6.3 平⾯向量线性运算的应⽤（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.3 平⾯向量线性运算的应⽤ 6.3 平⾯向量线性运算的应⽤ 学 习 目 标 1 2 能利用向量的加法、减法、数乘等线性运算，证明平面几何中的平行、共线、线段相等、点共线等问题； 了解向量的物理意义，会用向量线性运算求解简单的力的合成、位移合成等力学、运动学问题； 掌握向量法解决问题的三步流程：几何问题⇒向量问题⇒向量运算⇒还原几何结论。 重点：用向量线性运算证明几何平行、共线；简单力与位移合成。难点：选择合适基底，把几何线段用向量表示；几何语言与向量语言互相转化。 问题：在平行四边形中，是中点，对角线、交于点。 以前我们用全等、中位线证明线段平行、相等。 思考：能不能不用全等，只用向量的加减、数乘来证明且？ 几何情境 我们前面已经学会向量加法、减法、数乘运算，运算本身只是工具。今天这节课，我们就把向量线性运算用起来，用向量解决平面几何和物理中的实际问题。 问题：一人拉小车，同时受到两个拉力，两个力不在同一直线上，怎么求小车受到的合力？ 物理情境 力既有大小又有方向，是向量；力的合成，恰好对应向量加法的平行四边形法则。位移也是向量。 向量不只是纸上的符号，几何里描述线段、平行，物理里描述力、位移，都能用向量线性运算。 今天学习向量线性运算的应用。 目标一：向量在平面几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 步骤 要点解读 核心任务 (1)巧转化 建立几何元素与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 几何语言向量语言 (2)找关系 通过向量运算，研究几何元素之间的关系。 向量线性运算（加、减、数乘） (3)要还原 把运算结果“翻译”成几何关系，即把向量问题还原为几何问题。 向量结论几何结论（平行、共线、线段倍分等） 6 进一步说明 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)证明线段相等、平分问题,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义和运算律。 (2)证明线段平行、三角形相似问题,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件: (或 )。 (3)利用三点共线的条件处理一些平面几何问题: ,当 时, 三点共线。 (4)求线段的长度或证明线段相等,可以用向量的模。 即: , 或 。 7 在 中, ,点 是边 上的动点,且 (),则当 取得最大值时, 的值为( )。 A. B. C. D. 对点体验 【解】因为 ,而 共线,所以 ,所以 。 当且仅当 时取等号,此时 ,即 是线段 的中点,所以 。故选 C。 已知 是单位向量,若 ,则四边形 是( )。 A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 对点体验 解 由 ,得 ,且 ,所以四边形 为平行四边形。又因为 ,即 ,所以 是菱形。 设 为等边三角形 的重心,过 作直线 分别交 (不与端点重合)于 ,若 ,若 与 的面积之比为 ,则 。 A. B. C. D. 对点体验 解 连接 并延长,则通过 的中点 ,过 分别向 所在直线作垂线,垂足分别为 ,如图 所示。因为 与 面积比为 ,所以 。又因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,则 ,即 。 又因为 为 的重心,所以 ,所以 所以 故选 D。 目标二：向量在物理中的应用 矩形中的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 序号 步骤 简要解读 (1) 抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题 识别力、位移等矢量，剥离物理背景，转为向量问题 (2) 建立以向量为主体的数学模型 画出向量示意图，确定向量之间关系 (3) 利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型 进行向量运算，算出向量的大小、方向 (4) 用数学模型中的数据解释或分析物理问题 把向量计算结果还原为物理结论 12 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量。因此,向量可以解决一些物理问题。 (1)力向量 力向量与前面学过的自由向量有些不同,它不仅包括大小、方向两个要素,而且还有作用点。大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的,但力是具有大小和方向的量,在不考虑作用点的情况下,可利用向量运算法则进行计算。例如,求作用于同一点的两个力的合力,可用向量求和的平行四边形法则。 同一平面上,作用于同一点的两个力 或三个力 处于平衡状态,可分别用等式来表示: 。 (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算。用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算,有时也借助于坐标运算。 一个物体受到同一平面内三个力 的作用,沿北偏东 方向移动了 ,已知 ,方向为北偏东 , ,方向为北偏东 , ,方向为北偏西 ,则这三个力的合力的大小为。 对点体验 解 如图,建立平面直角坐标系, 则 ,则 。故 。 答 两个大小相等的共点力 ,当它们的夹角为 时,合力大小为 。当它们的夹角为 时,合力大小为。 对点体验 解 根据向量的平行四边形法则,作出如图 所示的示意图,则 。若 的夹角为 ,即 ,则 ;若夹角为 ,则 ,所以 为等边三角形,所以 ,即合力的大小为 。 目标三：典型例题 题型1 向量在平面几何中的应用策略 例1 如图所示, MN 是 △ABC 的中位线, 求证: MN∥BC 且 MN= BC。 典例分析 牛刀小试 因为 分别是 的中点,所以 因此 从而可知 ,且 。 大家非常熟悉的三角形中位线定理,初中的时候我们是利用平行四边形的性质来证明的,但这里只用到了平面向量的线性运算。 题型1 向量在平面几何中的应用策略 例2 如图所示, 已知平行四边形 中, 在对角线 上, 并且 。求证: 四边形 是平行四边形。 典例分析 牛刀小试 由已知可设 则 又因为 ,所以 因此 且 ,所以四边形 是平行四边形。 题型1 向量在平面几何中的应用策略 例3 如图所示, 已知 中, 分别 的中点, 与 相交于点 , 求 与 的值。 典例分析 牛刀小试 因为 又因为 都是中点,所以 另外, , 所以 。设 , , 则有 , 即 由共线定理可知 , 因此 O 点是 △ABC 的重心。同样,我们这里是利用平面向量的线性运算得到了三角形重心的一个性质,这个性质如果用相似三角形等知识来证明,需要添加辅助线。 题型2 向量在物理学中应用策略 例4 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为 50" N" ，求每条绳上的拉力大小. 典例分析 牛刀小试 因为物体处于平衡状态，所以 是重力的相反向量，因此 。又由图与向量加法的平行四边形法则可知， 的方向是竖直向上的，且 所以 因此，每条绳上的拉力为 . 题型2 向量在物理学中应用策略 例5 如图(1)所示，把一个物体放在倾角为 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 ，沿着斜面向上的摩擦力 ，垂直斜面向上的弹力 ，已知 ，求 ， 大小。 典例分析 牛刀小试 建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则 又由已知可得 且 ，所以 从而可知 题型2 向量在物理学中应用策略 例6 奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动。如果一帆船所受的风力方向为北偏东 ，速度为 ，此时水的流向是正东，流速为 。若不考虑其他因素，求帆船行驶速度的大小与方向。 典例分析 牛刀小试 答 如图，建立平面直角坐标系( 轴的正方向为东， 轴的正方向为北)。风力的方向为北偏东 ，速度的大小 ，水流的方向为正东，速度的大小 ，帆船 行驶的速度为 ，则 。 由题意可得向量 题型2 向量在物理学中应用策略 例6 奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动。如果一帆船所受的风力方向为北偏东 ，速度为 ，此时水的流向是正东，流速为 。若不考虑其他因素，求帆船行驶速度的大小与方向。 典例分析 牛刀小试 行驶的速度为 ，则 。 由题意可得向量 ，向量 ，则帆船行驶的速度 ，。 设帆船行驶方向与 轴的正方向的夹角为，。 为锐角，。 故帆船向北偏东 方向行驶，速度的大小为 。 题型2 向量在物理学中应用策略 例7 某人在无风条件下骑自行车的速度为 ，当风速为 ()时，则逆风行驶的速度大小为( )。 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 错解 由于逆风行驶，因此速度为 。故选 B。 错因分析，题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小 正解 选项 A，B 表示的是向量(速度)，选项 C，D 表示的是向量模的运算(速度的大小)。 表示的是人骑自行车顺风行驶时的速度大小， 表示的是人骑自行车逆风行驶时的速度大小。故选 D。 目标四：针对训练 举一反三 1.在 中， ，点 分别在线段 上，且 为 中点， ，若 ，则直线 经过 的(). A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析：因为 ，且 为 中点， ，则 ， 又因为 ，则可得四边形 为菱形，即 为菱形 的对角线，所以 平分 ，即直线 经过 的内心故选:A 举一反三 2.在 中斜边 长为 ， 是平面 内一点，点 满足 ，则 等于() A.2 B.1 C. D.4 解析：，，， 为 ，斜边 的中线，。故选 B 举一反三 3.如果一架飞机向西飞行 ，再向东飞行 ，记飞机飞行的路程为 ，位移为 ，那么 || A A. B. C. D. 解析：因为一架飞机向西飞行 ，再向东飞行 ，所以飞机飞行的路程 ，位移为向东 ，所以 ，所以 。故选 A。 举一反三 4.设 表示“向东走 ”， 表示“向南走 ”，则 所表示的意义为( ) A.向东南走 B.向西南走 C.向东南走 D.向西南走 解析：因为 表示“向东走 ”， 表示“向南走 ”，所以 所表示的意义为“向东走 ，向南走 ”，等价于“向东南走 ”。故选 A。 举一反三 5.一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行。已知船的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间 (单位：)为() A. B. C. D. 解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度 与水流速度 垂直，作 ，，以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图所示。 > 由题意可知，，，且 ，，由勾股定理可得 。因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为 ，则 。故选 B。 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们学习平面向量线性运算在平面几何、物理两方面的应用： ✅ 向量解决平面几何问题三步： ① 建模：选取基底，用向量表示图中的线段； ② 运算：利用向量加减、数乘做线性运算； ③ 还原：由向量关系翻译回几何结论（a=λb⇒平行或共线）。 常用结论：证明平行、三点共线、线段倍分关系。 2. ✅ 向量在物理中的应用： 力、位移都是向量；力的合成、位移合成对应向量加法（平行四边形法则/三角形法则）。 学海拾贝 3. ✅ 思想方法：转化思想，把几何证明、物理实际问题转化为向量运算问题，把几何推理转化为向量代数计算，体现向量“数形结合”的工具性。 4. 易错提醒： 向量平行≠线段一定共线；向量相等要同时满足长度相等、方向相同；基底要选不共线向量。 一句话总结：向量线性运算，就是用代数运算解决几何、物理的图形与矢量问题。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $