6.3 平面向量线性运算的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(1)用eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))表示eq \o(OC,\s\up6(→))； (2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形． [思路点拨]　画出图形，用向量表示问题中涉及的几何元素． (1)[解]　因为2eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝0， 所以2(eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＋(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)))＝0， 2eq \o(OC,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \o(OC,\s\up6(→))＝2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)). (2)证明　如图，eq \o(DA,\s\up6(→))＝eq \o(DO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))． 故eq \o(DA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up6(→)).即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形． 用向量方法解决平面几何问题的步骤 [变式训练] 1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|，则|eq \o(AM,\s\up6(→))|＝　________　. 解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB， 由向量加减法的几何意义可知， eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))， ∵|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝|eq \o(CB,\s\up6(→))|， 又|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝4，M是线段BC的中点， ∴|eq \o(AM,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝2. 向量在物理中的应用 [例2] 某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． [思路点拨]　画出示意图，把有关量用向量表示出来． [解]　设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时 人感到的风速为v－a，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝－a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝－2a，eq \o(PO,\s\up6(→))＝v，因为eq \o(PO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(PA,\s\up6(→))， 所以eq \o(PA,\s\up6(→))＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为eq \o(PO,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(PB,\s\up6(→))，所以eq \o(PB,\s\up6(→))＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是eq \o(PB,\s\up6(→)). 由题意∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝eq \r(2)a，即|v|＝eq \r(2)a.所以实际风速是每小时eq \r(2)a千米的西北风． 用向量方法解决物理问题的“三步曲” [变式训练] 2．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图，设eq \o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq \o(AD,\s\up6(→))表示渡船的速度，eq \o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度． 因为eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \o(DC,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 1．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　) A．梯形　　　　　 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：A　[∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq \o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－2)， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2) eq \o(CD,\s\up6(→))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))共线． 又|eq \o(AB,\s\up6(→))|≠|eq \o(CD,\s\up6(→))|，∴该四边形为梯形．] 2．已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b eq \o(OB,\s\up6(→))＋c eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：A　[∵eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→))， ∴a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b eq \o(OB,\s\up6(→))＋c eq \o(OC,\s\up6(→))＝a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→)))＋c(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AO,\s\up6(→)))＝b eq \o(AB,\s\up6(→))＋c eq \o(AC,\s\up6(→))－(a＋b＋c)eq \o(AO,\s\up6(→))，而a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b eq \o(OB,\s\up6(→))＋c eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，∴(a＋b＋c)eq \o(AO,\s\up6(→))＝b eq \o(AB,\s\up6(→))＋c eq \o(AC,\s\up6(→))，即eq \o(AO,\s\up6(→))＝eq \f(b,a＋b＋c) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(c,a＋b＋c) eq \o(AC,\s\up6(→))，记eq \o(AB,\s\up6(→))＝c n1，eq \o(AC,\s\up6(→))＝bn2，其中n1，n2分别表示eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，则eq \o(AO,\s\up6(→))＝eq \f(bc,a＋b＋c)(n1＋n2)，由该式可以看出AO平分∠BAC，故O为内心．故选A.] 3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A.eq \f(1,3)　　B.eq \f(1,2)　　　C.eq \f(2,3)　　　D.eq \f(3,4) 解析：C　[由eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，得eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq \o(PC,\s\up6(→))＝2eq \o(AP,\s\up6(→))，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故eq \f(S△PBC,S△ABC)＝eq \f(PC,AC)＝eq \f(2,3).] 4．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为eq \r(2)，为使所走路程最短，小船应朝　________　的方向行驶． 解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v水＋v船应与河岸垂直， 又|v水|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝1，|v船|＝|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝45°.∴小船应朝与水速成135°角的方向行驶． 答案：与水速成135°角 5．某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3) km/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解：如图所示，设此人的实际速度为eq \o(OB,\s\up6(→))，水流速度为eq \o(OA,\s\up6(→)). 因为实际速度＝游速＋水速，所以游速为eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))， 在Rt△AOB中，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，cos∠BAO＝eq \f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(3),3).故此人应沿与河岸夹角的余弦值为eq \f(\r(3),3)，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为4eq \r(2) km/h. [网络构建] [归纳提升] 　　向量的线性运算 1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量运算 法则(或几何意义) 向量的 线性运算 加法 向量的 线性运算 减法 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0 2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． [例1]　设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b.试用a，b将eq \o(MN,\s\up6(→))，eq \o(NP,\s\up6(→))，eq \o(PM,\s\up6(→))表示出来． [解]　如图.eq \o(MN,\s\up6(→))＝eq \o(CN,\s\up6(→))－eq \o(CM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)a. 同理可得eq \o(NP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b. eq \o(PM,\s\up6(→))＝－eq \o(MP,\s\up6(→))＝－(eq \o(MN,\s\up6(→))＋eq \o(NP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b. 此类平面向量的线性运算问题．求解的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得答案． [变式训练] 1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \o(EB,\s\up6(→))等于(　　) A.eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→))　　　　 B.eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up6(→)) C.eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up6(→)) 解析：A　[作出示意图如图所示． eq \o(EB,\s\up6(→))＝eq \o(ED,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→)).故选A.] 向量的坐标运算 1．向量问题中常用到 (1)|a|＝eq \r(x2＋y2)(其中a＝(x，y))． (2)应用三角形或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0. 2．通过向量的坐标运算，培养数学运算素养． [例2]　已知向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足eq \o(PB,\s\up6(→))＝λeq \o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求y与λ的值． [解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1)． ∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1.)) ∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)). (2)由已知得eq \o(PB,\s\up6(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)， eq \o(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又eq \o(PB,\s\up6(→))＝λeq \o(BD,\s\up6(→))， ∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).)) (1)解决向量问题时，把题中向量用坐标形式表示出来，运用坐标运算方法来解决是一种重要途径． (2)在解决与向量有关的最值问题时，常常利用坐标运算建立目标函数求解． [变式训练] 2．如图所示，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． 解：∵eq \o(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(0,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))). ∵eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))). 设M(x，y)，则eq \o(AM,\s\up6(→))＝(x，y－5)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0，\f(3,2)－5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2))).∵eq \o(AM,\s\up6(→))∥eq \o(AD,\s\up6(→))，∴－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.① 又∵eq \o(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，eq \o(CM,\s\up6(→))∥eq \o(CB,\s\up6(→))， ∴eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20.② 联立①②，解得x＝eq \f(12,7)，y＝2，故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)). 　　向量在平面几何中的应用 1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明． 2．借助向量在平面几何中的应用，提升数学抽象和数学运算素养． [例3]　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． (1)证明　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)． 因为D为AB的中点，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))， 所以|eq \o(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(m2＋n2)， 所以|eq \o(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB. (2)[解]　因为E为CD的中点，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，设F(x,0)，则eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．因为A，F，E三点共线，所以eq \o(AF,\s\up6(→))＝λeq \o(AE,\s\up6(→))，即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，所以|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2)，即AF＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2). 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题，这样的解题方法具有普遍性． [变式训练] 3.如图，半径为eq \r(3)的扇形AOB的圆心角为120°，点C在eq \x\to(AB)上，且∠COB＝30°，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ等于(　　) A.eq \r(3)　　　　　 B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),3) D．2eq \r(3) 解析：A　[由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则O(0,0)，A(0，eq \r(3))，C(eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)×cos 30°，－eq \r(3)×sin 30°)． 因为eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→)). 所以(eq \r(3)，0)＝λ(0，eq \r(3))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\f(\r(3),2)，－\r(3)×\f(1,2)))， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(3)＝μ×\r(3)×\f(\r(3),2)，,0＝\r(3)λ－\r(3)×\f(1,2)μ，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(μ＝\f(2\r(3),3)，,λ＝\f(\r(3),3)，))所以λ＋μ＝eq \r(3).] $$