31.2.2三角形相似的判定（第1课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“三角形相似的判定（第1课时）”，核心内容为两角分别相等、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理。通过复习三角形全等判定方法，类比引出相似判定的研究思路，搭建从特殊到一般的知识迁移支架。 导学案以合作探究为主线，引导学生经历“猜想-验证-证明”过程，培养推理意识和抽象能力。典例与巩固练习结合中考真题，联系生活情境，提升应用意识，分层作业设计兼顾基础与拓展，助力学生深度学习与能力提升。

31.2.2三角形相似的判定（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.掌握利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理（两角、两边一夹角）。 学习难点：利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们是如何研究三角形全等的判定的？ 答：在学习三角形全等的判定时，我们通过减少条件，重点研究了它们的三个元素(两边一角、两角一边、三边和三角)分别相等的情况，得到了SAS，ASA，AAS，SSS等判定方法. 问题2 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，我们又该如何研究呢? 答：类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论：两个三角形满足 1.一角相等；2.两边成比例；3.两角(三角)相等；4.两边成比例一角相等；5.三边成比例. （二）合作探究 探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足一角相等或两边成比例，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 答：它们不一定相似. 探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足两角分别相等，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 答：直观上，两个三角形是相似的. 思考 结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似.你能证明这一结论吗？ 如图，在△ABC和△ A′B'C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 在A'B'上截取A'D=AB，在A'C'上截取A'E=AC，连接DE. 又∵∠A=∠A′， ∴△A′DE≌△ABC. ∴∠A′DE=∠B， ∵∠B=∠B'， ∴∠A′DE=∠B'， ∴DE∥B'C'， ∴△A'DE∽△ A'B'C'. ∴△ABC∽△ A'B'C'. 注意：△A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 三角形相似的判定定理 （1）： 两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言 ∵∠A=∠A′，∠B=∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C′. 探究3 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = ，∠A=∠A′. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = ，又 = ，A′D=AB， ∴ = ， ∴A'E=AC. 又 ∠A=∠A′， ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 三角形相似的判定定理 （2）： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言 ∵ = ，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C′. 思考 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗? 答：与“两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”相对应， 我们猜想：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似. （三）典例分析 例1 如图，△ABC是等腰三角形， AB=AC，∠A=36°，BC=1，BD平分∠ABC，且交AC于点D. (1) 求证：△BCD∽△ABC. (2) 求AC的长. 解：(1)∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C= = =72°. 又 BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD=∠CBD=36° . ∵ ∠CBD=∠A，∠BCD=∠ABC， ∴ △BCD∽△ABC. (2)在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°， ∴ BD=BC=1. 又∠ABD=∠A，∴AD=BD=1. ∵△BCD∽△ABC， ∴CD:BC=BC:AB，即BC2=CD·AB. 设CD=x，可得1²=x(1+x)，即x²+x-1=0， 解得x1=，x2=(舍去)， ∴AC=. 例2 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． （四）巩固练习 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 证明：(1)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠BDC=∠ACB=90°， 又∵∠CBD=∠ABC， ∴△CBD∽△ABC. 变式 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：CD2=AD·BD. 证明：∵△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC， ∴△ACD∽△CBD， ∴AD:CD=CD:BD， ∴CD2=AD·BD. 2.图中的两个三角形是否相似?为什么? 解：若B、C、D三点共线，A、C、E三点共线，则两个三角形相似. 理由如下： ∵BC:DC=45:30=3:2，AC:EC=54:36=3:2， ∴BC:DC=AC:EC， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴△ACB∽△ECD. 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，画出一个顶点都在格点上的△DEF，使△DEF∽△ABC，且△DEF与△ABC的相似比为2.画图的依据是什么? 解：如图，△DEF即为所求. 画图的依据是：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（  D  ） A． B． C． D． 2．（2023年黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________． 3．（2024年广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4．（2026年山东烟台）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 解：（1）如图所示； （2）∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(1)(2)，5，9题. 2.探究性作业：习题31.2 第13题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.2三角形相似的判定（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.掌握利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理（两角、两边一夹角）。 学习难点：利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们是如何研究三角形全等的判定的？ 问题2 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，我们又该如何研究呢? （二）合作探究 探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足一角相等或两边成比例，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足两角分别相等，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 思考 结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似.你能证明这一结论吗？ 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 三角形相似的判定定理 （1）： 的两个三角形相似. 符号语言：∵ ， ∴△ABC∽△A'B'C′. 探究3 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想： . 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， . 求证：△ABC∽△A'B'C′. 三角形相似的判定定理 （2）： 的两个三角形相似. 符号语言： ∵ ，∴△ABC∽△A'B'C′. 思考 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗? （三）典例分析 例1 如图，△ABC是等腰三角形， AB=AC，∠A=36°，BC=1，BD平分∠ABC，且交AC于点D. (1) 求证：△BCD∽△ABC. (2) 求AC的长. 例2 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． （四）巩固练习 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 变式 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：CD2=AD·BD. 2.图中的两个三角形是否相似?为什么? 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，画出一个顶点都在格点上的△DEF，使△DEF∽△ABC，且△DEF与△ABC的相似比为2.画图的依据是什么? （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2023年黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 3．（2024年广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 4．（2026年山东烟台）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(1)(2)，5，9题. 2.探究性作业：习题31.2 第13题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $