四川省成都市树德中学2026-2027学年高一上学期数学素养训练（四）

成都树德中学高2026级高一上期数学素养训练（四） 时间：60分钟 班级：_________ 姓名：__________ 一、选择题：本题共5小题，每小题 5 分，共25 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．， D．， 2．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．设，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（　　） A． B．, C．, D．, 5．已知函数，，若对,，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　 　） A．, B．, C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 6．下列说法正确的是（　　） A．函数的零点是，2 B．若定义在,上的函数满足(2)(1)，则为增函数 C．函数的定义域为，则 D．已知函数，则值为 7．下列命题中错误的有（　　） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C．的最小值是2 D．若，则的最小值为 8．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．对于函数，以下说法正确的是（　　） A． B．， C．不等式的解集为 D．满足方程的的取值范围是 三．填空题：共3小题，满分15分，每小题5分. 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为　 　． 10．若，，且，则的值等于　 　． 11．已知，，且，若存在，，使成立，则实数的取值范围为　 　． 四．解答题（共3小题，满分42分） 12．（12分）已知函数，,． （1）证明：是增函数； （2）若，求实数的取值范围． 13．（15分）对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不等的正不动点与，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 14．（15分）定义区间、,、,、,的长度均为，其中． （1）设，，若区间的长度为4，求实数的取值范围； （2）不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数的范围； （3）已知函数的定义域为,，其中,，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 成都树德中学高2026级高一上期数学素养训练（四）答案 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1 2 3 4 5 B A D D B 5．B 【解答】如图，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且； 因为,，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当单调递减；当单调递增，显然(1)满足条件， 故有，即，解得； 且有，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 6 7 8 AD ACD ACD 8. ACD 【解答】对于选项，，故选项正确； 对于选项，假设，使得，则， 若，则，所以； 若，则，所以； 所以不存在，使得，故选项错误； 对于选项， 当时，，所以，所以，即； 当时，，所以，； 当时，，所以，所以，； 当时，，所以，即； 综上所述：不等式的解集为，故选项正确； 对于选项，当时，，所以，所以不成立； 当时，，所以，所以不成立； 当时，，所以， 因为，所以需要，所以； 当时，，所以， 因为，所以不成立； 综上所述：满足方程的的取值范围为，故选项正确． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 9． 10． 11． 11.【解答】，， 且， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15， 由解得或． 四．解答题（共3小题，满分42分） 12．（12分）（1）证明：任取，且,,， 则 ， 又，且,,， 则；， ，，， 得到，即， 所以函数在区间,上是增函数． （2）因为函数是定义在区间,上的增函数， 由， 得到， 所以实数的取值范围为，，． 13．（1）令，则，即， 解得或，所以二次函数的不动点为和3． （2）令，整理得． 由题意得：，解得． ， 令，则代入得， 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为5． （3）令，整理得， 由题意得，对任意，△恒成立， 即对任意恒成立， 即有，即，解得． 又，故，所以的取值范围是,． 14．（1）由题意知，（等号不能同时成立）， 而， 若区间的长度为4，则，解得， 所以的取值范围为,． （2）由，解得，所以该不等式的解集为,，长度为6， 因为各区间的长度和等于6， 所以不等式在,上恒成立， 设的解集为,，则,，， 所以，解得， 故的取值范围为,． （3），开口向上，对称轴为，顶点坐标为,， ①要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在,上单调递增， 所以，解得， 所以，且，即，为方程的两根， 所以， 所以，即， 故的最大值为， ②要使最小，则,应在对称轴的同侧， 不妨设，在抛物线对称轴右侧，即，此时，得， 由，解得， 由，解得， ，当且仅当，即时，等号成立， 又，故等号取不到，所以， 同理，当时，可得， 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $