河南沈丘县风华学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

风华学校数学月考试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 学校：_________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A．3x² + - 2 = 0 B．2x - 3y² = 0 C．(x-1)(x+2) = 0 D．x² + 2x = x² - 1 2．下列说法错误的是（ ） A．矩形的面积等于长与宽的乘积 B．菱形的对角线平分一组对角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 3．由下表估算一元二次方程x²+12x=16的一个根的范围，正确的是（ ） A．1.0 < x < 1.1 B．1.1 < x < 1.2 C．1.2 < x < 1.3 D．14.41 < x < 15.84 4．若将一元二次方程x²-4x+3=0化成(x+m)²=n的形式，则m+n的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（ ） A．AC⊥BD B．AB=BC C．∠ABC=90° D．∠ABD=45° 6．如图，□ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（ ） A．EH=HG B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 C．EO=FO D．四边形EFGH是平行四边形 7．下列说法： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形； （4）四个角都相等的四边形是矩形。 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动。同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米。水池以外的区域全部种植绿植。已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为x米。下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A．π(x+3)² - x² = 72 B．π(+3)² - x² = 72 C．π(x+6)² - x² = 72 D．π(+6)² - x² = 72 9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。当点Q到达点C时，点P停止运动。如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒，△PBQ的面积等于8cm²，则t的值为（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 10．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别是边BC、CD上的中点，连接AF，DE交于点G。连接AC，若点O，点H分别是AC，AG上的中点，连接OH，OH=1，则正方形ABCD的边长等于（ ） A． B．5 C．3 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程x² = x的根是____________。 12．已知α，β是一元二次方程x²-3x+2=0的两根，则α²-3α+2αβ的值是______。 13．关于x的一元二次方程2mx²+6x-3=0有实数根，则m的取值范围是________。 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB的中线CD，得到第一个△ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB的中线EF，得到第二个△DEF；依此作下去…，则第3个三角形的面积等于____________。 15．如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=10，点E是直线CD上一动点，将△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′恰好落到AB边的中垂线上时，则写出CE的长为____________。 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）解一元二次方程： （1）(x-2)² - 9 = 0（运用适当的方法）； （2）2x² - 7x + 3 = 0（公式法）； （3）(4x+1)² = 2(4x+1)（分解因式法）。 17．（9分）如图，在菱形ABCD中， （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AE交BC于点E，并在线段AB上截取AF=CE，连接CF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：CF平分∠ACB。 18．（9分）已知关于x的一元二次方程x²-6x-t(t+6)=0。 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的2倍，求t的值。 19．（9分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF。 （1）求证：四边形DFCE是菱形； （2）若∠B=67.5°，AC=8，求菱形DFCE的面积。 20．（9分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）。 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m²的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 21．（10分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型。今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件。 （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22．（10分）关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个整数实数根分别是x₁，x₂（x₁<x₂），若x₁，x₂为整数，则称(x₁，x₂)为“Deep”点。 （1）方程x²-7x+12=0____（填“是”或“否”）存在“Deep”点； （2）若关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的“Deep”点为(1，4)，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程x²+4mx+4m²+m=0是否存在“Deep”点，且该点在直线y=-x+5上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。 23．（11分）[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5，BE=12，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°），点B，E的对应点分别为点B′，E′。 [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点B′落在AC上时，求此时CB′的长；（2）若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由； （3）在Rt△ABE绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段CE′长度的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $