31.2.2三角形相似的判定（第2课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“三角形相似的判定（第2课时）”，核心内容为三边成比例的两个三角形相似及斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似的判定定理。课堂导入通过复习已学相似三角形判定方法，以“如何研究三角形相似判定”设问，搭建新旧知识衔接支架，引导学生类比全等三角形展开探究。 导学案以合作探究为特色，通过类比全等三角形“边边边”“斜边直角边”判定猜想相似条件，培养学生推理意识，典例与练习结合网格图、直角三角形计算等情境，强化几何直观，融入中考真题提升应用意识，归纳总结梳理判定体系，助力学生构建知识网络，提升综合证明与计算能力。

31.2.2三角形相似的判定（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似；斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 2.会综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理（三边、斜边直角边）。 学习难点：综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 对于三角形相似的判定，我们是如何研究的? 答：类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论：两个三角形满足 1.一角相等；2.两边成比例；3.两角(三角)相等；4.两边成比例一角相等；5.三边成比例. 得到了三角形相似的判定定理： （1）两角分别相等的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 本节课我们继续讨论“三边成比例”的情况. （二）合作探究 探究3 类比判定三角形全等的“边边边”，三边满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“三边分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想：三边成比例的两个三角形相似. 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = = . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = = ， 又 = = ，A′D=AB， ∴DE=BC，A'E=AC. ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 注意：△A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 三角形相似的判定定理 （3）： 三边成比例的两个三角形相似. 符号语言 ∵ = = ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 归纳 三角形相似的判定定理 预备定理：平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定1：两角分别相等的两个三角形相似 判定2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定3：三边成比例的两个三角形相似 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的两角、或两边的比及其夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 探究2 类比判定直角三角形全等的“斜边、直角边”，满足什么条件的两个直角三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”相对应， 我们猜想：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 如图，在Rt△ABC和Rt△ A′B'C′中， ∠C=∠C′=90°， = . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 证明： 设 = =k，则 AB=kA'B′，AC= kA'C′. 由勾股定理，得 BC=，B'C′=. ∴ = = = =k. ∴ = = . ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 三角形相似的判定定理 （4）： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 符号语言 ∵ ∠C=∠C′=90°， = ，∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 思考 结合直角三角形相似的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状吗? 归纳 直角三角形相似的判定定理 判定1：一个锐角相等的两个直角三角形相似 判定2：两组直角边成比例的两个直角三角形相似 判定3：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 根据直角三角形相似的判定定理可知，如果一个直角三角形的一个锐角、或两条直角边的比、或斜边和一直角边的比确定了，那么这个直角三角形的形状也就确定了. （三）典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 分析：根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成比例证明这两个三角形相似. 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理， AB=a，BC=3a，AC=2a； CE=2a，ED=6a，CD=4a. ∴ = = = ， ∴ △ABC∽△CED. 例2 已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，则不能使两直角三角形相似的条件为（ D ） A. ∠A=∠A′ B．AC:A′C′=BC:B′C′ C．AC:AB=A′C′:A′B′ D．AC:AB=B′C′:A′C′ 例3 如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=3，AC=4，当BD=_或_时，图中的两个直角三角形相似． 提示：当BD:BC=AB:AC时，△ABC∽△ADB.当BD:AC=AB:BC时，△ABC∽△DAB. （四）巩固练习 1．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ B ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定的是（  D   ） A．， B． C．，且 D．，且 3．下列说法不正确的是（  A ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 4．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（  B  ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 5.在△ABC与△A'B'C′中，AB=4，BC=6，AC=8，A'B′=12，B′C'=18，A'C′=24. 这两个三角形相似吗?请说明理由，如果相似，相似比是多少? 解：这两个三角形相似，理由如下： ∵AB:A'B′=4:12=1:3，BC:B′C'=6:18=1:3，AC:A'C′=8:24=1:3， ∴ = = = . ∴△ABC∽△A'B'C′，相似比为 . 6.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3，5，那么一条直角边和斜边长分别为3k和5k(k是正数)的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么? 解：相似，理由如下： 设在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=5，BC=3，A′B′=5k，B′C′=3k， ∴AB:A′B′=1:k，BC:B′C′=1:k， ∴ = ， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2020年云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　C　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（2020年黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（  A  ） A．或 B．15 C． D． 分析：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，若m是斜边，则； 在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，若n是斜边，则； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取， 即当m=5，，， 当，n=10，. （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(3)，7题. 2.探究性作业：习题31.2 第10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.2三角形相似的判定（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似；斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似。 2.会综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理（三边、斜边直角边）。 学习难点：综合利用相似三角形的判定定理进行证明或计算。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 对于三角形相似的判定，我们是如何研究的? 本节课我们继续讨论“三边成比例”的情况. （二）合作探究 探究3 类比判定三角形全等的“边边边”，三边满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“三边分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想： . 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 三角形相似的判定定理 （3）： 的两个三角形相似. 符号语言 ∵ ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 归纳 三角形相似的判定定理 预备定理： . 判定1： 的两个三角形相似 判定2： 的两个三角形相似 判定3： 的两个三角形相似 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的 、或 、或 确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 探究2 类比判定直角三角形全等的“斜边、直角边”，满足什么条件的两个直角三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”相对应， 我们猜想： . 如图，在Rt△ABC和Rt△ A′B'C′中， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 证明： 三角形相似的判定定理 （4）： 的两个直角三角形相似. 符号语言 ∵ ，∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 思考 结合直角三角形相似的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状吗? 归纳 直角三角形相似的判定定理 判定1： 的两个直角三角形相似 判定2： 的两个直角三角形相似 判定3： 的两个直角三角形相似 根据直角三角形相似的判定定理可知，如果一个直角三角形的 、或 、或 确定了，那么这个直角三角形的形状也就确定了. （三）典例分析 例1 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D，E都在格点上.求证：△ABC∽△CED. 例2 已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，则不能使两直角三角形相似的条件为（ ） A. ∠A=∠A′ B．AC:A′C′=BC:B′C′ C．AC:AB=A′C′:A′B′ D．AC:AB=B′C′:A′C′ 例3 如图，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=3，AC=4，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似． 提示：当BD:BC=AB:AC时，△ABC∽△ADB.当BD:AC=AB:BC时，△ABC∽△DAB. （四）巩固练习 1．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定的是（      ） A．， B． C．，且 D．，且 3．下列说法不正确的是（    ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 4．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（     ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 5.在△ABC与△A'B'C′中，AB=4，BC=6，AC=8，A'B′=12，B′C'=18，A'C′=24. 这两个三角形相似吗?请说明理由，如果相似，相似比是多少? 6.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3，5，那么一条直角边和斜边长分别为3k和5k(k是正数)的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么? （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2020年云南昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（2020年黑龙江大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（     ） A．或 B．15 C． D． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(3)，7题. 2.探究性作业：习题31.2 第10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $