广东佛山市南海区石小实验学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次学情调研卷

2026－2027学年度第一学期九年级第一次学情调查 数学科调研卷 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. 1 B. 2.5 C. 7.5 D. 10 2. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 3. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 在□ABCD中，是上一点，交于点，若，，则的长为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感．我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点，则图中黄金矩形的个数是（注：）（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是______． 12. 若，则______． 13. 现有大小相同的正方形纸片张，小亮用其中张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张___________正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开). 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15. 如图，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合：以的速度沿直线从左向右运动矩形保持不动，直到点运动到与点重合时运动停止，设运动时间为秒，当与矩形重叠部分的面积为时，的值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程：． 17. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 20. 如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； （2）在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； （3）在图3中的线段上画一个点P，使． 21. 如图，在中，，点为的中点，连接．过点作的平行线，交的延长线于点，连接．过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的两根均为整数，其“最值码”．现探究以下问题： （1）若关于x的一元二次方程是一个“全整根方程. ①当时，该方程的“最值码”是______； ②若m为整数，且，求m的值； （2）对于“全整根方程”（b、c为整数），若这个“全整根方程”（n为正整数），且方程的两根满足，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值． 23. 如图1，在中，点M是边上的一点，连接．若． （1）【初步感知】＝______． （2）【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点P，连接的延长线与相交于点N．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【变式探究】如图3，连接与交于点E，连接．当时，与之间的关系是，求k的值． 2026－2027学年度第一学期九年级第一次学情调查 数学科调研卷 试卷说明： 本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【16题答案】 【答案】 ， 【17题答案】 【答案】5 【18题答案】 【答案】（1） 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 【19题答案】 【答案】（1） （2）10元 【20题答案】 【答案】（1）如图，正方形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：点为的中点， . ， . 又， . . 又， 四边形为平行四边形. 又四边形为菱形. （2） 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 【22题答案】 【答案】（1）①；②． （2）或 【23题答案】 【答案】（1） （2）线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图： 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $