第四章 数列（复习讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 复习要点 1.数列的概念及其表示 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式和前n项和公式 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式和前n项和公式 4.掌握等差数列，等比数列性质 复习重难点 重点： 1.等差数列通项公式、前n项和公式 2.等差数列角标和性质，前n项和性质 3.等比数列通项公式、前n项和公式 4.等比数列角标和性质，前n项和性质 难点： 1.等差数列的判断与证明 2.等比数列的判断与证明 3.由数列的前n项和，求通项 4.累加法、累乘法求通项 5.裂项相消法，错位相减法求和 知识点 数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； 要点速测 1．（24-25高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 2．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 【答案】 增 【分析】利用作差法比较相邻两项与的大小，根据差的正负判断数列单调性. 【详解】对任意，计算相邻两项的差： ， 由且，可得，因此， 所以， 即对所有满足条件的恒成立， 因此数列是严格增数列. 知识点数列前n项和 1、数列前n项和 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 要点速测 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 【答案】 【分析】利用数列通项与前项和的关系，分和两种情况求解，再验证是否满足时的通项表达式. 【详解】根据数列前项和与通项的对应关系求解： 当时，； 当且时，. 经检验，时，不满足时的表达式， 因此 3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列的前n项和公式为 ，则数列{}的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， ． 知识点等差数列 1、等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . ①等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. ②等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 2、等差数列的四种判断方法 ①定义法（或者）(是常数)是等差数列． ②等差中项法： ()是等差数列． ③通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） ④前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 3、等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 要点速测 1．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】B 【详解】由等差数列可知，即. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 【答案】 【分析】直接代入等差数列的通项公式即得. 【详解】由等差数列的通项公式，可得． 知识点等差数列前n项和 1、等差数列的前项和公式 ①首项为，末项为的等差数列的前项和公式 ②首项为，公差为的等差数列的前项和公式 2、等差数列前项和性质 ①若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 ②设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 ③在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 ④若等差数列的项数为,则 ，。 ⑤若等差数列的项数为,则，，， 要点速测 1．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质求解. 【详解】因为，所以. 2．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， ， ； （2）由题意得：，，解得，， ，即； （3）， ，， ， ， ， ，又， . 知识点等比数列 1、等比数列通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 2、等比数列的判断（证明） ①定义：（或者）（可判断，可证明） ②等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） ③通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 3、等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． ①若，则，其中. 特别地，若，则，其中. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). ③若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 要点速测 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）在等比数列中，，，则公比（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】因为，，所以. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 知识点等比数列前n项和 1、等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 2、等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下三类: ①数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 ②当是偶数时, ;当是奇数时, ③ 要点速测 1．（25-26高二下·四川南充·期末）记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 【答案】C 【分析】根据数列为等比数列，则成等比数列求解． 【详解】因为数列为等比数列， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以． 2．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 3．（25-26高三下·江苏淮安·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则__________. 【答案】 【详解】因为，又，则， 所以，， 则. 题型1求数列的通项或项 ▌例1 （25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. ▌例2 （多选）已知数列，则下列说法正确的是（     ） A．此数列的通项公式是 B．是它的第项 C．此数列的通项公式是 D．是它的第项 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解. 【详解】数列， 即， 则此数列的通项公式为，A正确，C错， 令，解得，故B正确，D错. 故选：AB 解题要点 1.观察数列的规律寻找通项 2.特殊值法 ▌迁移练1-1（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【答案】B 【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数. 【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. ▌迁移练1-2（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. ▌迁移练1-3（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 题型2 数列最大（小）项 ▌例1 （25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . ▌例2 （2026高二·全国·专题练习）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 【答案】8 【详解】由两边同时除以可得，移项得：，其中，令，则有，当时，将代入上式： ，，……，. 将以上个等式两边分别相加得：，右边中间项全部抵消，剩下，由得：，所以. ，，由， 即， 解得，又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 解题要点 1.求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项 2.求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项 ▌迁移练2-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B ▌迁移练2-2（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是_________________________． 【答案】 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. ▌迁移练2-3（辽宁省多校调研2025-2026学年高三上学期11月联考数学试题）数列的最大项的值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，求得，求得数列的最大项的值，得到答案. 【详解】由数列， 则， 当时，，即，且， 当时，，即； 当时，，即，且； 当时，，即； 当时，，即，所以. 综上可得，数列的最大项为. 故答案为：. 题型3等差数列的判断与证明 ▌例1 已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． ▌例2 （26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【答案】(1)证明：因为，所以数列是等差数列 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义结合题意计算即可证明； （2）根据等差数列通项公式求法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 解题要点 1.定义法（或者）(是常数)是等差数列 2.等差中项法： ()是等差数列 3.通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） 4.前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） ▌迁移练3-1（24-25高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列，则（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是递减数列 【答案】C 【分析】求出数列及、的通项公式，结合等差数列与数列单调性的定义判断即可. 【详解】由题意得， 数列：，. A项，由， 可知，故数列不是等差数列，故A错误； B项，由，可知数列不是递增数列，故B错误； 数列：. C项，由， 则是等差数列，故C正确； D项，由， 则数列是递增数列，故D错误. 故选：C. ▌迁移练3-2（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【详解】①中，是关于的一次函数，且，所以数列是公差为的等差数列； ②中，当时，，当时，，当时，，，所以不是等差数列； ③中，为关于的二次函数， ，，，，故不是等差数列． ▌迁移练3-3已知等差数列中，，． (1)求的值； (2)若数列满足：，证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知 ， ∴数列是等差数列，首项是1，公差是2. 【分析】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论； （2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论． 【详解】（1），， ； （2）略 题型4等差数列角标和性质 ▌例1 （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． ▌例2 （25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 【答案】C 【分析】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 解题要点 1. 若，则 2.特别的，当，有 ▌迁移练4-1（2026·河北沧州·三模）已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【答案】B 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. ▌迁移练4-2（2026·贵州贵阳·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列性质可得，又，所以，解得， 故选：B. ▌迁移练4-3（多选）（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 题型5 等差数列前n项和计算 ▌例1 （25-26高二下·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和前项和公式求得首项和公差即可求解； （2）由等差数列下标和的性质及求和公式即可求解. 【详解】（1），解得． ， ． （2） ▌例2 （24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 【答案】(1)110 (2)， (3)14 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式以及求和公式求得，进而可得结果； （2）根据等差数列求和公式求得，进而可得结果； （3）根据等差数列性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）因为， 整理得，解得或（舍去）， 所以． （3）因为，， 可得，即． 又因为，所以． 解题要点 1.首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2.首项为，公差为的等差数列的前项和公式 ▌迁移练5-1（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据等差数列的性质，即可求解； （2）首先求首项，再代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由等差数列的性质可知； （2）设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. ▌迁移练5-2（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求． 【答案】(1)48 (2)270 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出公差，再由求和公式计算可得； （2）由等差数列的性质，结合等差数列前项和公式计算可得； 【详解】（1）， ． 故 ． （2），， ． ▌迁移练5-3（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 题型6等差数列片段和性质 ▌例1 （25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. ▌例2 （2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 解题要点 1.设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 ▌迁移练6-1（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． ▌迁移练6-2（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可知、、成等差数列，由此可解得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. ▌迁移练6-3（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】33 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 题型7两个等差数列前n项和比问题 ▌例1 （26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 ▌例2 （25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因均为等差数列， 则. 解题要点 1.在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 ▌迁移练7-1（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. ▌迁移练7-2（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 题型8等差数列前n项和最值问题 ▌例1 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及数列的函数性质求解即可. 【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得， 故 . （2），， 当 时， 取得最大值 . ▌例2 （25-26高二上·云南迪庆·期末）在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答． 问题：等差数列的公差为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和取得最小值时的值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】第(1)问：先从已知的和式推导出首项与公差的关系式，再结合所选条件解出首项和公差，从而得到数列的通项公式； 第(2)问：根据通项公式分析数列项的正负变化，找到最后一个非正项的位置，从而确定前项和取得最小值时的值. 【详解】（1）由，得，则； 若选①，则，解得， 故，； 若选②，则由，可得， 得，代入解得， 故，； 若选③，则由，可得， 即，可得， 故，. （2）由(1)知，，，数列是递增数列． 由，得，又，当时，， 当时，， ∴当时，取得最小值． 解题要点 1.二次函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解 2.正、负项分界点法：或者 ▌迁移练8-1（2026·浙江宁波·三模）设数列的前项和为，当时满足． (1)求； (2)令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对递推关系式变形，累加可得答案； （2）求出的通项公式，判断单调性，结合中项的符号可得答案. 【详解】（1），叠加得， ． （2）， 因为，且，所以与均为增函数，所以递增， 而 ， 故时， 时，，于是时，最小． ▌迁移练8-2（25-26高三上·宁夏吴忠·阶段检测）已知数列为等差数列，其前项和为，若. (1)求数列的前100项和的值. (2)设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得的值，再根据通项关系可得公差的值，从而可得，结合并项求和可得数列的前100项和的值； （2）求解前项和为，从而可得为等差数列，从而根据等差数列求和公式可得前项和为，由二次函数的性质即可得的最小值. 【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 所以数列的前100项和 . （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. ▌迁移练8-3（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)-57 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得， （2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值 【详解】（1）设数列的公差为d， 则，解得，所以. （2）令，解得，所以当时，. 故当时，取到最小值，为. 题型9等比数列的判断与证明 ▌例1 （25-26高二下·上海奉贤·期末）若是以1为首项、以 为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（    ） A．是以 为首项、以为公比的等比数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以 为首项、以为公比的等比数列 【答案】B 【详解】因为是以1为首项、以为公差的等差数列， 所以， 因为数列满足（为正整数）， 所以， 则， 则， 当时，， 则是以为首项，以为公比的等比数列，故选项B正确. ▌例2 （25-26高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 【答案】(1) (2)由（1）知，则， 所以， 所以数列是等比数列，且等比数列的首项为，公比为. 【分析】（1）设等差数列的公差为，，依题意建立关于的方程组，求解后代入通项公式化简即得； （2）在求出的通项后，再利用等比数列的定义证明是等比数列. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 因为数列的前四项和为10，且成等比数列， 则，， 即，化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）略 解题要点 1.定义：（或者）（可判断，可证明） 2.等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3.通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） ▌迁移练9-1（多选）（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列的首项为1，且满足，则（   ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，结合等比数列定义逐项公板判断得解. 【详解】对于A，由，得，又，则，A正确； 对于B，由选项A知，，，不成等比数列，B错误； 对于C，由，得，是等比数列，C正确； 对于D，由，得，，是等比数列，D正确. 故选：ACD ▌迁移练9-2（25-26高二上·云南·期末）记数列的前项和为，已知．证明：数列为等比数列； 【答案】 因为数列的前项和， 当时，， 当时，可得， 经检验当时也成立，所以， 则，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【分析】由数列的前项和，结合与的关系，求得，进而得到，即可得证. 【详解】略 ▌迁移练9-3已知数列的前项和为，，其中为常数. (1)求证：； (2)是否存在实数使得数列为等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由，化简得到，结合，得到，即可得证； （2）由（1）知，当时，，两式相减得，再由，求得，结合等比数列的定义，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 由，所以， 又因为，可得，所以，即. （2）解：由（1）知， 当时，，两式相减得， 又由，可得， 要使得数列为等比数列，则且，解得， 故存在实数使得数列为等比数列. 题型10等比数列角标和性质 ▌例1 （25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. ▌例2 （25-26高二上·安徽六安·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】在等比数列中，，则，解得： 由，可得：, 由于，所以(与同号，负值舍去) 故选：A 解题要点 1.若，则，其中. 2.若，则，其中 ▌迁移练10-1（25-26高二下·河南驻马店·期中）在等比数列中，，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得， 又因为，所以， 则， ▌迁移练10-2（25-26高二下·河南南阳·期中）在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. ▌迁移练10-3（2026·安徽合肥·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 【答案】D 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 题型11等比数列前n项和 ▌例1 （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）利用等比数列通项公式和前n项和公式列式求解； （2）利用等差数列的前n项和性质求解. 【详解】（1）由，，得，即，又， 于是，解得或. （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为 ， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． ▌例2 （24-25高二·全国·课堂例题）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 【答案】(1)127 (2)或 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再利用等比数列前n项和公式即可求解； （2）利用给定条件结合等比数列通项公式，列出方程组并求解即得. 【详解】（1）∵为等比数列，且， ∴．∴，又，∴舍去）． ∴． （2）①当时，． 又，∴， 即， 解得（舍去），∴． ②当时，，∴． 综上得或 解题要点 1.等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 ▌迁移练11-1（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)； (2)，； (3)或. 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再其前7项和； （2）利用等比数列前项和公式及通项公式列式求解； （3）利用给定条件，列出方程组并求解即得. 【详解】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得， 所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. ▌迁移练11-2（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3)50 【分析】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【详解】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． ▌迁移练11-3（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列． (1)若，，求的值； (2)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：代入等比数列的前项和公式，即可求解；方法二：根据与的关系，即可求解； （2）根据等比数列的通项公式，列方程组即可求解. 【详解】（1）方法一  ∵，， ∴，即，∴． 方法二  ∵，且， ∴． （2）设等比数列的公比为， 由题意得，即 ∵，，∴得，，即， ∴，∴，． 题型12等比数列片段和性质 ▌例1 （26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. ▌例2 （25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 解题要点 1.公比为的等比数列的前项和为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 ▌迁移练12-1（25-26高二下·陕西汉中·期中）设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 【答案】63 【分析】应用等比数列前n项和的性质，，，仍成等比数列求解即可. 【详解】根据片段和性质，有，则，解得. ▌迁移练12-2（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． ▌迁移练12-3（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 题型13等比数列奇偶项和的性质 ▌例1 （25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. ▌例2 （25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 解题要点 1.公比为的等比数列的前项和为，当是偶数时, ;当是奇数时, ▌迁移练13-1（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. ▌迁移练13-2（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： ▌迁移练13-3（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 题型14已知求 ▌例1 （25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. ▌例2 （25-26高二上·新疆喀什·期末）若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________． 【答案】 【分析】利用与之间关系直接求解即可． 【详解】当时，5； 当时，，不满足； 所以． 故答案为： 解题要点 对于数列，前项和记为 ① ② ①-② ▌迁移练14-1（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【答案】 【分析】利用公式求数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 因为不满足上式， 所以. ▌迁移练14-2（25-26高三·全国·一轮复习）已知正整数列的前n项和为，且对任意的自然数满足．求的通项公式． 【答案】 【详解】由，代入得，两边平方得①， 时，②， ①-②，得，所以， 所以， 由正数数列，得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以有. ▌迁移练14-3（25-26高三·全国·一轮复习）在正项数列中，为其前n项和，且，求通项公式． 【答案】 【分析】由整理得到， 由于是正项数列，由得到，利用和的关系求解.当时，利用和求出，当时，利用求出，验证适合，从而得到数列的通项公式． 【详解】由，得， 由于是正项数列，所以，， 于是，时，， 适合，综上，数列的通项公式． 题型15累加法求通项 ▌例1 （25-26高二上·天津红桥·阶段检测）数列中，，，则___________． 【答案】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： ▌例2 （2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则___________； 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】， ， ．显然满足上式， ． 故答案为：. 解题要点 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法 具体步骤 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得 = 整理得： ▌迁移练15-1（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知数列满足，，则_____. 【答案】 【分析】利用累加法求解. 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. ▌迁移练15-2已知数列满足，，则________. 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 题型16累乘法求通项 ▌例1 （23-24高三上·广东江门·阶段检测）数列中，，且，则等于__________. 【答案】 【分析】先根据条件求首项，再利用累乘法求通项即可. 【详解】由题意可知：， 显然有， 由累乘法可得. 而符合， 故答案为： ▌例2 （23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则____________. 【答案】6 【分析】根据递推公式，并结合累乘法从而可求解. 【详解】因，故有， 即得，所以. 故答案为：6. 解题要点 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘 法 具体步骤 ，，， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得 整理得： ▌迁移练16-1（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. ▌迁移练16-2（5.3递推公式求数列通项公式（讲义））在数列中，，前项和，则数列的通项公式为______ 【答案】 【分析】当时，由已知的等式可得，与已知的等式相减化简可得，然后利用累乘法可求出. 【详解】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： ▌迁移练16-3（21-22高一下·宁夏石嘴山·期中）数列满足：，，则数列的通项________________. 【答案】 【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解. 【详解】解：因为，， 所以， 当 时，， 所以， ， ， 当时，，适合上式， 所以数列的通项， 故答案为： 题型17倒序相加法求和 ▌例1 （2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. ▌例2 （2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 解题要点 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 ▌迁移练17-1（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. ▌迁移练17-2（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入函数解析式求，将，代入函数解析式求； （2）将相应的自变量值代入函数解析式化简即可求解； （3）借助（2）中的结论即可求解. 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. ▌迁移练17-3已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【答案】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式. 【详解】略 题型18分组求和法 ▌例1 （26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去） . 所以数列的通项公式为： . （2） 由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. ▌例2 （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【详解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 解题要点 1.如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法 2.如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法 ▌迁移练18-1（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 所以等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为    ． （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为， 其中， ， 因此，即数列的前项和为． ▌迁移练18-2（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的递推公式求得数列的递推公式，从而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到数列中的通项公式，结合数列的递推公式求得的通项公式，从而求得数列的通项公式.然后讨论的奇偶性，通过分组求和求得数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以，则 因为为奇数，为偶数，所以， 所以， 即数列是首项为12，公比为4的等比数列， 所以. （2）由（1）可知，，所以. 因为为奇数，则，所以， 当为偶数时，， . 当为奇数时，为偶数，， 综上所述，. ▌迁移练18-3（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，， 故 题型19数列新定义问题 ▌例1 （26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． ▌迁移练19-1（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . ▌迁移练19-2（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】首先对递推式变形得到数列是等差数列，求出的通项公式，再结合调和数列定义、数列单调性、裂项相消求和、不等式证明的方法逐项判断. 【详解】选项A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，故A正确； 选项B，由，，可知是首项为1、公差为1的等差数列， 因此，即，故是递减数列，故B错误； 选项C，， 前项和，故C正确； 选项D：要证，代入，即证， 右边通分得， 只需证， 化简得，即，恒成立，D正确. ▌迁移练19-3（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 【答案】11 【分析】根据题意，确定前两项或前三项的数，进而分析其余项的数. 【详解】当由1,4构成时，则，，、为2，3的一个排列，故满足条件的数列共有个； 当由2,4构成时，则，，、为1，3的一个排列或，，， 故满足条件的数列共有个； 当由3,4构成时，则，，、为1，2的一个排列或，，、为2，4的一个排列 或，，、为1，4的一个排列，故满足条件的数列共有个； 由题可知，若，则“控制数列”其“阶数”为1，不符合题意； 所以使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为个. 难点一 构造法求数列通项 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. 难点精练 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知数列中，，，则________． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 难点二 通项含绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 难点精练 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 【答案】 【分析】先求解，讨论与即可求解. 【详解】因为，所以； 因为， 所以当时，； 当时，． 所以 2．（24-25高二上·福建漳州·阶段检测）在等差数列中，，，则数列的前n项和为______． 【答案】 【分析】利用已知易求得数列的通项公式，令，可得，分类讨论可求的前项和公式. 【详解】等差数列的公差为， 故通项公式为． 令，即，解得， 设，分别表示数列与数列的前n项和， 则． 当时，； 当时， ． 由， 得． 故. 故答案为：. 3．（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）若等差数列的首项，，记，则______． 【答案】 【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得等差数列的前n项和， 令，解得，且， 当时，则； 当时， ； 综上所述：. 故答案为：. 4．已知数列的通项公式为， 则_________． 【答案】 【分析】分析数列的取值规律，结合等差数列求和公式求解. 【详解】因为， 所以当时，，当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以， 故答案为： 5．在等差数列中，，，求数列的前n项和______ 【答案】 【分析】根据等差数列的求和公式求出和，再对 根据符号作分类计算. 【详解】设公差为d，由等差数列的求和公式 得，， 解得，，所以，由得， 即数列的前5项为正，其余各项为负，则数列的前n项和， 所以当时，；当时，， 即 ； 故答案为：. 难点三 裂项相消法求和 1、基本步骤 2、裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 4、常见裂项规律： （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） （2）无理型 ① 如： （3）指数型 ① 如： （4）通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 难点精练 1．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】(1) (2)的取值范围为 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【答案】(1) ， (2) （等价化简形式均可） 【详解】（1）已知，所以， 两式作差得：，即，， 所以，所以等比数列的公比为， 当时，， 又有，所以，， 综上，； （2）由知，， 所以， 则， 所以. 3．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知前n项和公式，利用前n项和与前项和的差构造等式关系，推出数列的通项公式； （2）通过数列的通项公式形式，利用裂项相消的方法求和． 【详解】（1）由题意得，所以， 两式相减，可得，即． 数列的各项均为正数，，， 两式相减得，即 由数列的各项均为正数，知． 由，，， 由，解得， 于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故； （2）由（1）可知，代入可得 ； ． 4．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，， 所以， 所以 ． 【分析】（1）先求出，再由题意得，根据的关系可得，最后求出等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法进行证明. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； （2）略 5．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 难点四 错位相减法求和 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． ①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成. ②展开：---------------① ③乘公比：--------② ④错位相减：得. ⑤求和： 难点精练 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知数列的前n项和满足. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1)因为，①所以当时，，即， 所以，当时，，② 所以①－②得：，即，所以， 所以，又，所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列.； (2)， 因为， 所以，所以是递增数列，所以， 因为，所以，所以， 综上，. 【分析】（1）由得出，然后按照定义法证明等比数列即可； （2）由题意可知，故求可用错位相减法，再根据单调性即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以， 所以，① ，② ①－②得：， 所以.     2．（26-27高二上·全国·课后作业）设数列的前项和为，数列的通项公式为． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，；当时，，将已知代入化简计算可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法计算，分和两种情况，分别得出答案． 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时也满足， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）及题意，得， 所以，① 则．②； ①-②，得． 当时，，所以； 当时，． 综上可得，. 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 4.（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，     所以，     所以， ， 两式相减得 ，     所以． 5．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)等差数列公差，等比数列公比； (2)，。 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）可先由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【详解】（1）由题意，可得， 由，可得：， 联立，解得：或 因为， 所以等差数列公差，等比数列公比； （2）由（1）可得，.，故， ， ， 两式相减得： ， 有， 所以． 难点五 数列不等式恒成立（能成立）问题 将数列不等式恒成立转化为数列的最值求解，结合参数分离法或分类讨论法，把参数与数列项分离，通过求数列的最大/最小值（或上/下确界）确定参数范围；核心依据：，恒成立；恒成立，核心是分离参数/定数列范围，求最值定参数边界。 方法1：参数分离法（首选，无分类讨论更简洁） 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离的情况） 难点精练 1．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1． 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以 即． （2），因此 . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 2．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：设， 则， 即， 因为，所以， 则数列是首项为，公差为的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）构造新数列，算出，差值固定不变，满足等差数列定义，从而得证. （2）用等差数列通项公式写出，代入，变形得到，两边取倒数，直接写出通项. （3）拆分，分开用等比、等差求和公式算出前项和，化简不等式，转化为，设，作差法判断单调性，得出时最大值为，代入最大值计算，得到. 【详解】（1）略. （2）由（1）可得， ，解得. （3）因为， 依题意，， ， 则转化为， 即，也即， 因为不等式对一切恒成立，所以， 设， 因， 当时，，得， 当时， ，得， 当时，因，则 ，故单调递减， 则有，又， 故，则， 则实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意每一项都不为零，由得， 所以，等式两边取倒数得，得， 又，因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. (2) 【分析】（1）由已知等式变形为，可得出，结合等比数列的定义可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； （2）求出、的表达式，结合题意得出，令，，分析数列、的单调性，求出这两个数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，. 所以 . ， ， 两式作差可得， 所以， 进而，使得，， 即有， 令，则， 令得，可得，解得， 因为，故， 令得，可得，解得或， 因为，故， 即有当时，，即， 同理当时，，即，所以， 再令， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以数列为递减数列，即， 所以有，解得. 因此实数的取值范围是. 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段检测）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】(1)证明如下，， ，当时，， 整理得，，又， 数列为首项和公差都是的等差数列. ，又，， 时，， 又适合此式， 数列的通项公式为. (2)，正整数的最大值为 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可知是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合可求得的表达式，再由可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，利用数列的单调性求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）略 （2）， ， 随着逐渐增大，逐渐增大， ，依题意有，，即，解得， 故所求最大正整数的值为. 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出和，即可求出的通项公式； （2）先求出，可得为等差数列，利用等差数列求和公式求出，根据题意可得，即可求出的取值范围. 【详解】（1），，解得，； 由，可知，； ，， 又， ， 即，解得或（舍去）， ． （2）由（1）知： 可知，，解得， 所以为等差数列，故， 存在，有即 又 所以 故，整理解得． 所以的取值范围是. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： . 由题意，列方程： 交叉相乘解得，即. 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 4．（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 5．（25-26高二下·北京昌平·期末）在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设公比为，因为，所以. . 6．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用等比数列下标和相等则项乘积相等的性质求出首项，再排除公比的情况，代入等比数列前项和公式列方程求解公比并舍去不合理解. 【详解】若，由等比数列的性质可知，则， 若，则，不合题意，故， 所以，解得或（舍去）． 二、多选题 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 8．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AC 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 三、填空题 9．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 【答案】 【分析】利用等差数列的等差中项性质，将两个已知等式相加，整体转化为所求式的倍数关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，其中. 根据等差数列的等差中项性质：对于任意等差数列，若，则. 将已知两个等式相加，可得： ， 又，. 所以 ，所以. 10．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的通项公式为，当取最小值时，________． 【答案】20或21 【详解】令，得，即， 易知当时，； 当时，；当时，， 因此当或21时，取最小值． 四、解答题 11．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 12．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意列出方程组，进而求解即可； （2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． （2）结合（1）得， 所以的前项和为 ． 13．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比，即可求解通项， （2）利用等比求和公式得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． （2），所以， 所以， 所以． 14．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在等差数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记，证明：. 【答案】(1) (2)因为， 所以. 所以，所以. 所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列式求解. （2）利用裂项求和法证明. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则. 所以. （2）略 能力进阶 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】观察数列，，，，可知第层的球数是前个正整数之和， 则， ， ． 2．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）“冰雹猜想”数列满足：，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由，结合递推规则， 倒推： 先求， 若为偶数，则，得，是偶数，符合前提； 若为奇数，则，得，不满足该分支的前提，舍去. 故，再求， 若为偶数，则，得，是正偶数，符合条件； 若为奇数，则，得，与矛盾，舍去. 综上，. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为对一切都成立， 所以当，时有，即，解得. 经检验，符合题意. 故，的值为，. 4．（26-27高三上·河北·开学考试）已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则（    ） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据题意表示出数列中的项，并计算分成五组的和，解出等比数列的公比，使用基本量求解. 【详解】时，成等差数列，公差，，，， 时，成等差数列，公差，，， 时，成等差数列，公差，，， 设五组的和依次为， ，，，， ， 成等比数列，则，即，解得， 所以，则公比为，由五组构成等比数列得 ，，，， 解得. 二、多选题 5．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得. 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，D正确. 6．（25-26高二下·河南·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的有（   ） A．数列是递减的等差数列 B． C．，，成等比数列 D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】使用等差数列与等比数列的定义，通项公式，使用与的递推关系分析选项A，使用通项公式求解选项B，使用等比数列的定义分析选项C，使用等差数列的性质分析选项D. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 因为，所以数列是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，可得，，， 即，所以，，成等比数列，故C正确； 当时，令，解得，； 令，解得，； 令，解得，； 所以当或4时，取得最大值，故D正确． 7．（25-26高二下·辽宁·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（   ） A． B．数列的前n项和 C．数列是等差数列 D．数列的前n项积 【答案】ACD 【分析】将两边同除以，得是等差数列，即可求得，即可判断AC；根据等比数列求和公式判断B；根据指数运算结合等差数列求和公式判断D. 【详解】对于A：对于，令，得，代入，解得，故A正确； 对于C：将两边同除以，得，且，因此是以为首项，为公差的等差数列，故，故C正确； 对于B：由C可知，，故，其前项和，故B错误； 对于D：由B可知，，其前项积，故D正确. 三、填空题 8．（26-27高一上·陕西·开学考试）将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数记为，取后续两数和为，再取后续三数和为，如此继续，得到数列：，，，…，即，，，…，则该数列的前项之和为______． 【答案】44100 【分析】利用等差数列求和公式计算前20组总数据个数，求出正奇数数列求和公式，代入得解. 【详解】前20组的数字总个数为等差数列求和：， 即前20组一共包含210个连续的正奇数， 全体正奇数构成数列：，通项公式为 （）， 前个正奇数的和：， 即， 因为前20组共包含210个正奇数，即， 则. 9．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为________． 【答案】 【分析】由题设可确定“友好点”的变化周期为4，再列方程可得答案. 【详解】由题设，则， . 则“友好点”的变化周期为4，因，则与相同， ，从而. 四、解答题 10．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 11．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：（1）由， 得， ，   又， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列. (2) 【分析】（1）根据与的递推关系，对递推式两边同乘，推导与的差为常数，再验证首项符合等差数列定义即可； （2）根据（1）得到，进而得到，解法一：根据错位相减法求解；解法二：设，可得，再裂项相消求和即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知数列首项，公差为1， 故 ，．    记的前项和为. 解法一： ①， ①两边同乘以得： ② ， 可得    得   解法二：设 则       . 12．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【详解】（1）令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. （3）由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 14．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： (2)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1) 证明：由，则，即， 又，所以数列是首项、公差均为的等差数列， 所以，所以. (2) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）先根据错位相减法求得，再将问题化为恒成立，最后结合作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）略 （2）解：由， 则， 所以， 所以. 因为对任意恒成立． 所以，整理得对任意恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项 (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，分别求得，，进而得到数列和的通项公式； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，设，结合，得出数列的单调性，求得数列的最小值，进而得到答案. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为， 可得，解得， 所以， 则， 因为是和的等比中项，可得，即，所以， 设等比数列的公比为，则，可得，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得， 则，可得， 两式相减，得 ， 所以，即数列的前项和为. （3）解：由（2）知： 因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，可得， 当时，，即； 当时，，即， 所以，所以数列的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 复习要点 1.数列的概念及其表示 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列通项公式和前n项和公式 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式和前n项和公式 4.掌握等差数列，等比数列性质 复习重难点 重点： 1.等差数列通项公式、前n项和公式 2.等差数列角标和性质，前n项和性质 3.等比数列通项公式、前n项和公式 4.等比数列角标和性质，前n项和性质 难点： 1.等差数列的判断与证明 2.等比数列的判断与证明 3.由数列的前n项和，求通项 4.累加法、累乘法求通项 5.裂项相消法，错位相减法求和 知识点 数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有 （或者 ），则称数列为递增数列（递减数列）； 要点速测 1．（24-25高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 2．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 知识点数列前n项和 1、数列前n项和 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 要点速测 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列的前n项和公式为 ，则数列{}的通项公式为____________． 知识点等差数列 1、等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . ①等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. ②等差数列的通项公式可以推广为 ,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 2、等差数列的四种判断方法 ①定义法 （或者 ）(是常数)是等差数列． ②等差中项法： ()是等差数列． ③通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） ④前项和公式： (为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 3、等差数列的性质 ① ②若，则 （特别的，当，有 ） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 要点速测 1．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 知识点等差数列前n项和 1、等差数列的前项和公式 ①首项为，末项为的等差数列的前项和公式 ②首项为，公差为的等差数列的前项和公式 2、等差数列前项和性质 ①若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 ②设等差数列的公差为,为其前项和,则 ， ， …组成公差为的等差数列 ③在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 ④若等差数列的项数为,则 ， 。 ⑤若等差数列的项数为,则，， ， 要点速测 1．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 知识点等比数列 1、等比数列通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式 .这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 2、等比数列的判断（证明） ①定义： （或者 ）（可判断，可证明） ②等比中项法：验证 （特别注意）（可判断，可证明） ③通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 3、等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． ①若，则 ，其中. 特别地，若，则 ，其中. ②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). ③若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 要点速测 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）在等比数列中，，，则公比（   ） A． B．3 C． D．9 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 知识点等比数列前n项和 1、等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 2、等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下三类: ①数列 ， ， ， ,…组成公比为（）的等比数列 ②当是偶数时, ;当是奇数时, ③ 要点速测 1．（25-26高二下·四川南充·期末）记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 2．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 3．（25-26高三下·江苏淮安·期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则__________. 题型1求数列的通项或项 ▌例1 （25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）已知数列，则下列说法正确的是（     ） A．此数列的通项公式是 B．是它的第项 C．此数列的通项公式是 D．是它的第项 解题要点 1.观察数列的规律寻找通项 2.特殊值法 ▌迁移练1-1（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． ▌迁移练1-2（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 题型2 数列最大（小）项 ▌例1 （25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌例2 （2026高二·全国·专题练习）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第_____项. 解题要点 1.求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项 2.求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项 ▌迁移练2-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 ▌迁移练2-2（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是_________________________． ▌迁移练2-3（辽宁省多校调研2025-2026学年高三上学期11月联考数学试题）数列的最大项的值为_____. 题型3等差数列的判断与证明 ▌例1 已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2 （26-27高二上·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 解题要点 1.定义法（或者）(是常数)是等差数列 2.等差中项法： ()是等差数列 3.通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） 4.前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） ▌迁移练3-1（24-25高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列，则（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是递减数列 ▌迁移练3-2（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． ▌迁移练3-3已知等差数列中，，． (1)求的值； (2)若数列满足：，证明：数列是等差数列． 题型4等差数列角标和性质 ▌例1 （25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（ ） A．6 B．13 C．7 D．42 解题要点 1. 若，则 2.特别的，当，有 ▌迁移练4-1（2026·河北沧州·三模）已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 ▌迁移练4-2（2026·贵州贵阳·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 ▌迁移练4-3（多选）（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 题型5 等差数列前n项和计算 ▌例1 （25-26高二下·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，求和； (2)已知，求． ▌例2 （24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 解题要点 1.首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2.首项为，公差为的等差数列的前项和公式 ▌迁移练5-1（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． ▌迁移练5-2（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求． ▌迁移练5-3（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 题型6等差数列片段和性质 ▌例1 （25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． ▌例2 （2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 解题要点 1.设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 ▌迁移练6-1（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-3（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 题型7两个等差数列前n项和比问题 ▌例1 （26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 ▌迁移练7-1（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 题型8等差数列前n项和最值问题 ▌例1 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． ▌例2 （25-26高二上·云南迪庆·期末）在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答． 问题：等差数列的公差为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和取得最小值时的值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解题要点 1.二次函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解 2.正、负项分界点法：或者 ▌迁移练8-1（2026·浙江宁波·三模）设数列的前项和为，当时满足． (1)求； (2)令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． ▌迁移练8-2（25-26高三上·宁夏吴忠·阶段检测）已知数列为等差数列，其前项和为，若. (1)求数列的前100项和的值. (2)设数列的前项和为，求的最小值. ▌迁移练8-3（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 题型9等比数列的判断与证明 ▌例1 （25-26高二下·上海奉贤·期末）若是以1为首项、以 为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（    ） A．是以 为首项、以为公比的等比数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以 为首项、以为公比的等比数列 ▌例2 （25-26高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 解题要点 1.定义：（或者）（可判断，可证明） 2.等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3.通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） ▌迁移练9-1（多选）（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列的首项为1，且满足，则（   ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 ▌迁移练9-2（25-26高二上·云南·期末）记数列的前项和为，已知．证明：数列为等比数列； ▌迁移练9-3已知数列的前项和为，，其中为常数. (1)求证：； (2)是否存在实数使得数列为等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型10等比数列角标和性质 ▌例1 （25-26高二下·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二上·安徽六安·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．6 B． C．12 D． 解题要点 1.若，则，其中. 2.若，则，其中 ▌迁移练10-1（25-26高二下·河南驻马店·期中）在等比数列中，，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 ▌迁移练10-2（25-26高二下·河南南阳·期中）在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． ▌迁移练10-3（2026·安徽合肥·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 题型11等比数列前n项和 ▌例1 （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． ▌例2 （24-25高二·全国·课堂例题）在等比数列中： (1)若，且，求； (2)若，求和公比q． 解题要点 1.等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 ▌迁移练11-1（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． ▌迁移练11-2（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． ▌迁移练11-3（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列． (1)若，，求的值； (2)若，，求和的值． 题型12等比数列片段和性质 ▌例1 （26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． ▌例2 （25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 解题要点 1.公比为的等比数列的前项和为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 ▌迁移练12-1（25-26高二下·陕西汉中·期中）设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. ▌迁移练12-2（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. ▌迁移练12-3（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 题型13等比数列奇偶项和的性质 ▌例1 （25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. ▌例2 （25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 解题要点 1.公比为的等比数列的前项和为，当是偶数时, ;当是奇数时, ▌迁移练13-1（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． ▌迁移练13-2（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. ▌迁移练13-3（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 题型14已知求 ▌例1 （25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. ▌例2 （25-26高二上·新疆喀什·期末）若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________． 解题要点 对于数列，前项和记为 ① ② ①-② ▌迁移练14-1（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知数列的前项和为，求的通项公式. ▌迁移练14-2（25-26高三·全国·一轮复习）已知正整数列的前n项和为，且对任意的自然数满足．求的通项公式． ▌迁移练14-3（25-26高三·全国·一轮复习）在正项数列中，为其前n项和，且，求通项公式． 题型15累加法求通项 ▌例1 （25-26高二上·天津红桥·阶段检测）数列中，，，则___________． ▌例2 （2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则___________； 解题要点 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法 具体步骤 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得 = 整理得： ▌迁移练15-1（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）已知数列满足，，则_____. ▌迁移练15-2已知数列满足，，则________. 题型16累乘法求通项 ▌例1 （23-24高三上·广东江门·阶段检测）数列中，，且，则等于__________. ▌例2 （23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则____________. 解题要点 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘 法 具体步骤 ，，， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得 整理得： ▌迁移练16-1（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. ▌迁移练16-2（5.3递推公式求数列通项公式（讲义））在数列中，，前项和，则数列的通项公式为______ ▌迁移练16-3（21-22高一下·宁夏石嘴山·期中）数列满足：，，则数列的通项________________. 题型17倒序相加法求和 ▌例1 （2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． ▌例2 （2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 解题要点 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 ▌迁移练17-1（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 ▌迁移练17-2（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. ▌迁移练17-3已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 题型18分组求和法 ▌例1 （26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． ▌例2 （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 解题要点 1.如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法 2.如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法 ▌迁移练18-1（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． ▌迁移练18-2（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． ▌迁移练18-3（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 题型19数列新定义问题 ▌例1 （26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练19-1（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． ▌迁移练19-2（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意，都有 ▌迁移练19-3（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 难点一 构造法求数列通项 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. 难点精练 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知数列中，，，则________． 难点二 通项含绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 难点精练 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 2．（24-25高二上·福建漳州·阶段检测）在等差数列中，，，则数列的前n项和为______． 3．（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）若等差数列的首项，，记，则______． 4．已知数列的通项公式为， 则_________． 5．在等差数列中，，，求数列的前n项和______ 难点三 裂项相消法求和 1、基本步骤 2、裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 4、常见裂项规律： （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） （2）无理型 ① 如： （3）指数型 ① 如： （4）通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 难点精练 1．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 3．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 4．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 5．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 难点四 错位相减法求和 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． ①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成. ②展开：---------------① ③乘公比：--------② ④错位相减：得. ⑤求和： 难点精练 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知数列的前n项和满足. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）设数列的前项和为，数列的通项公式为． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 3．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4.（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 5．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 难点五 数列不等式恒成立（能成立）问题 将数列不等式恒成立转化为数列的最值求解，结合参数分离法或分类讨论法，把参数与数列项分离，通过求数列的最大/最小值（或上/下确界）确定参数范围；核心依据：，恒成立；恒成立，核心是分离参数/定数列范围，求最值定参数边界。 方法1：参数分离法（首选，无分类讨论更简洁） 方法2：分类讨论法（适用于参数无法分离的情况） 难点精练 1．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 2．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 3．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高二下·湖北武汉·阶段检测）数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 4．（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 5．（25-26高二下·北京昌平·期末）在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 二、多选题 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 8．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列满足，则下列结论正确的有（   ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 三、填空题 9．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 10．（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的通项公式为，当取最小值时，________． 四、解答题 11．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 12．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 13．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 14．（26-27高三上·湖南·阶段检测）在等差数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)记，证明：. 能力进阶 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）“冰雹猜想”数列满足：，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（26-27高三上·河北·开学考试）已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则（    ） A．18 B．30 C．32 D．36 二、多选题 5．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 6．（25-26高二下·河南·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的有（   ） A．数列是递减的等差数列 B． C．，，成等比数列 D．当或4时，取得最大值 7．（25-26高二下·辽宁·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（   ） A． B．数列的前n项和 C．数列是等差数列 D．数列的前n项积 三、填空题 8．（26-27高一上·陕西·开学考试）将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数记为，取后续两数和为，再取后续三数和为，如此继续，得到数列：，，，…，即，，，…，则该数列的前项之和为______． 9．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为________． 四、解答题 10．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 11．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知数列中，，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 12．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 14．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： (2)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项 (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $