精品解析：河南省郑州市中原区郑州外国语中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学学科错题重练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是的中点，若将绕点逆时针旋转，则旋转前后两个三角形组成的图形是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正五边形 D. 正三角形 3. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 36 D. 42 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 9. 某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为______． 13. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 15. 二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______． 三、解答题（共75分） 16. 第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率． 17. 用配方法解关于的方程：（）． 18. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 19. 用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为； （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由； 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 21. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数． （1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 23. 一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科错题重练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 2. 如图，在中，是的中点，若将绕点逆时针旋转，则旋转前后两个三角形组成的图形是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 正五边形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，菱形的判定，掌握旋转的性质和菱形的判定定理是解题关键．由旋转的性质得出，结合题意可证，即说明旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 【详解】解：如图， 由旋转可知． ∵， ∴， ∴四边形为菱形，即旋转前后两个三角形组成的图形是菱形． 故选B． 3. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点，把二次函数解析式转化为顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：． 5. 如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理，二次根式的运算，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．过点作于点，利用直角三角形性质、勾股定理，得到，，利用等腰三角形性质，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的面积为， 故选：D． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，相似三角形性质和判定，根据题意得到，利用平行四边形性质，证明，利用相似三角形性质进而推出，即可得到的周长． 【详解】解：，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 有， ， 的周长为， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，反比例函数比例系数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是解题关键．设与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据点P坐标可求出，根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：设与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∵， ∴． ∵过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴． 故选B． 9. 某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 10. 如图，将边长为8的正方形纸片沿对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形和矩形，再将矩形绕点顺时针方向旋转．使点与点重合，点的对应点为，则图②中阴影部分的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及菱形的判定与性质等，解答本题的关键是勾股定理以及菱形的判定．首先根据已知条件判断出，得到，，然后可设的长度为x，则，根据勾股定理列方程可解出x，最后证明阴影部分是菱形后，即可求出其周长． 【详解】解：如图，设交于G，旋转后交于点H， 由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为菱形， ∴阴影部分的周长为：， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例，列出比例式，再将已知数据代入求解，即可解题． 【详解】解：直线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15. 二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息．根据图象的开口方向，对称轴，与坐标轴交点情况逐个判断，即可解题． 【详解】解：二次函数开口向上， ， 二次函数对称轴是直线， ， ， 故①正确； 二次函数与轴有两个交点， ， ， 故②正确； 由图知，当时，， ， 故③正确； 二次函数对称轴是直线， ，即， ， 二次函数交轴负半轴， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（共75分） 16. 第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率． 【答案】（1） （2）一男一女当选的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可解答； （2）画出树状图列出所有可能，得到12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，根据概率公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选， 从这四位竞选者中随机选出一位小记者，选到男生的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画出树状图，如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，一男一女当选的有8种， （一男一女当选）． 答：一男一女当选的概率为． 17. 用配方法解关于的方程：（）． 【答案】当时，该方程无解；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．利用配方法得到，再对的取值分情况讨论求解，即可解题． 【详解】解： 当时，该方程无解； 当时， 有， 整理得， 解得； 当时， 有， ． 18. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）先证是四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质得，再证，可证明,然后代入数据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 19. 用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为； （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由； 【答案】（1）的值为 （2）花园面积不能为，理由： 设；则； 整理得， ∵， ∴原方程无实数根， 即花园面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平行于墙的一边的长为，则的长为，利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之取小于的值即可得出结论； （2）设的长为，利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：； 解得：，， ∵ ∴舍去， ∴； 答：的值为； 【小问2详解】 略 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过作于，于，在中，（米），（米），可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【详解】解：过作于，于，如图： 在中， （米），（米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 21. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数． （1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【答案】（1）商场获得利润为800元 （2）销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元 （3）销售单价的范围是70≤x≤84 【解析】 【分析】（1）将函数关系式得到销售量，进而得到利润； （2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到，把代入得到；然后配成顶点式为，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，则时，有最大值． （3）令，则，解得，，而当时，随的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元（元时，该商场获得利润不低于500元． 【小问1详解】 解：把代入得，， （元） 答：当销售单价为80元时，商场获得利润为800元； 【小问2详解】 解： 抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而增大，而 ∴当x＝84时，（元） ∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元； 【小问3详解】 解：由，得， 整理得，，解得， ， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，求出利润与之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价，本题的关键是找到函数关系式． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 23. 一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：当时， ， 理由如下： ， ， 又∵四边形和四边形为菱形， ， ， ； （3）解：，理由： ∵和是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出， 得出， 证明，则可得出结论； （2）由菱形的性质得出， 证明， 由全等三角形的性质可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，即可得到，然后证明即可解题． 【小问1详解】 ； ； 理由如下： 如图（1）， 延长交于， 交于点， ∵四边形、四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为： ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质 ，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $