精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为， 所以，故或. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出，由复数的乘法运算可得答案. 【详解】复数，则 则 故选：D 3. 下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，在为增函数，故A错误. 对选项B，在为增函数，故B错误. 对选项C，在为减函数， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C错误. 对选项D，在为减函数， 设，定义域为， ，所以为奇函数，故D正确. 故选：D 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式得出即可求解. 【详解】，，解得或， 故函数的定义域为. 故选：D. 5. 如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （ ）． A. 增函数且最小值为 B. 减函数且最小值为 C. 增函数且最大值为 D. 减函数且最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值. 【详解】因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即， 所以在区间上的最大值为. 故选：. 6. 若3x＋2y＝2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由，应用基本不等式可得最小值． 【详解】因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，即函数的最小值为4 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】解：因为，， ， 所以， 故选：B 8. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得,,的坐标，求得,所在直线的斜率，再由直线与直线的斜率之比为3列式求双曲线的离心率． 【详解】由题意可得，，， 点的横坐标为，代入，又，所以， ，， 则，可得． 即双曲线的离心率为2． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40， 这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确； C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数， 这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确； D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动， 所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误； 故选：ABC. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 点是的一个对称中心点 B. 的图象是由的图象向右平移个单位长度得到 C. 在上单调递增 D. 是方程的两个解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即，然后根据三角函数的性质进行判断. 【详解】 对于A：令，解得， 当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确； 对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误； 对于C：当时，，而函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误； 对于D：令，解得或， 即或，所以，故D错误. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数单调区间的方法： 首先把三角函数化简为或的形式，再求或的单调区间，只需把看作一个整体代入或相应的单调区间即可. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先计算的值，再计算即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 故答案为：． 13. 展开式中项的系数为________. 【答案】30 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项表达式为， 当时，， . 故答案为:30. 14. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可得到结果. 【详解】由题意得，，因为，所以， 所以，所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边后，由余弦定理可求得角； （2）代入（1）中关系式结合已知可得，再由面积公式得面积． 【详解】（1）因为，由正弦定理得，即， 所以，，所以； （2）由（1），，而， 所以， ． 16. 已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. （1）求幂函数的解析式及实数的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 【答案】（1）； （2） 函数在区间上单调递增，证明如下， 由（1）可知， 在区间上任意取值，且， ， 因为，所以，， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证； （2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性. 【小问1详解】 由条件可知，所以，即， 所以， 因为是奇函数，所以，即， 满足是奇函数，所以成立； 【小问2详解】 略 17. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可. （2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得. 【小问1详解】 解：由题意得： 由题意知，则 又，所以是公差为2的等差数列，则； 【小问2详解】 由题知 则 18. 如图，四棱锥，平面，，，． （1）求证：平面上平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：∵，，． ∴，，，∴， ∵平面，平面，∴， 又，∴平面， 又平面，∴平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，可得平面，从而得证面面垂直； （2）以为轴，过平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为轴，过平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由（1）知平面的一个法向量为， ， 由图可得平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查用向量法二面角，求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：作出二面角的平面角并证明，然后解三角形求得平面角的大小； （2）建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得． 19. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）1 （2）函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数； （2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值. 【小问1详解】 由可得：， 由题意，，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 当时，，则在上是减函数； 当时，，在上是增函数. 故时，函数有极小值为，无极大值. 故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （ ）． A. 增函数且最小值为 B. 减函数且最小值为 C. 增函数且最大值为 D. 减函数且最大值为 6. 若3x＋2y＝2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 点是的一个对称中心点 B. 的图象是由的图象向右平移个单位长度得到 C. 在上单调递增 D. 是方程的两个解，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数则_____________ 13. 展开式中项的系数为________. 14. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C； （2）若，求的面积. 16. 已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. （1）求幂函数的解析式及实数的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 17. 已知数列的前n项和为，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 18. 如图，四棱锥，平面，，，． （1）求证：平面上平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数； （2）求的单调区间和极值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $