广东佛山市第三中学2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）高二数学试卷

佛山三中2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）试卷 高二 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 2．连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“两次的点数之积为偶数”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D．与相互独立 3．直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 4．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 6．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 7．已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（   ） A．直线过的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为2 D．直线的一个方向向量的坐标是 8．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（    ） A．若，则 B．若，则的最大值是 C．可能是对立事件 D．不可能是互斥事件 10．已知，，则下面四个选项中正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线与直线平行 C．点在直线上 D．直线必过定点 11．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ） A． B．向量共线的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量为 D．点A到直线BC的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________. 13．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 14．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 16．平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 17．如图，在三棱柱中，平面，为的中点.若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 18．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求丙连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 19．如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面． (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《佛山三中2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）试卷高二数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D B A C B ABD AD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得. 【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 2．D 【分析】记为第一次的点数，为第二次的点数，以为一个样本点，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用事件独立性的定义可判断BD选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项. 【详解】记为第一次的点数，为第二次的点数，以为一个样本点， 对于A选项，，故与不互斥，A错； 对于B选项，由古典概型的概率公式可得， 基本事件的总数为，故， ， 所以，则， 所以与不独立，B错； 对于C选项， ，共个样本点，则， 所以，C错； 对于D选项，， 所以，故与独立，D对. 3．B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 4．D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 5．B 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 6．A 【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 7．C 【分析】根据斜率的坐标计算判断B，由斜率可得直线的一个方向向量从而判断D，求解的中点坐标，从而判断A；由对称关系可得直线的斜率，即可判断C. 【详解】的斜率为，故B正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，故D正确； 因为与关于直线l对称，所以的中点坐标为一定在直线上，故A正确； 因为直线与直线垂直，所以直线斜率为，故C错误. 故选：C. 8．B 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 9．ABD 【详解】对A，因为事件相互独立，所以，故A正确； 对B，因为事件相互独立，所以， 所以当时，取得最大值，为.故B正确； 因为事件独立，且均大于0，所以，即事件一定有同时发生的可能性，故不可能是互斥事件，更不可能是对立事件，故C错误，D正确. 10．AD 【分析】选项A，已知直线上的两点，利用公式求出，利用求出倾斜角；选项B，利用点斜式得到直线的方程，从而得解；选项C，将点代入直线验证即可得解；选项D，将直线整理得到，则有，这个方程组的解形成的点就是直线必过的定点. 【详解】因为，所以直线的倾斜角为，故A正确． 直线MN的斜率为1，则方程为， 即直线与直线重合，所以B错误， 由题意得，则点的坐标不满足，故C错误， 由，得到， 显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故D正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】根据数量积为零判断向量垂直，判断选项A；根据向量除以模长求单位向量，判断选项B；根据投影向量公式：判断选项C；根据向量夹角公式，计算点A到直线BC的距离，判断选项D. 【详解】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 12．或 【分析】对截距不为0时及为0时进行分类讨论，设出直线并代点计算即可得. 【详解】当截距不为0时，设直线的方程为， 又过点，所以， 解得，所以直线的方程为； 当截距为0时，设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 故答案为：或. 13． 【分析】明确投篮结束时乙只投了2个球的两种互斥情形，结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率。 【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，，由题意得，且各次投篮结果相互独立。 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，事件包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为. 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： 14．/ 【分析】先由几何图形结合向量加减运算求出，接着由已知条件结合向量的运算律计算求出即可求解. 【详解】连接， 则由题得， 所以 ， 故. 故答案为：. 15．【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 16．【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 17．【详解】（1）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知， 所以点到平面的距离. 18．【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 而甲､丙连胜四场的概率为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 需要进行第五场比赛的概率. （3）乙，理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输， 记事件：甲赢，记事件乙赢， 则甲赢的基本事件包括：､ ， 甲赢的概率为. 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是. 所以乙赢的概率为. 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大. 19．【详解】（1）连接交于点，则，连接． 在中，，， 所以． 所以， 所以，由于平面平面， 所以底面． 以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 则． 由于平面，由（1）可知， 所以平面的法向量． 设平面，则 设，得到取， 所以． 所以二面角的平面角的余弦值是． （2）存在，点在的延长线上且使，使得平面. 解法1：假设在直线上存在点，使平面． 设，则， 得， 由（1）可知 设平面，则 设，得到 不妨取． 又因为平面， 所以，即，得， 即点在的延长线上且使． 解法2：连接，由题设知， 因为平面，平面，所以平面， 所以在平面找到过点有即为所求. 如图3． 假设在直线上存在点，使平面， 在的延长线上取点，使， 则，从而平面． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $