专题04 轴对称、等腰等边三角形、最短路径（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

八年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题04 轴对称、等腰等边三角形、最短路径 人教八上 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 ►本专题是期中压轴重点板块，题型覆盖选择填空、几何压轴大题。考点围绕坐标平面内点的对称变换、等腰三角形性质与判定、三线合一、等边三角形性质判定、将军饮马最短路径模型、折叠轴对称问题、等腰三角形动点存在性探究。 ►基础题考查坐标对称、等腰简单角度计算；压轴题以最短路径、折叠倒角、动点等腰分类讨论为主。 ►难度偏高，易错集中在等腰三角形边角分类讨论漏情况、三线合一误用条件、将军饮马作图原理说理不清、折叠问题找不全相等边角。 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 牢记平面直角坐标系中点对称坐标规律；牢记等腰、等边三角形性质与判定；牢记将军饮马模型原理；牢记折叠问题轴对称特点。 理解 理解轴对称前后对应边角相等；理解等腰三角形 “三线合一” 适用条件；理解将军饮马通过轴对称化折为直的原理；理解等腰动点分类讨论逻辑。 应用 能求坐标系内点的对称坐标；能利用等腰、等边三角形性质完成角度线段证明；能解决将军饮马最短路径、折叠倒角、等腰三角形存在性探究压轴题型。 6 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 轴对称性质与坐标对称 考点二 等腰三角形性质与判定 考点三 等边三角形 考点四 最短路径问题 核心要点精讲 考点一 轴对称性质与坐标对称 1.轴对称性质:   轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 10 核心要点精讲 考点一 轴对称性质与坐标对称 2. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)， 其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； -3 -2 -1 1 2 3 x O -3 -2 -1 1 3 2 y (x，y) (x，－y) (－x，y) (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)， 其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 简记：横同纵反. 简记：纵同横反. （3）在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 11 核心要点精讲 考点二 等腰三角形性质与判定   文字语言 符号语言 图示  性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C   性质2   等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 1.等腰三角形的性质 12 核心要点精讲 考点二 等腰三角形性质与判定 2.等腰三角形的判定方法   文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC， ∴△ABC 为等腰三角形     判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC ⚠️避坑指南 三线合一只针对等腰三角形底边，腰上不适用;等腰边角问题注意多解分类讨论。   文字语言 符号语言 图示   性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60°       性质2   等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中， ①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD=CD； ②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC且BD=CD； ③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD， ∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC   轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 核心要点精讲 考点三 等边三角形 1.等边三角形的性质 核心要点精讲 💡记忆口诀 等腰等边要分清，60° 等腰是等边；将军饮马作对称，折线拉直求最短。 考点三 等边三角形 2. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形   判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60° (或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 15 核心要点精讲 考点四 最短路径问题 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 ， 理由： 在l上任取异于点P的一点P′，连接A P′ 、B P′ ， 在△AB P′ P’中，A P′ +B P′ >AB， 即A P′ +B P′ >AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 16 核心要点精讲 考点四 最短路径问题 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧， 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′， 连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由： 根据轴对称的性质知直线l为线段A A′ 的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=P A′ ，要使PA+PB最小， 则需P A′ +PB值最小，从而转化为模型l. 📌方法总结： 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 17 PART 05 重难题型突破 题型一 平面直角坐标系中点的对称变换 题型二 等腰三角形边角分类讨论 题型三 等边三角形性质与判定综合 题型四 等腰三角形三线合一综合证明 题型五 将军饮马单动点最短路径 题型六 将军饮马变式：两动点、周长最小问题 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 题型八 轴对称折叠问题 18 重难题型突破 题型一 平面直角坐标系中点的对称变换 典例1 （26-27八年级上·天津·期中）（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． A 解：关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 故点关于轴的对称点坐标是． 💡破题要诀 1.点(x,y)关于x轴对称:(x,-y)，横坐标不变，纵坐标变号。 2.点(x,y)关于y轴对称:(-x,y)，纵坐标不变，横坐标变号。 3.关于直线x = a、y= b对称，利用中点公式求对称点坐标。 19 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 题型一 平面直角坐标系中点的对称变换 解：∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，即，纵坐标相等，即， ∴， A 迁移应用 2．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． B 20 重难题型突破 题型二 等腰三角形边角分类讨论 典例2 （25-26八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形一个角是30°，则它的顶角的度数是（ ） A．30° B．120° C．75°或120° D．30°或120° D 解：∵ 等腰三角形的一个角是， ∴ 当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为， 顶角为， ∴ 顶角为或， 💡破题要诀 1.性质:等边对等角;三线合一(顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合)。 2.判定:等角对等边。 3.三线合一仅适用于等腰三角形底边相关线段; 等腰边长、角度未指明腰/顶角时，必须分类讨论，并且检验内角和、三边关系 21 重难题型突破 迁移应用 1.（25-26八年级上·河南濮阳·期中）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（    ）． A． B． C．或 D．或 题型二 等腰三角形边角分类讨论 C 解：∵等腰三角形的一个内角为， 若这个角为顶角，则底角为：， 若这个角为底角，则另一个底角也为， ∴其一个底角的度数是或． 22 重难题型突破 题型二 等腰三角形边角分类讨论 2．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ． 解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴；  ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 或 23 重难题型突破 题型二 等腰三角形边角分类讨论 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，为边上的高．，则线段的长为___________． 解：在中，， ∴． 当点D在线段上时，； 当点D在的延长线上时，． 故答案为：2或6． 2或6 24 重难题型突破 题型三 等边三角形性质与判定综合题 典例3 （24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 证明：如图， 过点作交于点； 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， ∴ )，． 💡破题要诀 1.性质:三边相等，三个内角均为60° 2.判定:三边相等;三个内角相等;有一个角为60°的等腰三角形 3.等边三角形常结合旋转模型，产生全等三角形。 25 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 重难题型突破 题型三 等边三角形性质与判定综合题 (1)证明：∵， ∴ ． ∵，， ∴ ， ∴， ∴为等边三角形． （2）解： 由（1）得， 又∵， ∴ ． 26 重难题型突破 题型三 等边三角形性质与判定综合题 迁移应用 2．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． (1)证明： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为：． 27 重难题型突破 题型四 等腰三角形三线合一综合证明 典例4 （26-27八年级上·青海·期中）如图，点在线段上，，，，是的中点． (1)求证： (2)直线与直线有怎样的位置关系？证明你的结论． (1)证明：∵，∴， 在和中， ∵，∴． (2)解：，理由如下， ∵， ∴， ∵是的中点，∴． 💡破题要诀 1.三线合一包含三层互推关系:等腰 + 顶角平分线 → 底边上高、中线;等腰 + 底边高 → 顶角平分线、中线;等腰 + 底边中线→ 顶角平分线、高。 2.证明时不能直接“三线互推”，要先有等腰条件。 3.常用来证明垂直、线段相等、角相等, 28 重难题型突破 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． 题型四 等腰三角形三线合一综合证明 (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． （1）解：，， ， （等腰三角形三线合一） 垂直平分， ． （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ， （等腰三角形三线合一） ， ， ． （等边对等角） 29 重难题型突破 题型四 等腰三角形三线合一综合证明 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，过点作，交于点． (1)若，，求度数； (2)若点是的中点，连接，请说明． （1）解：由题意可得， ∴． ∵，∴． ∴ ． ∵， ∴ ． ∴ ． (2)证明： ∵，点是的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 30 重难题型突破 题型五 将军饮马单动点最短路径 典例5 （25-26七年级下·北京·期中）如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 💡破题要诀 1.核心原理:利用轴对称，将折线段转化为两点之间的直线段。 2.两点之间，线段最短。 3.作图步骤:作其中一个定点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与对称轴交点即为所求动点。 C 31 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五 将军饮马单动点最短路径 解:如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． C 32 解：点D为线段中点，∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长． 重难题型突破 题型五 将军饮马单动点最短路径 迁移应用 2．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，，，的面积为16，点D为线段中点，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 B 33 解：过点作、的对称点，连接分别交、于，连接， ∴， ∴， ∴此时的周长最短， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，∴，即：周长的最小值是． 重难题型突破 典例6 （25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，，内有一定点，且．在上有一动点，上有一动点．则周长的最小值是（    ） 题型六 将军饮马变式：两动点、周长最小问题 A． B． C． D． B 💡破题要诀 1.求三角形/四边形周长最小值，有两个动点时，分别作两个定点关于两条直线的对称点. 2.连接两个对称点，与两条直线交点即为两个动点位置, 3.周长最小值等于两个对称点之间线段长度, 34 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，点在等边的边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则的长为（    ） 题型六 将军饮马变式：两动点、周长最小问题 A．5 B．5.5 C．6 D．7 解：过点E作关于射线的对称点，过作于F， 交射线于P，连接，如图，则， ∴， 此时的值最小，即， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， ∴． B 35 重难题型突破 迁移应用 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） 题型六 将军饮马变式：两动点、周长最小问题 A． B． C． D． 解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交 于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵，∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 B 36 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 典例7 （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． （1）解：设点M、N运动t秒时， M、N两点重合，得方程； ，解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时， 可得到等边，如图①， ， ， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时， 可得到等边． 37 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 典例7 （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． （3）解 当点M、N在边上运动时， 可以得到以为底边的等腰三角形 情况一： 设点M、N运动x秒时， M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合， 恰好在C处，， 但不是等腰三角形 38 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 典例7 （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 情况二：如图②， 假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， 在和中， ∵， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形 39 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 典例7 （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． ，， ，即， 解得：．综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时， 能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 💡破题要诀 1.等腰三角形存在性分三类讨论: ①AB=AC;②BA=BC;③CA=CB. 2.固定两点，第三点在直线上运动，依次列出三种情况, 3.每种情况计算完成后检验点的位置是否符合题意，舍去不合理解。 40 重难题型突破 迁移应用 1．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为 。 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 解：①时，， 则； ②当时， 或 ； ③当时， ， 则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 或或 41 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 迁移应用 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 解：∵在中，， 且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由， 得， 解得：． ∴． 42 ②如图2：当时， 则． 由得： ， 解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得， ，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 迁移应用 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 或 43 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点． (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． （）解：∵，， ∴ ， 44 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点． (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． (2)证明：∵， ∴， 在中，∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； 45 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点． (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． （3）解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 46 重难题型突破 题型七 等腰三角形存在性探究（动点） 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点． (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． ②当时， ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时， ， ∴ ， ∵， ∴ ， 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 47 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 典例8 （25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 48 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 典例8 （25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是 ； （1）解： ① ， ， ， 若， 则； ② 若，则； 49 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 典例8 （25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (2)证明： ，， ， ， 由（1）同理可得， ， ； 50 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 典例8 （25-26八年级下·山东青岛·阶段检测） (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______ ． （3）解：设， 由折叠的性质可知，， ，， ， ， ， 为等腰三角形， 当时， 有， 解得； 当时， 有，解得； 当时， 有，无解，即该情况不存在； 综上所述，的度数为或． 或 💡破题要诀 1.折叠本质就是轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等 2.折叠产生相等线段、相等角，常在矩形、三角形背景中倒角。 3.折叠问题求边长，常结合勾股定理列方程求解。 51 重难题型突破 迁移应用 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： 题型八 轴对称折叠问题 （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． （1）证明：∵是等边三角形，∴， ∵，∴， ∴， ∵将沿折叠得到，∴， ∴， ∴是等边三角形； 52 重难题型突破 迁移应用 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： 题型八 轴对称折叠问题 （2）如图2，当点落在内部时，求证：； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵，∴， ∴； 53 重难题型突破 迁移应用 1.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 题型八 轴对称折叠问题 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． （3）解：如图，  当时， ； 如图， 当时， ， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 54 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 迁移应用 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． 55 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 迁移应用 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； （1）解：由折叠的性质可知： ， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 56 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 迁移应用 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． (3)解小明的猜想成立，理由如下： 如图1，过点作于点， 在长方形中，， ，，∴， 由折叠可得：， ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 57 (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由：___________）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大．请把上面的证明过程补充完整． (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． 58 (1)证明：由折叠可得，___________． ___________（理由： ）， ． 可得结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么所对的角也不等，大边所对的角较大．请把上面的证明过程补充完整． 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 59 (2)【拓展结论】 类似地，用下面的方法，证明此命题的逆命题：“在一个三角形中，如果两角不等，那么所对的边也不等，大角所对的边较大”已知：在中，．求证：． 小聪的思路是：在内部作 请你根据小聪的思路，在图1中添上辅助线并写出完整的证明过程； 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (2)证明：如图所示， ， ． ， ， ； 60 (3)【应用结论】如图3，在三角形中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接，交于点．求证：． 重难题型突破 题型八 轴对称折叠问题 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来等角所对的边也相等．类比以上内容，小明同学探究了不相等的边（或角）所对的角（或边）之间存在的关系．如图1和图2，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点． (3)证明：如图所示，在上截取，连接． 在上截取连接． 平分，． 又，． ， ∴， ． ， ． ，． 61 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（26-27八年级上·浙江·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 解： A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. A 63 基础固本练 2．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． B 解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 64 基础固本练 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 B 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 65 基础固本练 4．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． D 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）点关于x轴对称的点N的坐标为（    ） A． B． C． D． C 解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 66 基础固本练 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． C 解：由题意得： ， 是长方形， ， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴． 67 基础固本练 7．（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点与点关于y轴对称，则__________． 解：点与点关于轴对称， 两点纵坐标相等，可得． 5 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则_ ． 解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 36/36度 68 基础固本练 9．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的底角的度数为___________ 80或50 解：若是底角，则底角为； 若是顶角，则根据三角形内角和定理， 底角为； 综上所述，底角的度数为或． 69 （2）解：∵， 为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 基础固本练 10．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． (1)为等边三角形． 理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 70 基础固本练 11．（25-26八年级上·天津·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． (1)证明：是等边三角形， ， 点E为线段的中点， ，， ，， ， 是的外角，， ，， ， ； 71 基础固本练 11．（25-26八年级上·天津·期中）已知，在等边三角形中，点D，E分别在射线及射线上，且． (1)如图1，当点E为线段的中点时，求证：； (2)如图2，当时，求度数． （2）解：过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 72 综合进阶练 1．（26-27八年级上·福建·期中）如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解：∵与关于直线对称， 且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． B 73 综合进阶练 2．（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若 周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 D 解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴ ， ∴． 74 综合进阶练 3．（26-27八年级上·云南·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” D 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 75 综合进阶练 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ B 解：和中， ∵，∴， ∴，，故①正确； ∵，∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，只有，两个条件， ∴无法判定，故③错误； 综上所述：正确的结论为①② 76 综合进阶练 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A．11 B．13 C．12 D．10 B 解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 77 综合进阶练 6．（26-27八年级上·北京·期中）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为_______． 解：如图，延长，交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 78 综合进阶练 7．（26-27八年级上·甘肃·期中）如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有 ． 解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故②④正确； ∴，即，故①正确， 故结论正确的有①②③④． ①②③④ 79 综合进阶练 8．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，在和中，，且，点在上．过点作，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (1)证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 80 综合进阶练 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 解：（1）∵是等边三角形， ∴，又， ∴， ∵， ∴ ； 81 综合进阶练 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴，∴， ∵， ∴； 82 综合进阶练 9．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 83 $