精品解析：浙江杭州市萧山区第二高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

2026学年第一学期第一次阶段测试试题卷 学科：高一数学满分：120分考试时间：100分钟 考生须知：1．本卷共4页； 2．本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效； 3．答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列集合与区间表示的集合相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则是的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 6. 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若，，则 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为10 D. 的最小值为 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数（）的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，且，则实数的值为 D. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5，分共15分． 12. 设函数，则________. 13. 已知集合M满足则集合M的个数为______． 14. 已知函数，，若函数，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当，时，解不等式； （2）若是的零点，且，，问当，取何值时，的最小？最小值是多少？ 16. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 17. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次阶段测试试题卷 学科：高一数学满分：120分考试时间：100分钟 考生须知：1．本卷共4页； 2．本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效； 3．答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 2. 下列集合与区间表示的集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解绝对值不等式可判断B，通过解方程可判断C，对AD根据集合的含义判断可得. 【详解】选项A：集合是点集，仅含有序实数对一个元素，与数集类型不同，故A错误； 选项B：解绝对值不等式，解得， 即，与区间表示的集合相等，B正确； 选项C：解方程，因式分解得，解得或， 即，仅含个元素，与开区间不相等，故C错误； 选项D：集合是点集，仅含有序实数对一个元素，与数集类型不同，故D错误. 3. 已知命题，命题，则（ ） A. p的否定是q B. p的否定是 C. q的否定是p D. q的否定是 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的否定的概念求解. 【详解】p的否定是．q的否定是． 故选:D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 5. 若，则是的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式、一元二次不等式，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 由， 所以是的必要不充分条件. 故选：D 6. 命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可． 【详解】命题，使得成立，若是假命题， 则命题的否定为：，成立，为真命题． 所以在上恒成立， 由，当且仅当时取得等号， 所以 . 故选：A 7. 已知函数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，用和表示出后，结合不等式的性质可得． 【详解】由得，， 又，，， 所以， 故选：D． 8. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到与的关系求出解集，再根据必要不充分条件选出答案. 【详解】由题目可得，因为定义域为，所以， 故可以化为，与的区别为可以取等号， 故的解集为，因为是的真子集， 所以成立的一个必要不充分条件是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则“”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC选项；利用作差法判断D选项. 【详解】对A，若，，则，故A错； 对B，当时，，但是当时，不一定大于，例如时，，所以是的充分不必要条件，故B正确； 对C，当时，，所以不是的充要条件，故C错； 对D，，因为，，所以，，即，即，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为10 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】因为，，且，所以， 解得，当且仅当时等号成立，故A正确； 因为，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，，且，所以， 所以 ， 等号成立当且仅当，故C错误； 因为，且， 所以不妨令， 因为，所以单调递增， 所以，从而， 等号成立当且仅当. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断. 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数（）的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，且，则实数的值为 D. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项用分离常数法求值域；B选项由定义域推定义域，再结合根号与分式条件；C选项用配凑法求解析式，解方程得两解；D选项由值域反推定义域元素，列举子集. 【详解】A选项： 因为，则，于是 即A选项正确； B选项：的定义域为，即， 则即的定义域为， 要使有意义，需 解得：故定义域为，B选项正确； C选项： 令，则， 由，得： 故的值应为，不只是，C选项错误； D选项：，值域为，则定义域中的元素必须满足 故定义域可以是共个，D选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5，分共15分． 12. 设函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，可得 ，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故答案为：6. 13. 已知集合M满足则集合M的个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】直接根据集合的关系列举出集合即可得结果. 【详解】因为， 所以可以为：，，，，，， 共计7个， 故答案为：7. 14. 已知函数，，若函数，则的最大值为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意画出函数的图象，结合图象即可得最大值. 【详解】因为，， 且，， 画出函数的图象（实线部分）， 由图象可得，当时，取得最大值6. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当，时，解不等式； （2）若是的零点，且，，问当，取何值时，的最小？最小值是多少？ 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）代入条件，然后求解出一元二次不等式的解集即可； （2）根据条件先得到的关系式，然后采用常数代换法求解出的最小值并确定出取等条件. 【小问1详解】 将，代入可得， 即，解之可得或， 所以解集为. 【小问2详解】 因为是的零点，所以，则， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时取最小值，且最小值为． 16. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 【答案】（1），且； （2）11 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式，求出，结合和实际意义得到的取值范围； （2）由题意得到不等式，参变分离得到恒成立，由基本不等式求出，求出，得到答案. 【小问1详解】 ， 解得， 又，故的取值范围为，且； 【小问2详解】 ， 整理得恒成立， 因为，且，由基本不等式得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以的最大值为11. 17. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：，则， 故； ， 故； 故，即. 【解析】 【分析】（1）利用题目给的定义，注意到，所以可分两种情况：或，分别代入B集合中即可求解. （2）利用题目给的定义，m，n的取值可分3种情况：或或m与n分别取2和a，分别代入B集合中，根据集合的子集个数确定集合的元素个数，进而列方程确定a的取值. （3）根据A集合的范围和B集合的定义，利用不等式的性质分别证明和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 的子集个数为4个，故集合的元素有2个. 当时，； 当时，； 当m与n分别取2和a时，； ①，解得（舍）或； ②，解得（舍）； ③，解得（舍）或，或， 综上所述：，，或，即. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $