精品解析：河北省石家庄市第43中学（石家庄外国语学校）2026-2027学年高一上学期第一次阶段考试数学试题

43高一 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，所以，所以，，所以. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 4. 已知都是实数，那么“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，但， 故由不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，. 故选：C. 6. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】设第一次与第二次购物的价格分别为，分别求出两次购物的平均价格，把，，代入可得，再写出按第一种策略的总花费，然后利用基本不等式求最值． 【详解】设第一次与第二次购物的价格分别为， 按第一种策略，每次购件，则两次的平均价格为； 按第二种策略，第一次花元，购入物品件，第二次仍花元，购入物品件， 两次平均价格为． 由题意得，，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1， 得，即， 则按第一种策略的总花费 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 7. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，． 不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 8. 设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 存在，不是的子集；存在，使得是的子集 B. 存在，不是的子集；对任意，不是的子集 C. 对任意，是的子集；对任意，不是的子集 D. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集 【答案】D 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系. 【详解】对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：D 二、多选题 9. 下列命题为假命题的是（   ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是8 【答案】ACD 【解析】 【分析】明确两命题之间的关系，可判断A的真假；确定集合，，可判断B的真假；根据一元二次方程根的分布求的取值范围，判断C的真假；确定集合中的元素，求其真子集的个数，判断D的真假. 【详解】对A：由只能得到集合有公共元素，并不能得到； 反之，由，可能有，此时. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A为假命题； 对B：因为是函数的值域，所以；是函数的定义域，所以， 所以，故B为真命题； 对C：假设方程有两个根，表示为，，则两根均为负数 . 即方程有两个负根的充要条件是，故C为假命题； 对D：因为且， 所以集合真子集的个数为个，故D为假命题. 10. 已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为. B. 的最大值为. C. 的最小值为. D. 的最小值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最大值为1，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且，即，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故D正确. 故选：ABD. 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知，或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】对，有， 故，则或， 当时，由， 故，则有，即， 此时，符合要求； 当时，则，故， 对于，若，解得， ① 当时，，解得， 此时，符合要求； ② 当时，，解得， 此时，符合要求. 若，则有一根属于，另一根不属于， 当时，有，故不是的根， 当时，有，故不是的根， 故时，不合题意； 综上所述，实数的值可能为或． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出或，对集合的元素个数进行讨论，在求出参数后一定要注意进行检验. 三、填空题 12. 已知集合，，若，则的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 因为，所以， 所以，解得，所以的最大值为. 13. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 14. 已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 同理当时，取得最小值；当时，取得最小值， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17. （1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1） 因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2） 当时，； 当时，； 当时，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）略 （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 18. 精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件. （1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）；（2）当推广促销费投入万元时，利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润的求法求得函数解析式. （2）结合基本不等式求得利润的最大值以及此时对应的促销费. 【详解】（1）依题意 . （2）由于， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当推广促销费投入3万元时，此批产品的利润最大为27万元. 19. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意知，且是方程的两个根，再利用韦达定理即可得解； （2）把看成主元，构造关于的函数，则，解之即可； （3）先因式分解，再讨论结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）由题意知，且是方程的两个根， 则，解得； （2）由不等式对于任意实数恒成立， 整理得， 令， 则，即，解得； 所以； （3）依题意，等价于， 当时，不等式解得，解集为； 当时，不等式化为，且， 所以不等式的解集为， 当时，不等式化为， 若，即时，不等式的解集为， 若，即时，不等式的解集为， 若，即时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 43高一 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 已知都是实数，那么“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 7. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 8. 设集合，，，，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 存在，不是的子集；存在，使得是的子集 B. 存在，不是的子集；对任意，不是的子集 C. 对任意，是的子集；对任意，不是的子集 D. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集 二、多选题 9. 下列命题为假命题的是（   ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是8 10. 已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为. B. 的最大值为. C. 的最小值为. D. 的最小值为. 11. 用表示集合中元素的个数，对于集合、，定义，若，，且，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知集合，，若，则的最大值为________． 13. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 14. 已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为_____. 四、解答题 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. （1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 18. 精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件. （1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 19. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $