 这个三角形的腰长为，底边长为 【分析】设，，根据中线的定义可知，，分两种情况求出、的值，即可得到三角形的腰长和底边长，再根据三角形三边关系把不符合条件的情况排除． 【详解】解：如下图所示，设，， 是边上的中线， ， 则，， 当时， 解得：， 则，； ， 能构成三角形，符合题意； 当时， 解得：， 则，， ， 不能构成三角形，不符合题意舍去； 综上所述，这个三角形的腰长为，底边长为． 7．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求的长． 【答案】 【分析】先根据中线性质得出，再结合，设，分两种情况根据周长列出方程组求解，最后验证三边能否构成三角形． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， 设， 分两种情况： 当时，即， 解得：， ∴，， ∵， ∴该三角形不存在，故舍去； 当时，即， 解得：， ∴，，经检验，符合题意， ∴的边长为， 综上所述：的长为． 考点04 根据三角形中线求面积 1．如图，在中，是边上的中线，已知的面积为8，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形的中线等分三角形面积求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为． 2．如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点为的中点，且， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 3．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 【答案】A 【分析】利用三角形的中线性质以及等底同高的三角形的面积相等，逐个求出三角形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是边的中线， ∴； ∵点F为的中点， ∴； ∵是边的中线， ∴； ∵是边的中线， ∴． 4．如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是边上的中线求出的面积，再由是的中点求出的面积． 【详解】解：是边上的中线， ， 为的中点， 是的中线， ． 5．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 【答案】2 【分析】先得出，，则可得，再得出，由此即可得． 【详解】解：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即阴影部分的面积为2． 6．如图，已知的面积为12，，分别为边，上的中线，，交于点O，连接并延长交于点D，则阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线平分面积求解即可． 【详解】解：∵，分别为边，上的中线， ∴为边上的中线， ∴点D、E、F分别是边、、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为6． 7．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点是的中点，连接，若，求． 【答案】 【分析】设，利用中线平分三角形面积的性质可得，求解出即可． 【详解】解：设， ∵点为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴． 8．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的重心可得，，，，，则得到，，即可求解，，之间的关系；然后根据共高三角形面积比等于底之比求解； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比可得，则，，设，同理可得，那么，则，再由求解即可； （3）先得到，求出，则可求，那么由已知可得，再由三角形面积公式求解，即可求解四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点为的重心 ∴是的中线 ∴，，，， ∴， ∴， ∴； ∵以为底边的高相同， ∴ ∴； （2）解：连接 设 ∵ ∴ ∵以为底边的高相同， ∴ ∴ 同理可得， 设，同理可得 ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 考点05 与三角形的高有关的计算 1．如图，在中，，于点，，，，则的长为（     ） A．4 B．4.8 C．5 D．4.6 【答案】B 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴， ∵，，， ∴． 2．如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 3．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 4．如图，，分别是的高，，，，______． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是的高， ∴， ∵，，， ∴． 5．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 【答案】 5 【分析】连接，利用及三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：连接， ，， ，分别是，的高， ， ， ，， ， ， ． 6．在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【答案】3或5 【分析】分高在的内部和外部，两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当高在的内部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 当高在的外部时， 如图，当高在的外部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 综上所述，的长为3或5． 7．如图，为的中线，为的中线，．若的面积为40，，求的长度． 【答案】 【分析】由，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 8．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中线性质求的长，再利用三角形面积公式求出面积即可； （2）利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】（1）∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是上的高线， ∴． （2）解：∵为边上的高线， ∴， ． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形有关的线段问题 考点01 确定第三边的取值范围 考点02 三角形三边关系的应用 考点03 根据三角形中线求长度 考点04 根据三角形中线求面积 考点05 与三角形的高有关的计算 考点01 确定第三边的取值范围 1．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 2．若三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知的三边长分别为．若的长为大于6的偶数，的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 5．已知三角形的两边长a、b满足，第三边长c为奇数，则__________. 6．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 7．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 8．已知，，是的三边，，，且三角形的周长为偶数． (1)求的值； (2)试判断的形状． 考点02 三角形三边关系的应用 1．如图，小明和亮亮分别站在池塘岸边点A，B处，为了估计他们之间的距离，笑笑在池塘一侧选取一点O，测得，小明和亮亮之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 2．把一根厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 3．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 5．如图 ，某公园有一块三角形空地，要在它的周围围上栅栏(三角形具有稳定性，这样更牢固)．已知其中两边的长分别为 和 ． (1)求第三边长度的取值范围； (2)若第三边的长是奇数(单位：)，且这块空地是等腰三角形，求此时栅栏的总长． 考点03 根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．4 2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点．若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，是的一条中线，若，则________． 5．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为___． 6．在等腰三角形中，，边上的中线把三角形的周长分成和两部分，求这个三角形的腰长和底边长． 7．如图，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求的长． 考点04 根据三角形中线求面积 1．如图，在中，是边上的中线，已知的面积为8，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ）平方厘米 A． B． C． D． 3．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（     ） A．16 B．12 C．14 D．8 4．如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 5．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为__________． 6．如图，已知的面积为12，，分别为边，上的中线，，交于点O，连接并延长交于点D，则阴影部分的面积为___________． 7．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点是的中点，连接，若，求． 8．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 考点05 与三角形的高有关的计算 1．如图，在中，，于点，，，，则的长为（     ） A．4 B．4.8 C．5 D．4.6 2．如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 3．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．如图，，分别是的高，，，，______． 5．如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 6．在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 7．如图，为的中线，为的中线，．若的面积为40，，求的长度． 8．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $