专题02 三角形内角和外角重点题型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级上学期

专题02 三角形内角和外角重点题型 考点01 双角平分线型——双内分模型 考点02 双角平分线型——双外分模型 考点03 双角平分线型——内外分模型 考点04 三角形中折叠的角度问题 考点01 双角平分线型——双内分模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（    ） A．118° B．119° C．120° D．121° 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝120°，由角平分线的性质得∠CBE＋∠BCD＝60°，再利用三角形的内角和定理得结果． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F， ∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA， ∴∠CBE＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCA）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案． 2．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠BOC四个角之间的数量关系是（   ） A．∠1+∠BOC=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠BOC=180° C．∠1+∠2+∠A+∠BOC=360° D．∠1+∠2+∠A=∠BOC 【答案】D 【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论． 【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D， ∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角， ∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②， ①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 3．如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为_______________．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【详解】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 4．如图，中，和的角平分线交于一点O，如果，则写出y与x的关系式是_______ 【答案】 【分析】根据角平分线的性质及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵和的角平分线交于一点O ∴ ∴ ∴y与x的关系式是． 故答案为： 【点睛】三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 5．如下图，在中，BO，CO分别平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，再根据角平分线的定义求出的值，最后利用三角形内角和定理计算即可. 【详解】解： ， ， 分别平分， ， ， ∴    【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，能进行推理计算解决问题是解题的关键. 6．如图，的角平分线相交于点． （1）若，则________； （2）试探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）60；（2），见解析． 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可． 【详解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∴∠A=180°-50°-70°=60°． 故答案为60． （２）∠DPC=90°-∠A ， 理由：的平分线相交于点，， ， ∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A． 故答案为：90°-∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． 7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 【详解】（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 8．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）120°；（2） 【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可； （2）方法同（1） 【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°， ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°； （2） 证明：在四边形ABCD中， ∴ ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∴ 【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角． 考点02 双角平分线型——双外分模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m， 由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m， 由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得 ∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m， 由三角形的内角和，得 ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键． 2．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________． 【答案】36° 【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果． 【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB：∠CNB=3：2， ∴∠CMB=108°， ∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°， ∴∠ACB+∠ABC=144°， ∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键． 3．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 【答案】15°/15度 【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】解：如图： ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°． 5．如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中， ∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB） =180°-（180°-m°+180°-n°）； = 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出． 6．⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论． ⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）∠BPC＞∠BAC；证明见解析；（2）①70°；②90°-n°. 【详解】试题分析：（1）连接AP并延长到M，根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角可分别判断出∠BPM＞∠BAM，∠CPM＞∠CAM，从而得到∠BPC与∠A的大小关系； （2）①利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；②同①的求算方法相似，直接把∠A=n°代入即可表示． 试题解析：（1）∠BPC＞∠BAC． 连接AP并延长到M． ∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM， 在△ACP中，∠CPM＞∠CAM， ∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM， ∴∠BPC＞∠BAC； （2）解：①∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=140°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB）=（360°-140°）=110°， ∴∠BOC=180°-110°=70°； ②由①可知∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-[（360°-（180°-∠A）] 即∠BOC=90°-n°. 考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理． 7．（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数. ②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.    【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不正确， 【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可； ②首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出 的度数，即可得出结论； （2）首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据补角的定义求出，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论． 【详解】（1）①， ． ∵平分，平分， ， ； （2）①， ． ∵平分，平分， ， ； （2）， ， ． ∵平分，平分， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 8．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95 【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可； （2）根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可； （3）由角平分线的性质、四 边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系； （4）由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC= 理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线 ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∵∠2是△BOC的一个外角 （2）探究3结论：∠BOC=90°－ ∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线 ∴ ∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A 即 ∴ 整理得：∠BOC=90°－ （3）拓展结论： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线 ∴ ∴∠OBC+∠OCB 在△BOC中， ∴ ∴ （4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在△CPD中， 故答案为：95 【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键． 考点03 双角平分线型——内外分模型 1．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC， ∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC， ∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°， ∴∠A=36°． 故选A． 2．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____ 【答案】40° 【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO=∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 4．如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【答案】36 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 5．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）    【答案】①④ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 6．如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数 【答案】40° 【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可． 【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y， 则有 ， ①-2×②可得∠A=2∠E， ∴∠E=∠A=40°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 7．如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 【答案】 【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A1与∠A的关系，同理得出∠A2与∠A1的关系，从而推导出∠A2与∠A的关系，……，进而归纳出∠An与∠A的关系，即可得出答案. 【详解】解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC， 在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵与的平分线相交于， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC， ∴∠A1=∠A， 同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A， 由此可得，∠A3=∠A， …… ∴. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键. 8．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【答案】 证明：（1）设． 由的内角和为，得．① 由的内角和为，得．② 由②得．③ 把③代入①，得， 即， 即 （2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得，， =180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， =180°-（∠A+180°）， =90°-∠A； （3）如图： ∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4， 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3 ∴∠1+∠3=180°-∠A① 在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）， 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D=∠A． 【详解】略 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 9．在△ABC中，已知∠A＝α． （1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．    【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+． 【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性质可求解； （3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB， ∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+； （2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE， ∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC， ∴∠BFC＝∠A＝； （3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M， ∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+， ∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC， ∴∠G＝∠BFC＝， ∴∠BMC＝90°+. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质. 10．在中，已知.（1）如图1，的平分线相交于点． ①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）；（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②；(2) （3） 【详解】：（1）①；②； （2）∵和分别平分和         ∴,         ∴                                                    即 （3）由轴对称性质知：      由（1）②可得     ∴． 考点04 三角形中折叠的角度问题 1．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 2．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 3．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 4．如图，沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】先通过折叠和中点的性质分别得出、，等量代换得到，再通过等腰三角形等边对等角性质求出角度，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴． ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵内角和为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 6．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形内角和外角重点题型 考点01 双角平分线型——双内分模型 考点02 双角平分线型——双外分模型 考点03 双角平分线型——内外分模型 考点04 三角形中折叠的角度问题 考点01 双角平分线型——双内分模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（    ） A．118° B．119° C．120° D．121° 2．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠BOC四个角之间的数量关系是（   ） A．∠1+∠BOC=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠BOC=180° C．∠1+∠2+∠A+∠BOC=360° D．∠1+∠2+∠A=∠BOC 3．如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为_________．    4．如图，中，和的角平分线交于一点O，如果，则写出y与x的关系式是_______ 5．如下图，在中，BO，CO分别平分．若，求的度数． 6．如图，的角平分线相交于点． （1）若，则________； （2）试探究与之间的数量关系并说明理由． 7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 8．如图，四边形中，和的平分线交于点． （1）如果，，求的度数； （2）请直接写出与的数量关系． 考点02 双角平分线型——双外分模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ） A． B． C． D． 2．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________． 3．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 5．如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 6．⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论． ⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数． 7．（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数. ②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.    8．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线 ∴， ∴ ∴ （1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由． （2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论） （3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） （4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度． 考点03 双角平分线型——内外分模型 1．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 2．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____ 4．如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 5．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）    6．如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数 7．如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 8．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 9．在△ABC中，已知∠A＝α． （1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．    10．在中，已知.（1）如图1，的平分线相交于点． ①当时，度数= 度（直接写出结果）； ②的度数为 （用含的代数式表示）；（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）． 考点04 三角形中折叠的角度问题 1．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 4．如图，沿折叠后，点落在边上的处，若点为边的中点，，则的度数为___________． 5．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________． 6．如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数__． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $