江苏省震泽中学2026-2027学年高三上学期10月学情调研数学试卷

震泽中学2024级高三年级十月份学情调研 数学试卷 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设甲：，乙：，则甲是乙的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．若，则 （     ） A． B． C． D． 5．若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 6．已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（    ） A． B．0 C． D．2 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B．函数的单调递增区间为 C．若，，则 D．已知函数为奇函数，则 10．下列选项中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数的定义域为，则函数的定义域是 D．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 11．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．函数的图象关于原点对称 C．是函数的极大值点 D．当时，函数值域为 三、填空题 12．计算：________． 13．曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 14．设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 四、解答题 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 16．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 17．已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其增区间； (2)设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； (3)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 18．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 19．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．设甲：，乙：，则甲是乙的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 3．如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4．若，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 上下同时除以，可得， ，因为，则. 5．若函数的图像过点，其反函数的图像过点，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】B 【详解】由函数的图像过点，又由其反函数的图像过点，则函数过点， 可得，即，解得，所以. 故选：B. 6．已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为， ，故函数是奇函数； 求导得，故函数在上单调递增； 已知，则， 由单调性可知，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 7．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，解得， 又因为，， 易得， 所以. 8．已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】由题可得，， 则， ， 则， ，即，， ，则函数的周期为， ， 由条件，令，得，即， 解得，故． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B．函数的单调递增区间为 C．若，，则 D．已知函数为奇函数，则 【答案】AC 【详解】对A，因为角的终边上有一点，所以， 则，所以A正确； 对B，令，，因为单调递增， 所以的单调递增区间即为的单调递增区间，且保证， 所以函数的单调递增区间为：，所以B错误； 对C，因为，，所以，则有，所以C正确； 对D，是奇函数， ，，，得， ，，所以D错误． 10．下列选项中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数的定义域为，则函数的定义域是 D．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】BC 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故错误； 对于B，令，，故正确； 对于C，若函数的定义域为，则，所以， 所以函数的定义域是. 对于D，当时，不等式变为，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，故D错误. 11．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．函数的图象关于原点对称 C．是函数的极大值点 D．当时，函数值域为 【答案】AC 【详解】对于A，由得， ， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 函数， ， ，所以图象不关于原点对称，故选项B错误； 对于C，由得， ， 当时，，，， 当时，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，选项C正确； 对于D，由C选项可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为， ， ， 所以，， 即函数值域为，故选项D错误. 三、填空题 12．计算：________． 【答案】 【详解】原式 13．曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 【答案】 14．设函数，在的图象大致如图所示，则的最小正周期为_____． 【答案】 四、解答题 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得, 又，∴. （2）∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 16．已知函数是偶函数，. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的零点； (3)若的最小值为2，求实数的值. 【答案】(1) (2)（或） (3) 【详解】（1）已知是定义域为的偶函数，因此对任意，恒成立. 化简得，，代入等式得， 移项整理得对任意恒成立. 由于不恒为，因此，即. （2）当时，，由（1）知，令，得， 设，由指数函数性质得，方程转化为， 因式分解得，解得或，因舍去， 即，解得，即函数零点为. （3）由（1）知，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，因此的取值范围为. 令，则，此时，该二次函数开口向上，对称轴为， 分情况讨论，当，即时，在上单调递增， 最小值为，令，解得，符合的条件； 当，即时，在处取得最小值，最小值为， 令，方程无实根，该情况无解. 综上，实数的值为. 17．已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其增区间； (2)设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； (3)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得， 则； 在处取得极大值，，， 又因为，故，，则 令，， 解得， 即的增区间为 （2）因为，因为，所以， 又因为，所以由余弦定理， 即，即． 而，当且仅当时取等号， 所以，即， 又因为，所以，即． 最好用正弦定理 （3）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则，． ，，． 因此． 设，，，． 设， 则， 当时，，，即，因此在上单调递减； 当时，，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值． 18．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) (3) 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立，所以，即实数的取值范围为； （3）由已知， 因为有两个极值点，所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 19．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 或用三次韦达定理 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $