精品解析：广东 佛山市禅城区佛山实验学校2026-2027学年度八年级第一学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年第一学期初中八年级数学科第一次课堂作业 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 7，8，10 B. 8，24，25 C. 3，4，5 D. 5，10，13 2. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 4与6之间 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，能确定位置的是（　　） A. 禅城区魁奇一路 B. 琼花大剧院大剧场排座 C. 距离创意产业园米 D. 祖庙与梁园之间 6. 按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A. B. 8 C. 2 D. 7. 五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 8. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是_________． 12. 若能与最简二次根式合并，则的值为________． 13. 如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 14. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______． 15. 如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 三、解答题（16-21题每题8分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 18. 为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 19. 如图1，小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个大正方形． （1）在图1中用虚线画出剪裁方案，同时在图2网格中画出拼接完成后的大正方形； （2）图2拼接完成后大正方形的边长是________，在数轴上作出表示该大正方形边长的实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封，其长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 21. 图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． （1）当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． （2）如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 22. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【运用】如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距16千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请在图2作出点P的位置并求出的距离．（要求尺规作图） （3）【拓展】如图3，在中，，，，D为直线上的动点．过点B作射线于点E，若，求的长． 23. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）计算：_________；_________； （2）若，写出所有满足题意的x的整数值________； （3）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． （4）①请你计算________； ②请你观察①，思考并计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初中八年级数学科第一次课堂作业 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 7，8，10 B. 8，24，25 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可． 【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意； B、，，，故不是勾股数，不符合题意； C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意； D、，，，故不是勾股数，不符合题意； 2. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 3. 估计的值在哪两个整数之间（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 4与6之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、 ，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 下列说法中，能确定位置的是（　　） A. 禅城区魁奇一路 B. 琼花大剧院大剧场排座 C. 距离创意产业园米 D. 祖庙与梁园之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位置的确定，根据确定位置的方法逐一判断即可，熟练掌握常见的确定位置的方法：用有序数对确定物体位置；用方向和距离来确定物体的位置． 【详解】解：、禅城区魁奇一路是一条道路，范围宽泛，无法确定具体位置，不符合题意； 、琼花大剧院大剧场排座通过排和座两个精准信息，能唯一确定具体座位位置，符合题意； 、距离创意产业园米只有距离，没有方向，无法确定具体位置，不符合题意； 、祖庙与梁园之间是一个区域范围，无法确定具体位置，不符合题意； 故选：． 6. 按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A. B. 8 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图，依次计算算术平方根和立方根，判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：输入，取算术平方根得， 是有理数，继续运算； 取的立方根得， 是有理数，返回取算术平方根； 取的算术平方根得， 是无理数，输出； 则输出的值为． 7. 五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 8. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 9. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 10. 如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 12. 若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 13. 如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 14. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，由翻折易得，，在中，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：设， ∵两直角边，， ∴， 由折叠的性质得， ∴，，， 在中，，，， ，即， ∴，即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键． 15. 如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 三、解答题（16-21题每题8分，22题13分，23题14分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分子拆分后分别除以分母，化简后计算结果． （2）利用乘法分配律展开原式，分别化简后合并得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 18. 为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】（1）钢丝绳的长度为 （2）钢丝绳增加的长度为 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 19. 如图1，小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个大正方形． （1）在图1中用虚线画出剪裁方案，同时在图2网格中画出拼接完成后的大正方形； （2）图2拼接完成后大正方形的边长是________，在数轴上作出表示该大正方形边长的实数的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解： 根据题意，画图如下： 点M表示的数是． 【解析】 【分析】（1）根据图形的面积，确定正方形的边长，结合，画图解答即可； （2）根据勾股定理，确定正方形的边长，再利用垂线作图，勾股定理，基本作图，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得正方形的边长为，沿着直角边为2和3的直角三角形的斜边画虚线，把原图剪成4个全等的直角三角形和一个小正方形，再根据勾股弦图的拼图方法，重新拼接，图略 【小问2详解】 解：根据题意，正方形的边长为，画图略． 20. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡，现有一个长方形信封，其长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请说明理由． 【答案】（1） 长方形信封的长为，宽为 （2） 解：能，理由如下： 正方形贺卡的面积为，其边长为， 长方形信封的宽为，由，可得， 即信封的宽大于贺卡的边长， 又信封的长大于宽， ∴贺卡可以不折叠放入此信封. 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较正方形的边长和长方形的宽的大小关系，即可得出结果. 【小问1详解】  解：设长方形信封的长为，宽为； 由题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为.  【小问2详解】 略 21. 图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． （1）当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． （2）如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 【答案】（1）解：，理由如下： 根据题意可知，， ，， ， ∵， ， ， 故伸缩杆与窗框的位置关系为． （2） 【解析】 【分析】（1）借助勾股定理逆定理证出直角，得到伸缩杆与窗框的位置关系； （2）过点作，先求出线段、，根据勾股定理算出，再在中，利用勾股定理求出伸缩杆的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， 根据题意可知，， ，， ， ， ， ， 在中，． 22. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【运用】如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距16千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请在图2作出点P的位置并求出的距离．（要求尺规作图） （3）【拓展】如图3，在中，，，，D为直线上的动点．过点B作射线于点E，若，求的长． 【答案】（1）证明：，，， 且 ， ， ； （2）解：连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；画图如下： 千米 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用图形的面积的性质，解答即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；设千米 则千米，根据，结合勾股定理，建立方程，解答即可． （3）分当点D在线段上时，当点D在射线上时，当点D在射线上时，三种情况求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：连接，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求； 画图略； 设千米，则千米， ， ， 根据题意，得， ， 解得（千米） 故的距离为千米． 【小问3详解】 解：，，， ， 当D为线段上时．过点B作射线于点E，此时点E在的延长线上， 此时，与，矛盾，故此情况不存在； 当D在射线上时．过点B作射线于点E， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ； 当D为射线上时．过点B作射线于点E， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ； 故的长为或． 23. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）计算：_________；_________； （2）若，写出所有满足题意的x的整数值________； （3）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． （4）①请你计算________； ②请你观察①，思考并计算． 【答案】（1）2，5 （2） （3） （4）① ② 23 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据，得，得到，解答即可； （3）首先确定，再把中括号的代数式去掉绝对值，化简，再利用定义解答即可． （4）①根据新定义，解答即可； ②计算发现其规律，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得；； 【小问2详解】 解：， ， ， 故满足题意的x的整数值为． 【小问3详解】 解：根据题意，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x， 则， ， ， ， 故． 【小问4详解】 ①解： ； ②解：根据题意，得， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $