江苏省苏州市2026-2027学年第1学期高三数学期中模拟卷

苏州市2026-2027学年第1学期高三数学期中模拟卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知集合，，则（ ） 2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4.中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 5.已知，则和的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6.已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 7.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 8.已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这10个数据的极差小于10 B. 这10个数据的中位数与众数相等 C. 从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D. 估计这块水果园中优质水果占60% 10.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 11.已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 13.函数的定义域为______． 14.二项式的展开式的常数项___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 15.如图，在中，是边上一点，. （1）求的大小； （2）求的长. 16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18.如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 19.已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值； （2）若，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2026-2027学年第1学期高三数学期中模拟卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析： 思路：根据集合交集的定义，求解即可. 解答过程： 因为，，所以. 故选：A 2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：D 解析： 思路：先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限. 解答过程：因为，所以， 所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D 3.不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 答案：C 解析： 思路：把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 解答过程：由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 4.中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 答案：A 解析： 解答过程：由题设，且必为锐角，则， 对于可能为锐角，也有可能为钝角，则，均满足题设， 由， 若时，， 若时，， 综上，为或. 故选：A 5.已知，则和的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析： 思路：由已知数量积求出，代入夹角公式计算可得. 解答过程：由，得， 则. 故选：C. 6.已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 52 D. 54 答案：D 解析： 解答过程：解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 故选：D. 7.已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 答案：D 解析： 思路：通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 解答过程：令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 故选：D 8.已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析： 思路：根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 解答过程：由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这10个数据的极差小于10 B. 这10个数据的中位数与众数相等 C. 从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D. 估计这块水果园中优质水果占60% 答案：BCD 解析： 解答过程：把这组数据从小到大排列为190，192，198，200，200，200，202，205，206，210，则这组数据的极差为20，A选项错误； 众数与中位数都是200，B选项正确； 去掉最重的与最轻的，数据在区间内，差距小了，方差变小了，C选项正确； 10个水果中有6个重量在内，优质率为60%，D选项正确. 故选：BCD 10.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 答案：BC 解析： 思路：根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项. 解答过程：由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是，标准差是，所以A错误； 由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确； 由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确； 由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误． 故选：BC． 11.已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：BC 解析： 思路：根据最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式，从而判断A、B；由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出的范围，即可判断C，最后求出、，从而判断D. 解答过程：因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 答案： 解析： 思路：根据古典概型计算即可 解答过程：解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 13.函数的定义域为______． 答案：或． 解析： 思路：根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 解答过程： 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 14.二项式的展开式的常数项___________． 答案：120 解析： 解答过程：的通项是 令，解得 所以常数项为 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 答案：（1）； （2）6. 解析： 思路：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. （1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 15.如图，在中，是边上一点，. （1）求的大小； （2）求的长. 答案：（1）；（2）8. 解析： 思路：（1）直接根据余弦定理可求得结果； （2）根据正弦定理可求得结果. 解答过程：（1）在中，， 由余弦定理可得：. . （2）， 在中，由正弦定理，得，即，解得. 16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 答案：（1） （2）有关 解析： 思路：（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. （1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 18.如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 答案：（1） ，, 又，且平面 平面， 又平面, （2）. 解析： 思路：（1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. （1）略 （2）作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 19.已知函数，. （1）若的极大值为1，求实数a的值； （2）若，求证：. 答案：（1） （2）见解析 解析： 思路：（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可； （2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明. （1）的定义域为，. 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得. 经验证符合题意，故实数a的值为. （2）当时，，故要证，即证. 令，则，. 令，，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又因为，即， 所以， 所以，即，故得证. 学科网（北京）股份有限公司 $