精品解析：河北石家庄精英中学2026-2027学年高一上学期第一次调研考试数学试卷

石家庄精英中学2026-2027学年第一学期第一次调研考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合是空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合是空集， 所以方程在实数范围内无解，即方程无实数根， 因为对于任意实数，都有，所以当且仅当时，方程无实数根，解得. 所以实数的取值范围是. 2. 设集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， ，，， 故ABC错误，D正确. 3. 下列含有量词的命题中为真命题的是（ ） A. 任意实数的平方都大于0 B. ， C. 存在整数，，使得 D. 所有的素数都是奇数 【答案】B 【解析】 【分析】对每个含量词的命题逐一判断，全称命题通过举反例判定为假，存在性命题通过验证是否存在符合条件的元素判定真假，最终选出真命题. 【详解】选项A：该命题为全称量词命题，取实数0，有，不满足“平方大于0”，因此A为假命题； 选项B：该命题为存在量词命题，取，则，符合命题条件，因此B为真命题； 选项C：将等式变形为， 若为整数，则为整数，故左边为偶数，右边3为奇数， 因为偶数不可能等于奇数，所以不存在满足条件的整数，因此C为假命题； 选项D：该命题为全称量词命题，2是素数，但2是偶数，不满足“是奇数”，因此D为假命题. 4. 已知，，则“”是“等式成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，即； 当时，. 所以“”是“等式成立”的充要条件. 5. 已知集合，，若，则实数b的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 或 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以或，进行求解即可． 【详解】因为，所以或． 当，即时，则，，符合题意，此时； 当，即时，则，，符合题意，此时 故实数的值为或． 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，解得，选项中只有⫋，所以A正确. 7. 在“非遗文化进社区”手工艺品制作活动中，已知参与刺绣体验的居民人数多于参与剪纸体验的居民人数，参与剪纸体验的居民人数多于参与泥塑体验的居民人数，且参与泥塑体验居民人数的两倍多于参与刺绣体验的居民人数．那么下列结论一定正确的是（ ） A. 参与刺绣体验与剪纸体验的居民人数之和多于参与泥塑体验居民人数的三倍 B. 参与刺绣体验与泥塑体验的居民人数之和多于参与剪纸体验居民人数的两倍 C. 参与剪纸体验与泥塑体验的居民人数之和多于参与刺绣体验的居民人数 D. 参与刺绣体验居民人数的两倍与泥塑体验的居民人数之和多于参与剪纸体验居民人数的三倍 【答案】C 【解析】 【详解】分别设参与刺绣、剪纸、泥塑体验的人数为，则， 若，则不满足，，故A，B错误； 若，则不满足，故D错误； 因为，故C正确. 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由得，又因为，所以，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，若，则，不等式两边开方得； 当时，，所以；当时，，所以，D正确； 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“或”的充分必要条件 B. “”是“”的充分必要条件 C. “”是“”的充分必要条件 D. “”是“”的充分必要条件 【答案】BCD 【解析】 【详解】得或，故“”是“或”的充要条件，故A正确； 由得，得；而得或； 故“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 由得，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 得不同时为；得且； 故“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11. 如图，已知表示全集，，是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分由中不在中的元素和中不在中的元素组成，逐一判断即得. 【详解】由图可知，阴影部分表示属于但不属于的部分，可表示为，故C正确； 对于A，只表示右侧阴影部分，故A错误； 对于B，表示全集中去掉后所剩部分，故B错误； 对于D，也表示属于但不属于的部分，故D正确. 12. 对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫作集合与的“差集”，记作，即且；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫作集合与的“对称差集”，记作，即且．下列四个选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“差集”、 “对称差集”的定义，结合子集的定义，交集和并集的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得无公共元素，则，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，且，且， 因此且，D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知命题：“，”，则命题的否定为_______． 【答案】， 【解析】 【详解】存在量词命题“，”的否定为全称量词命题“，”. 14. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过设为和的线性组合，再结合不等式的性质，求解取值范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以， 因为 所以， 相加得， 即. 故答案为： 15. 某学校组织学生前往智慧农场体验采摘活动，共有30名学生参与，其中，参与采摘草莓的有18人，参与采摘蓝莓的有20人，参与采摘树莓的有20人．已知只参与采摘一种水果的学生有8人，则三种水果都参与采摘的学生人数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，借助容斥原理列式求解. 【详解】设参与采摘草莓的同学构成集合，参与采摘蓝莓的同学构成集合，参与采摘树莓的同学构成集合， 则集合的元素个数分别为，且集合的元素个数为， 在如下的韦恩图： 由，得， 由，得， 因此，解得， 所以同时参加了三项活动的人数为6. 16. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】配完全平方，然后结合题意将化简为，再根据均值不等式求最小值即可. 【详解】已知，且，则， 当且仅当，即，时等号成立. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知集合，，． （1）求； （2）求，并写出的所有子集． 【答案】（1）. （2），所有子集为 ，，，. 【解析】 【小问1详解】 联立得，所以. 【小问2详解】 联立得或所以，即的子集有，，，. 18. 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（）（假设全部溶解）．糖水更甜了． （1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式． （2）一般认为，教室里黑板面积必须小于墙壁面积，黑板面积与墙壁面积的比值越大，教室的教学效果越好．若同时增加相同的黑板面积和墙壁面积，教室的教学效果是变好了还是变坏了？ 【答案】（1）不等式为， 证明：因为， ∵， 所以，从而， 即. 不等式成立； （2）教室的教学效果变好了. 【解析】 【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式；由作差法即可证明这个不等式； （2）设黑板面积为，墙壁面积为，同时增加的黑板和墙壁面积为，由（1）可知，所以教室的教学效果变好了. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 教室的教学效果变好了. 理由：设黑板面积为，墙壁面积为，同时增加的黑板和墙壁面积为， 由（1）可知，所以教室的教学效果变好了. 19. 已知集合． （1）证明：； （2）当，时，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由 ， 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）直接作差配方即可证明； （2）根据题意分析得，从而得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，而， 由是的充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 20. （1）若，求证：； （2）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为． 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”．根据上述材料解决下面问题． 已知，且，，都是正数，求证：． 【答案】（1）， 由 可得，，即 ，， 因此 ，即 ， 故 . （2）由 且 ，先对左边每一项做代换化简， ， 因此左边可改写为， 由基本不等式，对正数 有 ，当且仅当 时等号成立； 同理，当且仅当 时等号成立， 当且仅当 时等号成立； 三式相乘得， 两边同时除以正数 ，得， 当且仅当 时等号成立， 故 . 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明不等式，注意变形要到位； （2）先利用条件把常数 1 替换为已知和式，再拆项，再用基本不等式放缩，多次放缩时，必须保证所有等号同时成立. 【详解】（1）略 （2）略 21. 已知命题，使得成立；命题，不等式恒成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分离参数转化为能成立问题求解即可；（2）将原式转化为二次函数恒成立问题求解即可；（3）由题意，“命题为真命题，命题为假命题”或“命题为假命题，命题为真命题”，分别讨论实数的取值范围，然后求并集即可. 【小问1详解】 因为为真命题，由题即 ，使得成立， 因为在值域为 所以. 【小问2详解】 因为为真命题，对于恒成立， 所以，即。 【小问3详解】 命题，有且只有一个是真命题 所以情况一：命题为真命题，命题为假命题， 则，此时解集为. 情况二：命题为真命题，命题为假命题， 则，此时解集为， 综上所述，实数的取值范围为 22. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的必要条件为有一个实根为2，再验证所求的实数的值是否满足题意即可；（2）由，得到，分别讨论与的情况，然后取并集即可. 【小问1详解】 由题可得，，因为， 则方程有一个实根为2. 将代入得,即，解得或. 当时，，此时，不满足题意. 当时，，此时，满足题意. 综上所述，实数的值为. 【小问2详解】 因为，所以，分两种情况： ①当时，则，解得； ②当时，（i）恰有两根为，由（1）可知，此时； 有两个相同的实数根，且该根为或. 此时令，解得,方程为，解得，满足题意. 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2026-2027学年第一学期第一次调研考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合是空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列含有量词的命题中为真命题的是（ ） A. 任意实数的平方都大于0 B. ， C. 存在整数，，使得 D. 所有的素数都是奇数 4. 已知，，则“”是“等式成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，若，则实数b的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 或 D. 0或1 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 7. 在“非遗文化进社区”手工艺品制作活动中，已知参与刺绣体验的居民人数多于参与剪纸体验的居民人数，参与剪纸体验的居民人数多于参与泥塑体验的居民人数，且参与泥塑体验居民人数的两倍多于参与刺绣体验的居民人数．那么下列结论一定正确的是（ ） A. 参与刺绣体验与剪纸体验的居民人数之和多于参与泥塑体验居民人数的三倍 B. 参与刺绣体验与泥塑体验的居民人数之和多于参与剪纸体验居民人数的两倍 C. 参与剪纸体验与泥塑体验的居民人数之和多于参与刺绣体验的居民人数 D. 参与刺绣体验居民人数的两倍与泥塑体验的居民人数之和多于参与剪纸体验居民人数的三倍 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“或”的充分必要条件 B. “”是“”的充分必要条件 C. “”是“”的充分必要条件 D. “”是“”的充分必要条件 11. 如图，已知表示全集，，是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 12. 对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫作集合与的“差集”，记作，即且；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫作集合与的“对称差集”，记作，即且．下列四个选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知命题：“，”，则命题的否定为_______． 14. 已知实数满足，，则的取值范围为______． 15. 某学校组织学生前往智慧农场体验采摘活动，共有30名学生参与，其中，参与采摘草莓的有18人，参与采摘蓝莓的有20人，参与采摘树莓的有20人．已知只参与采摘一种水果的学生有8人，则三种水果都参与采摘的学生人数为_______． 16. 已知，且，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知集合，，． （1）求； （2）求，并写出的所有子集． 18. 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（）（假设全部溶解）．糖水更甜了． （1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式． （2）一般认为，教室里黑板面积必须小于墙壁面积，黑板面积与墙壁面积的比值越大，教室的教学效果越好．若同时增加相同的黑板面积和墙壁面积，教室的教学效果是变好了还是变坏了？ 19. 已知集合． （1）证明：； （2）当，时，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 20. （1）若，求证：； （2）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为． 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”．根据上述材料解决下面问题． 已知，且，，都是正数，求证：． 21. 已知命题，使得成立；命题，不等式恒成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 22. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $