江苏扬州市2027届高三上学期期中检测数学自编样卷一

2026 ~ 2027学年第一学期期中检测 高 三 数 学（样卷一） 2026. 11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。 3. 本试卷共5页，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 3．函数的零点所在的大致区间是 A． B．(1,2) C． D． 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数，，则“”是“函数无极值点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名。若箕舌线 的部分图象如图所示，则的解析式可能为 A． B． C． D． 8．已知函数，设，若集合，其中 ，则符合要求的集合的个数不可能是 A．21 B．63 C．7 D．15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9．已知实数，且，则 A． B． C． D． 10．设△ ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判定△ ABC是等腰三角形的是 A． B． C． D． 11．设定义在上的， 均为奇函数，当时，，且 ，均为奇函数，设，则 A．当且仅当 B．当且仅当， C．当且仅当 D．当且仅当 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．幂函数的图象过点，则函数的值域是 ______________ 13. 在△ ABC 中，已知，，，若△ ABC无解，则实数的取值范围是 ___________ 14．已知集合中恰有2个元素，若，则的取值范围是 _______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 2026年10月11日，WTT北京大满贯女单决赛中，中国选手王曼昱以4:0打败日本著名削球手佐藤瞳，从而拿到女单冠军，为国争光。某学校调查了1000名同学是否喜欢乒乓球，统计得到如下列联表. 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 350 520 女生 230 480 总计 600 （1）补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断是否喜欢乒乓球运动与性别有关？ （2）从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取12人参加乒乓球运动集训，再从这12人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量为这3人中女生的人数，求的数学期望. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附： ，其中. 16．(15分) 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心,在同一竖直线上，且标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒. （1）当时，求点B绕转动的弧度数 （2）求当t满足什么条件时， （3）若函数，当时，恒成立，求a的取值范围. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱（不含端点）上一点. （1）证明：； （2）若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若三棱锥的内切球的半径为，求的长. 18．（17分） 在△ ABC中，，AD平分，且. （1）若CD＝2，求BC的长度； （2）求 k 的取值范围； （3）若△ ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短. 19．（17分） 设函数. （1）求曲线在坐标原点处的切线方程； （2）证明：对任意正整数，在上存在唯一的极值点； （3）记（2）中在（）上的极值点为，设点，证明：存在定点，使得为定值. 2026 ~ 2027学年第一学期期中检测 高 三 数 学 样 卷 一 参 考 答 案 与 评 分 建 议 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．ACD 10．BCD 11．ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．(,) 14． . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分） 【解】（1）列联表 (2分) 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 350 170 520 女生 250 230 480 总计 600 400 1000 零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无差异（3分） 根据表中数据，计算得， （5分） 依据小概率值的独立性检验，推断不成立 即认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关（6分） （2） 调查结果为喜欢乒乓球运动的学生中，男生350人，女生250人， 男生人数与女生的人数之比为7∶5 所抽取的12人中，男生抽取（人），女生抽取（人）（7分） 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3（8分） 则，， ，. （12分） 所以的数学期望为.（13分） 16．（15分） 【解】（1）当时，点A绕转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等， 则点B绕转动的弧度数为（3分） （2） 转动时间为t秒，点A绕转动t弧度，点B绕转动2t弧度 ，，（5分） 当，解得， 由，得，（8分） 所以满足条件的t的集合为.（9分） （3） 在时恒成立 所以在时恒成立 (11分) 当时，， 当时，取得最小值（13分） 即（15分） 17.（15分） 【解】（1）如图，取AC的中点，连接BE，DE 因为是AC的中点，所以. 因为几何体是直三棱柱，所以四边形是矩形.（1分） 又是棱的中点，所以. 又平面平面BDE 所以平面BDE.（3分） 又平面BDE，所以.（4分） （2） 以为原点，EB，EC，ED所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 若是的中点，则， 所以.（6分） 设平面ADM的法向量为，平面CDM的法向量为. 由得,令，得. 所以平面ADM的一个法向量为，（7分） 同理，平面CDM的一个法向量为（8分） 所以.（10分） 所以平面ADM与平面CDM夹角的余弦值为.（11分） （3） 设，则， 三棱锥的表面积为. 由等体积得，即， 解得，所以.（15分） 18.（17分） 【解】（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得（1分） 因为AD平分，所以， 因为，所以，所以，（2分） 因为，，所以，得， 所以；（4分） （2） 由得 因为，， 所以(6分) 因为，所以 所以（8分） 因为，所以， 所以（9分） （3）由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以（11分） 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4（13分） 即当时，取得最小值4，此时， 所以（14分） 因为， 所以 所以（15分） 由（2）知，所以 即当时，最短. （17分） 19．（17分） 【解】（1）（1分） 所以.（2分） 所以，曲线在坐标原点处的切线方程为.（4分） （2） 证明：设，则.、 当时，若为偶数，，，单调递减，（5分） 若为奇数，，， 在上单调.（6分） 又，. 因为对于任意正整数，且，. 因为的图象是连续不断的 所以存在唯一，使.（7分） 又，且对恒成立， 所以当时，与同号，零点相同（8分） 即在左、右两侧的符号相反，且. 所以对任意正整数，在上存在唯一的极值点.（10分） （3） 证明：由（2）可知，即. 令>2，代入上式即为，即. 由，得且， 所以.（11分） 又，所以. 因为，所以. 由得，则，所以.（12分） 将代入，得.（13分） 设定点，则（14分） 所以.（15分） 若使其为定值恒成立，只需. 比较得，， 解得，，即或， 所以存在定点或，使得为定值1（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $