专题4.3.2 等比数列的前n项和公式（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.3.2 等比数列的前n项和公式 教学目标 1、掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 2、会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。 3、能处理与等比数列相关的综合问题。 教学重难点 1.重点 能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系. 2.难点 用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01 等比数列的前项和公式 等比数列的前项和公式 （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或．即 ①_____________是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意_____________，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 2．正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 知识点02 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成_____________的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群_____________． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的_____________． 【即学即练】 1．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （    ） A．， B． C． D． 2．已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 知识点03 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则_____________． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为_____________． 【即学即练】 1．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 2．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 题型01 等比数列前项和的有关计算 【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【变式2】已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【变式3】已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 题型02 等比数列前项和的性质 【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式1】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 题型03 等比数列中与的关系 【典例1】记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．　　 【变式1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【变式2】已知是数列的前n项和，且． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前n项和． 【变式3】记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 题型04 等比数列前n项和公式的实际应用 【典例1】某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 解答数列应用题的步骤 （1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意． （2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征． （3）求解——求出该问题的数学解． （4）还原——将所求结果还原到实际问题中． 【变式1】某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 题型05 等比数列片段和的性质 【典例1】关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【变式1】已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【变式2】设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【变式3】已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 题型06 等比数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式1】已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【变式2】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 题型07 利用错位相减法求数列的前项和 【典例1】已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式1】已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【变式2】已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】在数列中，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 1．已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 2．已知在数列中，，， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 3．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．是等比数列 4．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前项和，则 5．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 7．记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 8．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”． 现有下列两个命题： （1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”； （2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 则下列说法正确的是（   ） A．（1）是真命题，（2）是假命题 B．（1）是假命题，（2）是真命题 C．（1）（2）都是真命题 D．（1）（2）都是假命题 9．已知等比数列的前项和为，若，则公比 . 10．已知，均为等比数列，且，. (1)求，的通项公式. (2)证明：为定值. (3)求数列的前2n项和. 11．数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． ，数列 单调递减 C． ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D．若 12．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． (1)若，求； (2)若，且数列为递增数列，求． 13．记为数列的前项和，若，则 ． 14．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则 ． 15．等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.2 等比数列的前n项和公式 教学目标 1、掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 2、会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。 3、能处理与等比数列相关的综合问题。 教学重难点 1.重点 能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系. 2.难点 用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01 等比数列的前项和公式 等比数列的前项和公式 （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或．即 ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过已知的表达式，利用的关系推导出数列的通项公式； （2）根据等比数列的性质求出的表达式，进而得到的表达式，最后求出数列的前项和. 【详解】（1）中令， 得，所以， 因为， 整理得， 当时，， 所以时，是常数列，且， 所以， 又也满足上式， 所以. （2）因为成等比数列，且，， 所以该数列的第项为， 因为是数列的第项， 所以， 所以， 所以. 2．正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 知识点02 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【即学即练】 1．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （    ） A．， B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列求和公式得到，再结合的单调性即可求解. 【详解】由， 由等比数列求和公式可得， 当为奇数时，， 又， 所以时，得最大值 当为偶数时，， 又， 所以时，得最小值 由函数，在单调递增， 所以当时，取得最大值， 所以当时，取得最小值， 故选：A 2．已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列的前项和公式可得，可得为递增数列，由即可求解. 【详解】（1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 知识点03 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练】 1．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 2．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 题型01 等比数列前项和的有关计算 【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 【答案】 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【详解】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：. 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以， 所以，，数列是公比为的等比数列， 因为，所以，， 所以. 故选：D 【变式2】已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【答案】ACD 【分析】本题可根据等比数列的通项公式及前项和公式，结合等差数列的性质来逐一分析选项. 【详解】选项A：设等比数列的公比为（）， 由成等差数列，则，即， 因为，所以. 令，方程变为，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确； 选项B：若，则，故选项B错误； 选项C：等比数列前项和公式为且， ，， 因为，， 所以，故成等差数列，选项C正确； 选项D：若，由得. 等比数列的项为： ，，， …… 可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小， 即，因此数列的最大项为，故选项D正确. 故选：ACD 【变式3】已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 题型02 等比数列前项和的性质 【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式1】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 【变式3】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 题型03 等比数列中与的关系 【典例1】记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【详解】（1）令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2），， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数．　　 【变式1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 【变式2】已知是数列的前n项和，且． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）利用退位相减法可求通项（注意检验首项），利用公式法可求； （2）利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有，也符合上式， 所以，而，故是首项为2，公比4的等比数列， 故. （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 【变式3】记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 题型04 等比数列前n项和公式的实际应用 【典例1】某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 解答数列应用题的步骤 （1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意． （2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征． （3）求解——求出该问题的数学解． （4）还原——将所求结果还原到实际问题中． 【变式1】某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析 【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值即可； （2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解即可. 【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 【变式3】在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 题型05 等比数列片段和的性质 【典例1】关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【变式1】已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 【变式2】设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 【变式3】已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 题型06 等比数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）由题意可知数列所有奇数项仍成等比数列，数列所有偶数项也成等比数列，根据等比数列的前项和公式表示出数列前个奇数项的和与数列前个偶数项的和，并分别求出当时它们的值，即为数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； （2）根据所给递推公式求得数列的公比，代入，可求得的值； （3）分类讨论的取值情况，可得到 . 【详解】（1）等比数列首项为a，公比为r，若＜1 数列前个奇数项的和为 若＜1，则由，得，所以当时，. 所以数列所有奇数项的和为. 等比数列首项为b，公比为s.， 所以数列前个偶数项的和为 若，则由，得，所以当时，. 所以数列所有偶数项的和为. （2）若数列满足，则. 由，得，解得. （3）由题可知，. 所以. 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式1】已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 【变式2】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【变式3】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 题型07 利用错位相减法求数列的前项和 【典例1】已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式1】已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式； （2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可. 【详解】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 【变式2】已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证； （2）利用错位相减法求解可得； （3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列. （2）又（1）可得，， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以 （3）由（1）可得，， 所以，即， 记， 因为， 所以时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式3】在数列中，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由化简可得，再利用等比数列定义即可得证； （2）利用等比数列通项公式可得，再借助裂项相消法计算即可得解. 【详解】（1）由，则， 则，故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 则，即， 则 . 1．已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求得，进而求出通项公式； （2）由题目递推式得，则有，因此数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可． 【详解】（1）因为数列是等比数列，设公比为， 所以， 所以，所以； （2）因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 则． 2．已知在数列中，，， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）通过.即可求解. 【详解】（1）令，可得，又， 所以， 令，可得，又， 所以； （2） ，， 当时，符合， 所以 3．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据已知条件结合等比数列的性质，求出的公比和首项，再利用等比数列的通项公式及前项和公式逐一分析判断各选项． 【详解】是递增的等比数列，设首项为，公比为， ，化简变形得：，解得或（数列递增，舍去）， ，故A正确； ，，，故B错误； ，，故C正确； ， ， 是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：． 4．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．若，，则 C．若，则数列是递增数列 D．若数列的前项和，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， ，且，则是等比数列，故A正确； 由，，得，即，所以，故B错误； 由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确； 显然，则，而，因此，，，故D正确. 故选：ACD. 5．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【详解】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故选：D 6．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果； （2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 7．记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此， 所以数列的前项和. 8．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”． 现有下列两个命题： （1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”； （2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 则下列说法正确的是（   ） A．（1）是真命题，（2）是假命题 B．（1）是假命题，（2）是真命题 C．（1）（2）都是真命题 D．（1）（2）都是假命题 【答案】B 【分析】根据等差数列的函数性质，即可求解（1）的真假，举例子即可求解（2）的真假. 【详解】若等差数列不是常数列，由题意可得公差，则可看成关于的一次函数，可看成关于的二次函数，即，， 由得， 当足够大时，不成立，故命题（1）不成立； 若等差数列是常数列，设，则，显然当时，此时，故命题（1）不成立； 综上可知，对任意的等差数列，命题（1）是假命题； 取等比数列，则 ， 若对任意的正整数，均存在正整数,不妨取，使得， 则对任意的正整数，不妨取，， 因此既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 故命题（2）正确. 故选：B. 9．已知等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【分析】利用等比数列基本量进行计算. 【详解】由可得， 因为，所以，即，解得. 故答案为：. 10．已知，均为等比数列，且，. (1)求，的通项公式. (2)证明：为定值. (3)求数列的前2n项和. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求得等比数列，的公比，进而求得通项公式. （2）通过计算证明为定值. （3）利用分组求和法求得. 【详解】（1）依题意可得的公比为，首项， 的公比为，首项， 所以，. （2）因为，，所以为定值. （3） . 11．数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． ，数列 单调递减 C． ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D．若 【答案】ABD 【分析】对于A，即可判断；对于B，作差计算即可判断；对于C，假设等差数列得出或即可分类判断，先化简再结合等比数列求和计算即可判断 D. 【详解】对于A，， 又 ，所以，A正确； 对于B，时，有， 所以，数列 单调递减，B正确； 对于C，因为，， 若数列 为公差不为 0 的等差数列，则，所以或； 当时公差为0，不合题意； 当时公差为3，， 不符合，舍去， 所以不存在 ，使得数列为公差不为0的等差数列，C错误； 对于D：由于，故， 所以， 所以， ， 故 ，D正确. 故选：ABD. 12．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． (1)若，求； (2)若，且数列为递增数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量的运算和等比数列通项公式基本量的运算列式求解公比，然后代入等比数列求和公式求解即可； （2）根据等比数列前n项和概念和等比数列通项公式基本量的运算求得公比，然后代入等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1），①， 又，②， 由①②得：或（舍去）， 又，； （2）， ，或， 又数列为递增数列，， 代入得， 又，. 13．记为数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到数列是以，公比为的等比数列，再求即可. 【详解】当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 14．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则 ． 【答案】 【分析】根据已知有，结合等比数列的前n项和及通项公式得求公比，再由确定最终值. 【详解】由题设易知，， 即， 所以，解得或， 因为，所以，所以. 故答案为：2 15．等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 【答案】ABD 【分析】根据等比数列前项和公式，结合求出公比及通项，再逐项求解判断. 【详解】由等比数列的前项和，得， ， 对于A，等比数列的公比，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，， 当或时，取得最小值 又函数单调递增，因此当或时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $