专题4.3.2 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.3.2 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 3 【题型3 等比数列前n项和的性质】 5 【题型4 求等比数列的前n项和】 7 【题型5 等比数列前n项和的最值】 9 【题型6 等比数列的简单应用】 12 【题型7 等比数列与不等式综合】 13 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 15 考点1 等比数列的前n项和公式 知识点1 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由等比数列求和公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】当时，， 则由题意知且，则， 解得． 故选：C． 【变式1-1】（25-26高二上·河南许昌·期末）已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列通项公式及前项和公式列出方程求解. 【解答过程】依题意，，， 由，得，整理得，则， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·河北衡水·期末）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】设公比为，首先判断，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可. 【解答过程】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）记为等比数列的前n项和，已知，，则的公比为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，将题中两式作差，再结合，即可求出与的关系，从而求得公比. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由有：， 所以，所以， 故选：A. 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 【变式2-1】（2026·四川·一模）已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件求得等比数列的公比，从而求得. 【解答过程】设数列的公比为， 由，得，解得，（舍去）， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【解题思路】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 【变式2-3】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【解答过程】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（       ） A．49 B．56 C．105 D．112 【答案】A 【解题思路】利用等比数列前项和连续等长片段的和仍为等比数列的性质，结合等比中项公式求解. 【解答过程】由等比数列的性质可知，成等比数列. 已知，，因此，即为等比数列. 根据等比中项性质可得：，代入数值得， 计算得，解得. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【解答过程】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【解答过程】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 【变式4-1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项的性质，根据基本量法求解得进而可得通项公式及前项和； （2）由（1）可得，进而可得数列前项和. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为，且各项均为正数， 所以，即， 因为各项均为正数，解得， 所以，则. （2）由题可知，是等差数列，， 则数列前项和. 【变式4-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知首项为的数列的前项和为，且. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用已知结合递推关系式求解； （2）利用已知结合递推关系式构造等比数列，进而求出的通项公式； （3）由等比数列的求和公式即可求解. 【解答过程】（1），， ，，，，． （2），，又 ， 数列 是首项为，公比为的等比数列，即， ． （3）由（2）可得： . 【题型5 等比数列前n项和的最值】 【例5】（25-26高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【解答过程】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【解题思路】由，可得或，然后逐项讨论. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或. 当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误； 又，且， ①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值； 综上所述，有最小值，C错误，D正确． 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二下·北京延庆·期中）设是公比为的无穷等比数列，前项和为.若，则“”是“存在最小值”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】分析得到前提下，，，和四种情况下的的相关结论，从而求出答案. 【解答过程】若，，则，此时随着的增大，减小，不存在最小值， 若，，则，当为奇数时，为偶数，， 当为偶数时，为奇数，，且，即， ，， 所以，， 故存在最小值，最小值即为， 若，，则，当为奇数时，为偶数，， 当为偶数时，为奇数，， 故当为奇数时，，当为奇数时，，所以存在最小值，最小值为； 若，，则， 当为奇数且随着的增大，减小，故不存在最小值； 显然“”推不出“存在最小值”，但“存在最小值”可以推出“”， 则“”是“存在最小值”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式5-3】（2026·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【解题思路】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【解答过程】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D. 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（25-26高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【解答过程】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】由题意，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比． 则该热气球在前3分钟里上升的总高度． 故选：C． 【变式6-2】（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 【变式6-3】（26-27高二上·河南·阶段检测）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【解题思路】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：A. 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【答案】C 【解题思路】首先求出，即可求出通项公式及，依题意可得恒成立，参变分离可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】由，解得， 所以， 故由，可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故，所以实数的最大值为. 故选：C． 【变式7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式与求和公式求出，，由题意可得恒成立，运用基本不等式求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，即，解得， 所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故选：. 【变式7-2】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题写出，参变分离后，运用基本不等式即可得解. 【解答过程】由题可知，.由可得， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故选：C. 【变式7-3】（2026·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知及等比数列通项公式、前n项和公式求基本量，再应用基本不等式求的最小值，由不等式恒成立并解一元二次不等式求参数范围. 【解答过程】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 故选：A. 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（25-26高二上·天津·期末）已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到． 【解答过程】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得：， 解得：，或（舍去）， 则， 故选：B． 【变式8-1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，分析可知，由已知条件求出的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于． (1)求数列的前n项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式列方程求出首项和公比，然后利用求和公式求和即可； （2）先利用，求出，然后构造关于数列的常数数列求解即可. 【解答过程】（1）由已知①， 又，即② 由①②得， 所以， 所以； （2）因为数列的前n项和等于， 所以当时，， 所以， 又，即，符合， 所以当时，， 即， 所以数列为常数数列， 所以， 则. 【变式8-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列和的通项公式; (2)设数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等差数列求和公式求出，进而求出公差及通项；再求出数列的首项及公比，进而求出其通项. （2）由（1）求出，再由等差数列求和公式、等比数列求和公式，进行求和即得. 【解答过程】（1）在等差数列中，，即， 又，则，等差数列的公差， 因此等差数列的通项公式为； 由是和的等差中项，得，由， 得，则，等比数列的公比， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.2 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 2 【题型3 等比数列前n项和的性质】 3 【题型4 求等比数列的前n项和】 3 【题型5 等比数列前n项和的最值】 4 【题型6 等比数列的简单应用】 5 【题型7 等比数列与不等式综合】 5 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 6 考点1 等比数列的前n项和公式 知识点1 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河南许昌·期末）已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（25-26高三上·河北衡水·期末）记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【变式1-3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）记为等比数列的前n项和，已知，，则的公比为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·四川·一模）已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【变式2-3】（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（       ） A．49 B．56 C．105 D．112 【变式3-1】（25-26高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 【变式4-3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知首项为的数列的前项和为，且. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)求. 【题型5 等比数列前n项和的最值】 【例5】（25-26高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【变式5-2】（25-26高二下·北京延庆·期中）设是公比为的无穷等比数列，前项和为.若，则“”是“存在最小值”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（2026·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（25-26高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知一个热气球在第一分钟上升了的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它前一分钟上升高度的60%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式6-3】（26-27高二上·河南·阶段检测）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【变式7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·甘肃定西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（25-26高二上·天津·期末）已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于． (1)求数列的前n项和； (2)求数列的通项公式． 【变式8-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列和的通项公式; (2)设数列，求数列的前n项和. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $