第6讲 幂函数与函数的应用（一）专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五讲 幂函数与函数的应用（一）—专题练习 【知识点梳理】 幂函数 知识点一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二、幂函数的图像和性质 1.五个具体函数的图像：在同一平面直角坐标系内函数（1）y＝x；（2）y＝；（3）y＝ x2；（4）y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 2.图像特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象必过点(1,1)，且一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限. （2）在第一象限内，直线x=1右侧部分的图像，由下向上幂函数的指数越来越大. （3）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0），并且在区间[0，＋∞)上单调递增. （4）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减.图像以x，y轴为渐近线，在第一象限 内，图像向上与y轴无限接近，向右无限与x轴接近. 3.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上为增函数 在(－∞，0]上为减函数 增函数 增函数 在(0，＋∞)上为减函数在(－∞，0)上为减函数 定点 均过定点（0,0），（1,1） 过点（1,1） 知识点三、一般幂函数的图像和性质 1.定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α值有关. 2.定点 （1）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0）和（1,1）. （2）当α<0时，幂函数的图象通过点（1,1）. 3.单调性 （1）当α>0时，幂函数在[0，+∞）上单调递增. （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减. 4.幂函数在第一象限的图像特征 （1）当0<α<1时，第一象限的图像上凸，当α>1时，在第一象限的图像上下凸. （2）当α<0时，在第一象限的图像都下凸. 函数的应用（一） 知识点一、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 知识点二、利用函数模型解决实际问题 1.解答函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型. （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立 相应的数学模型. （3）求模：求解数学模型，得出数学结论 （4）还原：将数学问题还原为实际问题. 2.确定函数解析式的基本方法 （1）待定系数法：若已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模 型，可用待定系数法求出函数解析式. （2）归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广 到一般情形，从而得到函数的解析式. 【专题练习】 考点一：幂函数 1.幂函数的概念以及定义域和值域 例1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 例2.函数f(x)=x-4的定义域为 ，值域为 . 随堂练习： 1.已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，则f（2）＝　　 ． 2.下列函数是幂函数的有 . ①y=3x2；②y=x2+1；③；④. 3.函数的定义域为 ，值域为 . 4.已知f（x）＝（m+1）xm+2是幂函数，则m＝　　 ． 5.解答下列问题： （1）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （2）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （3）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （4）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 . 6.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 7.已知，若该函数为幂函数，求其解析式，并求出其定义域. 8.已知函数，m为何值时，函数f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数. 2.幂函数的图像及其应用 例1.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，（1）f(x)>g(x)；（2）f(x)＝g(x)；（3）f(x)<g(x). 例2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 随堂练习： 1.幂函数的图象如图所示，则m的值为（　　） A.﹣1＜m＜3 B.0 C.1 D.2 2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 3.不论α取何值，函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点A，则点A的坐标为（　　） A.（1，3） B.（2，3） C.（2，1） D.（0，3） 4.幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在R上单调递增，则函数g（x）＝bx+a+1（b＞1）的图 象过定点（　　） A.（1，1） B.（1，2） C.（﹣3，1） D.（﹣3，2） 5.函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的大致图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 6.已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则（　　） A.m＞n＞p B.m＞p＞n C.n＞p＞m D.p＞n＞m 3.幂函数的单调性及其应用 例1.比较下列各组数中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 例2.已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z. （1）求m； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围. 随堂练习： 1.（多选）以下比较大小的结论中正确的是（　　） A.1.72.5＜1.73 B.0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2 C.1.50.4＜0.82 D. 2.（多选）下列判断正确的有（　　） A. B.20.3＜20.5 C. D.0.70.8＜0.70.7 3.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列结论正确的是（　　） A. B.f（x）是偶函数 C.f（x）在（0，+∞）上单调递增 D.不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 4.已知函数f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<< B.<<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<< D.<f(a)<<f(b) 5.幂函数在（0，+∞）单调递减，则a＝（　　） A. B. C.3 D.﹣3 6.（多选）下列大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 7.已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A.0或1 B.﹣1或1 C.1 D.0 8.比较下列各组数的大小. （1）与； （2）与. 9.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围. 考点二：函数的应用（一） 1.一次函数模型的应用 例1.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； （2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 随堂练习： 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如 表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A．17m3 B．18m3 C．19m3 D．20m3 3.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明； (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 4.某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 5.刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标 准如表： 网络 月租 本地话费 长途话费 甲：联通 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 乙：移动 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． （1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； （2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的入网方式． 2.二次函数模型的应用 例1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 随堂练习： 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A．10元 B．11元 C．13元 D．15元 2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和 的最小值是（　　） A．cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2 3.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为 元． 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边 角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y应为（　　） A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 5.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少． 6.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为 元． 7.据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． （1）写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； （2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 8.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均 不计利息）． 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用如图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元． （1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 3.分段函数模型的应用 例1.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝，且t∈N*， （1）求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式； （2）求该商场日收益的最小值(千元)． 随堂练习： 1.某游乐场每天的的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算， 计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 3.某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如 图，每月各种开支2000元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系． （2）该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值． 4.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． （1）把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； （2）求当t＝5小时时汽车离A地的距离． 5.某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市 场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）＝5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品 的售出数量（百台）． （1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数； （2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？ 4.“对勾”函数模型的应用 例1.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7 万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x） 万元，且R（x）． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本） 随堂练习： 1.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新 手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机， 需另投入成本R（x）万元，且R（x）由市场调研知，每 部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求出2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 2.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了 新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示 为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 3.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年 产量不足80千件时，C（x）（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝ 51x（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品 能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 幂函数与函数的应用（一）—专题练习 【知识点梳理】 幂函数 知识点一、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二、幂函数的图像和性质 1.五个具体函数的图像：在同一平面直角坐标系内函数（1）y＝x；（2）y＝；（3）y＝ x2；（4）y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图. 2.图像特征 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象必过点(1,1)，且一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限. （2）在第一象限内，直线x=1右侧部分的图像，由下向上幂函数的指数越来越大. （3）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0），并且在区间[0，＋∞)上单调递增. （4）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减.图像以x，y轴为渐近线，在第一象限 内，图像向上与y轴无限接近，向右无限与x轴接近. 3.五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上为增函数 在(－∞，0]上为减函数 增函数 增函数 在(0，＋∞)上为减函数在(－∞，0)上为减函数 定点 均过定点（0,0），（1,1） 过点（1,1） 知识点三、一般幂函数的图像和性质 1.定义域：在（0，＋∞）上都有定义，定义域与α值有关. 2.定点 （1）当α>0时，幂函数的图象通过点（0,0）和（1,1）. （2）当α<0时，幂函数的图象通过点（1,1）. 3.单调性 （1）当α>0时，幂函数在[0，+∞）上单调递增. （2）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减. 4.幂函数在第一象限的图像特征 （1）当0<α<1时，第一象限的图像上凸，当α>1时，在第一象限的图像上下凸. （2）当α<0时，在第一象限的图像都下凸. 函数的应用（一） 知识点一、几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 知识点二、利用函数模型解决实际问题 1.解答函数应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型. （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立 相应的数学模型. （3）求模：求解数学模型，得出数学结论 （4）还原：将数学问题还原为实际问题. 2.确定函数解析式的基本方法 （1）待定系数法：若已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模 型，可用待定系数法求出函数解析式. （2）归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出对应的函数值，从中发现规律，再推广 到一般情形，从而得到函数的解析式. 【专题练习】 考点一：幂函数 1.幂函数的概念以及定义域和值域 例1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解：∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.故选：B. 例2.函数f(x)=x-4的定义域为 ，值域为 . 解：f(x)=x-4=，则x4≠0，即x≠0，故f(x)=x-4的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 由于x≠0，则，故值域为（0，＋∞）. 故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；（0，＋∞）. 随堂练习： 1.已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，则f（2）＝　　 ． 解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故f（2）＝8． 故答案为：8． 2.下列函数是幂函数的有 . ①y=3x2；②y=x2+1；③；④. 解：①中系数为3，故不是幂函数；②中y=x2+1不是y＝xα的形式，故不是幂函数；③中是幂函数；④中是幂函数.故答案为：③④. 3.函数的定义域为 ，值域为 . 解：因为，所以函数的定义为（0，＋∞），由x>0，可得，所以函数的值域为（0，＋∞）.故答案为：（0，＋∞）；（0，＋∞）. 4.已知f（x）＝（m+1）xm+2是幂函数，则m＝　　 ． 解：因为f（x）＝（m+1）xm+2是幂函数，所以m+1＝1，解得m＝0． 故答案为：0． 5.解答下列问题： （1）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （2）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （3）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 ； （4）函数y＝的定义域是　　 ，值域是　　 . 解：（1）由题意可得，函数y＝的定义域R，值域[0，+∞）. （2）函数y＝的定义域{x|x≠0}，值域（0，+∞）. （3）函数y＝的定义域{x|x≥0}，值域[0，+∞）. （4）函数y＝的定义域{x|x＞0}，值域（0，+∞）. 6.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解：由题意得，解得：或，所以m＝－3或1，n＝. 7.已知，若该函数为幂函数，求其解析式，并求出其定义域. 解：由题意得，解得：m=2或m=-1. 当m=2时，解析式为y=x-3，则函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 当m=-1时，解析式为y=x0，则函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 8.已知函数，m为何值时，函数f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数. 解：（1）若函数f(x)为正比例函数，则，解得：m＝1. （2）若函数f(x)为反比例函数，则，解得：m＝－1. （3）若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 2.幂函数的图像及其应用 例1.若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，（1）f(x)>g(x)；（2）f(x)＝g(x)；（3）f(x)<g(x). 解：设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， （1）当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； （2）当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； （3）当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 例2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 解：在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝x，y＝1的图象， 在（0，1）内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”， 如图，知0＜m＜1，﹣1＜n＜0，故选：D. 随堂练习： 1.幂函数的图象如图所示，则m的值为（　　） A.﹣1＜m＜3 B.0 C.1 D.2 解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数. 则m2﹣2m﹣3＜0，即﹣1＜m＜3， ∵m∈Z，∴m＝0，或m＝1，或m＝2. 若m＝0，则y为奇函数，不满足条件. 若m＝1，则y为偶函数，满足条件. 若m＝2.则y为奇函数，不满足条件.∴m＝1.故选：C. 2.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为 （　　） A.﹣1＜m＜0＜n＜1 B.﹣1＜n＜0＜m C.﹣1＜m＜0＜n D.﹣1＜n＜0＜m＜1 解：在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝x，y＝1的图象， 在（0，1）内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”， 如图，知0＜m＜1，﹣1＜n＜0，故选：D. 3.不论α取何值，函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点A，则点A的坐标为（　　） A.（1，3） B.（2，3） C.（2，1） D.（0，3） 解：由幂函数y＝xα的图象恒过点（1，1），所以函数y＝（x﹣1）α的图象恒过点（2，1）， 所以函数y＝（x﹣1）α+2的图象恒过点（2，3）.故选：B. 4.幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在R上单调递增，则函数g（x）＝bx+a+1（b＞1）的图 象过定点（　　） A.（1，1） B.（1，2） C.（﹣3，1） D.（﹣3，2） 解：因为f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa为幂函数且在R上单调递增， 所以，解得a＝3，所以g（x）＝bx+a+1＝bx+3+1（b＞1）， 又因为指数函数y＝ax恒过定点（0，1），所以g（x）＝bx+3+1（b＞1）恒过定点（﹣3，2）. 故选：D. 5.函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的大致图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解：取x，则由图象可知（）a＜（）b＜（）c ∵01，相应的指数函数y＝（）x是减函数，∴c＜b＜a，故选：A. 6.已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则（　　） A.m＞n＞p B.m＞p＞n C.n＞p＞m D.p＞n＞m 解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴， 所以由图象可得：n＞p＞m，故选：C. 3.幂函数的单调性及其应用 例1.比较下列各组数中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与. 解：（1）∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又，∴. （2）∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又，∴. （3）∵函数y1＝在(0，＋∞)上单调递增，又>1，∴> ＝1. 又∵函数y2＝在(0，＋∞)上单调递增，且<1，∴＝1，∴. 例2.已知幂函数为偶函数，且f（2）＞f（3），m∈Z. （1）求m； （2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求a的取值范围. 解：（1）因为是幂函数且f（2）＞f（3），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减， 故m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4.又，则m＝1，2，3， 当m＝1时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足偶函数； 当m＝2时，f（x）＝x﹣4，是偶函数，满足； 当m＝3时，f（x）＝x﹣3，是奇函数，不满足.所以m＝2. （2）由（1）得f（x）＝x﹣4，其在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，且图象关于y轴对称， 由f（a+2）＜f（1﹣2a），可得0＜|1﹣2a|＜|a+2|， 平方得（1﹣2a）2＜（a+2）2，解得：或， 所以a的取值范围是. 随堂练习： 1.（多选）以下比较大小的结论中正确的是（　　） A.1.72.5＜1.73 B.0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2 C.1.50.4＜0.82 D. 解：对于A，由指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，得1.72.5＜1.73，选项A正确；对于B，由指数函数y＝0.8x在R上单调递减，且﹣0.1＞﹣0.2，得0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2，选项B正确； 对于C，由1.50.4＞1.50＝1，0.82＝0.64＜1，得1.50.4＞0.82，选项C错误； 对于D，由，，得，选项D错误. 故选：AB. 2.（多选）下列判断正确的有（　　） A. B.20.3＜20.5 C. D.0.70.8＜0.70.7 解：由函数y＝x﹣1在区间（﹣∞，0）上单调递减，可得，故A错误； 由函数y＝2x在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，可得20.3＜20.5，故B正确； 由函数y为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，可得，故C错误； 由函数y＝0.7x在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，可得0.70.8＜0.70.7，故D正确. 故选：BD. 3.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列结论正确的是（　　） A. B.f（x）是偶函数 C.f（x）在（0，+∞）上单调递增 D.不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）， 因为幂函数f（x）的图象经过点，所以2α，解得α＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，定义域为{x|x≠0}，所以f（﹣2）＝（﹣2）﹣2，故A错误； 因为f（﹣x）＝（﹣x）﹣2＝x﹣2＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故B正确； 因为y＝x2在（0，+∞）上单调递增，且x2＞0，所以f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，故C错误； 不等式f（x）＜1，即1，所以x2＞1，解得x＜﹣1或x＞1，即不等式f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故D正确.故选：BD. 4.已知函数f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<< B.<<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<< D.<f(a)<<f(b) 解：因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，又0<a<b<1<<，f(a)<f(b)<<. 故选：C. 5.幂函数在（0，+∞）单调递减，则a＝（　　） A. B. C.3 D.﹣3 解：由题意可得a2﹣8＝1，即a＝±3，又幂函数在（0，+∞）单调递减可得，即a＜0， 所以a＝﹣3.故选：D. 6.（多选）下列大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 解：对于A，因为y是定义域R上的减函数，且，所以，选项A正确； 对于B，根据幂函数y是定义域[0，+∞）上的单调增函数，得， 根据指数函数y是定义域R上的减函数，得，所以，选项B错误； 对于C，因为，且，所以，选项C正确； 对于D，因为幂函数y在（0，+∞）单调递减，且，所以，选项D错误. 故选：AC. 7.已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（　　） A.0或1 B.﹣1或1 C.1 D.0 解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x﹣2m+1在（0，+∞）上单调递减， 所以m2﹣m+1＝1且﹣2m+1＜0，解得m＝1或m＝0（舍）.故选：C. 8.比较下列各组数的大小. （1）与； （2）与. 解：（1）因为y在（0，+∞）上单调递增，所以，所以； （2），，因为，所以， 即. 9.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围. 解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为. 因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得<a<或a<－1. 故a的取值范围是. 考点二：函数的应用（一） 1.一次函数模型的应用 例1.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． （1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； （2）请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解：（1）由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)． （2）令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜． 随堂练习： 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 解：设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．故选：C. 2.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如 表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A．17m3 B．18m3 C．19m3 D．20m3 解：设用水量为xm3，水费为y元，当0≤x≤12时，y＝3x， 当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36， 当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90， ∵12＜x≤18，∴令6x﹣36＝66，解得x＝17，故此用户居民本月用水量为17m3． 故选：A． 3.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明； (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 解：设工厂生产x件产品时， 依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2， 则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000. 因为y1<y2，故应选择第2个方案处理污水． (2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元． 因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水． 4.某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 解：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸； 每月所获利润是y元， 则每月售出报纸共(20x＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400， 因为此一次函数的k＝1.6>0， 所以y是一个单调递增函数，再由250≤x≤400知， 当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元． 5.刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标 准如表： 网络 月租 本地话费 长途话费 甲：联通 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 乙：移动 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． （1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； （2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的入网方式． 解：（1）∵刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， ∴设刘先生每月通话时间为x分钟，使用甲种入网方式所需话费的函数f（x）及使用乙种入网方式所需话费的函数g（x）； 则他每月接打本地电话时间为x．接打长途x， 若选择甲种入网分式，则月租12元，本地话费0.3x＝0.25x，长途话费0.6x＝0.1x， 则f（x）＝12+0.25x+0.1x＝12+0.35x，（x＞0）． 若选择乙种入网分式，则月租0元，本地话费0.5xx，长途话费0.8xx， 则g（x）xx＝0.55x，（x＞0）． （2）f（x）﹣g（x）＝12+0.35x﹣0.55x＝12﹣0.2x， 当12﹣0.2x＞0时，即x＜60时，f（x）＞g（x），此时应选择乙方式入网，省钱， 当12﹣0.2x＜0时，即x＞60时，f（x）＜g（x），此时应选择甲方式入网，省钱， 当12﹣0.2x＝0时，即x＝60时，f（x）＝g（x），此时甲乙两种方式话费一样． 2.二次函数模型的应用 例1.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． （2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． （3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 随堂练习： 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A．10元 B．11元 C．13元 D．15元 解：设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145， 由x>0，Q＝100－5x≥0，得0<x≤20，故当x＝13时，每天获利最大．故选：C. 2.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和 的最小值是（　　） A．cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2 解：设两段长分别为xcm，（12﹣x）cm，则这两个正三角形面积之和为： S（）2（）2（x2﹣12x+72）[（x﹣6）2+36]≥2.故选：D． 3.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为 元． 解：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了(110－x)辆电动车，总利润S＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000 ＝－5(x－60)2＋33000(0≤x≤110)，所以当x＝60时，S取得最大值，且Smax＝33 000. 故答案为：33000. 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消耗，开源节流，现要从这些边 角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、 y应为（　　） A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解：由直角三角形相似得，得x•（24﹣y）， ∴矩形面积S＝xy（y﹣12）2+180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15．故选：A． 5.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少． 解：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27 ＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.故v＝35 km/h时，耗油量最少．故答案为：35. 6.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为 元． 解：根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0<x<13)(桶)， 则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0<x<13. 当x＝6.5时，y有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 故答案为：11.5. 7.据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． （1）写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； （2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解：（1）设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． （2）设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． 8.某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均 不计利息）． 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用如图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元． （1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 解：（1）由图可知：当40≤p≤58时，p、q的关系为：﹣2p+140＝q； 当p＝52时，q＝36．设此时该店的职工人数为m， 则：3600（52﹣40）＝600m+13200， 解得：m＝50，即该店的职工人数为50人． （2）由图可知：q，设该店月收入为S， ①当40≤p≤58时， S＝100（p﹣40）（﹣2p+140）﹣13200﹣600×40＝﹣200（p﹣55）2+7800， 即当p＝55时，最大月收入S1＝7800． ②当58＜p≤81时， S＝100（p﹣40）（﹣p+82）﹣13200﹣600×40＝﹣100（p﹣61）2+6900， 即当p＝61时，最大月收入S2＝6900． 由于S1＞S2，故当p＝55时，还清所有债务的时间t最短， 且t＝（26.8+20）×10000÷12S1＝5， 即当每件消费品的价格定为55元时，该店可在最短5年内还清债务． 3.分段函数模型的应用 例1.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝，且t∈N*， （1）求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式； （2）求该商场日收益的最小值(千元)． 解：（1）由题意w(t)＝f(t)·g(t)，且t∈N*， 则w(t)＝，且t∈N*， （2）当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500； 当7<t≤30时，w(t)单调递减，最小值在t＝30处取到，w(30)＝519－120＋＝. 由<500，可得w(t)的最小值为. 所以，该商场日收益的最小值为千元． 随堂练习： 1.某游乐场每天的的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门票时，盈利为 元；售出520张门票时，盈利为 元． 解：当x∈[0,400]时，设y＝k1x，函数图象过点(400,1 500)， 代入得1 500＝400k1，解得k1＝； 当x∈[400,600]时，设y＝k2x＋b，函数图象过点(400，1 500)，(600,1 750)， 代入得，解得.所以解析式为y＝. 将x＝320,520分别代入，得到y＝1 200,1 650.故答案为：1200；1650. 2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算， 计算公式为y＝，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 解：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意； 若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意， 故拟录用人数为25.故选：C. 3.某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如 图，每月各种开支2000元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系． （2）该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值． 解：（1）由题设知，当14≤x≤20时，设Q＝ax+b， 则，∴∴Q＝﹣2x+50， 同理得，当20＜x≤26时，Qx+40，所以； （2）由（1）得：Q， 当14≤P≤20时，（P﹣14）（﹣2P+50）×100﹣3600﹣2000≥0， 即P2﹣39P+378≤0，解得18≤P≤21，故18≤P≤20； 当20≤P≤26时，， 即3P2﹣122P+1232≤0，解得，故20≤P≤22． 所以18≤P≤22．故商品价格应控制在[18，22]范围内； （3）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L＝100（P﹣14）Q﹣2000．分两种情况： 第一种：当14≤P≤20时，即L＝100（P﹣14）（﹣2P+50）﹣2000＝﹣200P2+7800P﹣72000，则当P19.5时，L有最大值， 此时L3600＝4050﹣3600＝450； 第二种：当20≤P≤28时，即100（P﹣14）（﹣1.5P+40）﹣2000＝﹣150P2+6100P﹣58000， 则当P时，L有最大值，此时L3600＝40163600＝416． 因为450＞416，所以当P＝19.5元时，月利润最大，为450元． 4.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地． （1）把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数； （2）求当t＝5小时时汽车离A地的距离． 解：（1）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t； 当2.5<t≤3.5时，x＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时， 这时x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325. 所求函数的解析式为x＝. （2）当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，即当t＝5小时时汽车离A地75千米． 5.某厂生产一种机器的固定成本是0.5万元，每生产100台，需增加可变成本0.25万元，市 场对该成品的需求是500台，销售收入是f（t）＝5t﹣0.5t2万元（0≤t≤5），其中t 是产品 的售出数量（百台）． （1）把年利润表示为年产量x（x≥0，单位：百台）的函数； （2）年产量为多少时，工厂所得的纯利润最大？ 解：（1）设年纯利润为y，则当0≤x≤5时，y＝f（x）﹣0.25x﹣0.5＝﹣0.5x2+4.75x﹣0.5， 当x＞5 时，销售收入为f（5），年纯利润为y＝f（5）﹣0.25x﹣0.5＝﹣0.25x+12， 故函数关系式为y， （2）当0≤x≤5时，y＝﹣0.5（x﹣4.75）2+10.78125， 故ymax＝10.78125，此时x＝4.75百台，当x＞5时，y＜12﹣0.25×5＝10.75， 综上所述，年产量为475台时，工厂的年利润最大． 4.“对勾”函数模型的应用 例1.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7 万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x） 万元，且R（x）． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本） 解：（1）当； 当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝982.7x． ∴ （2）①当0＜x＜10时，由W'＝8.10，得x＝9， 且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0， ∴当x＝9时，W取最大值，且 ②当x＞10时， 当且仅当， 即x时，W＝38， 故当x时，W取最大值38． 综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 随堂练习： 1.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新 手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x（千部）手机， 需另投入成本R（x）万元，且R（x）由市场调研知，每 部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求出2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）； （2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x﹣（10x2+100x）﹣250＝﹣10x2+600x﹣250， 当x≥40时，， 故2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式为W（x）． （2）若0＜x＜40，W（x）＝﹣10（x﹣30）2+8750， 当x＝30时，W（x）max＝8750万元， 若x≥40，， 当且仅当时，即x＝100时，W（x）max＝9000万元， ∴2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元． 2.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了 新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示 为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： ， 当且仅当，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． （2）设该单位每月获利为S， 则S＝100x﹣y， 因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值﹣40000． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损． 3.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年 产量不足80千件时，C（x）（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝ 51x（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品 能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：（1）∵每件商品售价为0.05万元， ∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本， ∴L（x）＝（0.05×1000x）10x﹣25040x﹣250； ②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本， ∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x1450﹣250＝1200﹣（x）． 综合①②可得，L（x）． （2）由（Ⅰ）可知，， ①当0＜x＜80时，L（x）40x﹣250， ∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元； ②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x）≤1200﹣21200﹣200＝1000， 当且仅当x，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元． 综合①②，由于950＜1000， ∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $