精品解析：广东佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情调查数学科调研卷

2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A. 1，2，3 B. ，， C. 8，6，12 D. 5，12，13 2. 若点在第三象限，则b的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 3 3. 下列各数中，，，，（小数部分两个1之间依次增加一个0），无理数共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 4. 如图，象棋棋盘上的“帅”位于点，“炮”位于点，则“相”位于点（ ） A. B. C. D. 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 6. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 7. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 0的平方根是0 C. 9的立方根是3 D. 4是的算术平方根 9. 如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（） A. B. C. D. 10. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 12. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 13. 若，则________． 14. 如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________． 15. 如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； （2）从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 17. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 18. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． （1）求点的“短距”． （2）若点是“等距点”，求的值． 20. 如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小正方形的顶点称为格点， （1）请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形； （2）请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出它的面积________． （3）如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为a的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形，并直接写出a的值________． 21. 实验探究：物理课上，胡老师带着科技小组进行物理实验 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体升高，求滑块B向左滑动的距离． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 阅读材料并回答以下问题： 材料一：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用，例如， 材料二：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，，所以． 请根据以上材料解答以下问题． （1）________，________； （2）________，________； （3）若，求的值； （4）计算：； 23. 已知是等腰直角三角形，，．动点P在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，，，连接． （1）如图1，点P在线段上时，①求证：； ②若，，求线段，的长及的度数； ③经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； （2）如图2，若点P在线段的延长线上，（1）中③的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）动点P在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情调查数学科调研卷 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A. 1，2，3 B. ，， C. 8，6，12 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】先通过三角形三边关系排除无法构成三角形的选项，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，无法构成三角形． B．，无法构成直角三角形． C．，无法构成直角三角形． D．，能构成直角三角形． 2. 若点在第三象限，则b的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，得到b的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】∵点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于0，纵坐标小于0， ∴， 只有选项A，，满足条件． 3. 下列各数中，，，，（小数部分两个1之间依次增加一个0），无理数共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：， 无理数：，，（小数部分两个1之间依次增加一个0），共3个， 故选：A． 4. 如图，象棋棋盘上的“帅”位于点，“炮”位于点，则“相”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下： 则“相”位于点． 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，从角的关系和边的关系两个角度逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，∵，， ∴，即，可判定为直角三角形，不符合题意． B选项，∵，， ∴最大角，不能判定为直角三角形，符合题意． C选项，∵， ∴，即，可判定为直角三角形，不符合题意． D选项，∵，，， ∴，， ∴，可判定为直角三角形，不符合题意． 6. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，运算错误． B选项，，运算错误． C选项，，运算错误． D选项，，运算正确． 7. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质与勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴橡皮筋被拉长了：．， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是从题目中提取出垂直平分线． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 0的平方根是0 C. 9的立方根是3 D. 4是的算术平方根 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵负数没有算术平方根，， ∴无算术平方根，A错误． ∵， ∴的平方根是，B正确． ∵， ∴的立方根不是，C错误． ∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是，D错误． 9. 如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解． 【详解】解：由图可知，直角三角形的水平直角边长为，垂直直角边长为， 根据勾股定理，得． 圆弧是以点为圆心，为半径画的， ． 点表示的数为，且点在点的左侧， 点表示的数为． 10. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的要求，被开方数需为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ∴ ， 解得 ， 在取值范围内任取一个值即可，例如． 12. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在x轴上，得到，解方程即可； 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得； 13. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性，根据几个非负数的和为时，每个非负数均为，求出和的值，再代入所求二次根式计算即可. 【详解】解： ，，且 ， 解得， 将，代入得： 14. 如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于两块是相同的含角的直角三角尺，可知和均为等腰直角三角形，过点作轴于点，易证也为等腰直角三角形．根据点的纵坐标为，结合勾股定理可以求得的长为，再在中运用勾股定理，求出斜边的长度为．由于两个三角尺相同，所以推出的长度也为，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 和是含角的等腰直角三角形， , , 为等腰直角三角形， 点纵坐标为，即 ． 由勾股定理，， ， 由勾股定理，． ， ， 点坐标为． 15. 如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【答案】或（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； （2）从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 【答案】（1）、 （2）解：观察可知，第一步开始出错，出错原因是去括号时前面的符号没有变号，正确过程如下： ． 【解析】 【分析】（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）第一步在去括号时，前面的符号没有变号，再按二次根式的相关运算法则写出正确的运算过程即可． 【小问1详解】 解：不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 是最简二次根式， 是最简二次根式； 【小问2详解】 略 17. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；5 （2） 解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 18. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． （1）求点的“短距”． （2）若点是“等距点”，求的值． 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； 【小问2详解】 解：由题意，， 即：或， 解得或． 20. 如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小正方形的顶点称为格点， （1）请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形； （2）请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出它的面积________． （3）如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为a的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形，并直接写出a的值________． 【答案】（1）如图1，即为所求：（答案不唯一） （2）如图2，即为所求：（答案不唯一）； （3）如图3，大正方形即为所求： （答案不唯一）； 【解析】 【分析】（1）结合网格与勾股定理作图即可； （2）根据，，，结合网格作图即可；其面积等于一个大正方形的面积减去三个小直角三角形的面积，据此计算即可； （3）先根据面积关系可得，则可得的值，再结合网格与勾股定理作图即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形：略． 它的面积为． 【小问3详解】 解：由题意得：， 由平方根的性质得：或（不符合题意，舍去）， 在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形：略． 21. 实验探究：物理课上，胡老师带着科技小组进行物理实验 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1）利用勾股定理求出的长，再根据绳子的总长度等于的长即可； （2）设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置，先求出的长度，再求出的长度，进而求出的长度即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图，设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 阅读材料并回答以下问题： 材料一：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用，例如， 材料二：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，，所以． 请根据以上材料解答以下问题． （1）________，________； （2）________，________； （3）若，求的值； （4）计算：； 【答案】（1）， （2）， （3）7 （4） 【解析】 【分析】（1）直接分母有理化即可； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先把表示a的代数式分母有理化，再根据完全平方公式把其变形后代入计算； （4）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ； 【小问4详解】 解： ． 23. 已知是等腰直角三角形，，．动点P在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，，，连接． （1）如图1，点P在线段上时，①求证：； ②若，，求线段，的长及的度数； ③经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； （2）如图2，若点P在线段的延长线上，（1）中③的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）动点P在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②，，；③猜想 （2）解：（1）中③的结论仍然成立，证明如下： ∵，，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）①先得出，再根据定理即可得证； ②先求出的长，再根据求解即可；过点作于点，先求出，的长，进而可得的长，再利用勾股定理可得的长；求出，的度数即可得的度数； ③先得出，再得出，然后在中，利用勾股定理即可得； （2）仍然成立，证明：先证出，则，，再得出，然后在中，利用勾股定理即可得证； （3）分两种情况：①当在的左边时，得出的最小值为的长；②当在的右边时，过点作于点，延长至点，使得，连接，，得出的最小值为的长；由此即可得． 【小问1详解】 ①略． 解：②∵，， ∴，， ∵， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ③猜想． ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：①如图，当在的左边时， ∵，，， ∴， 解得， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为； ②如图，当在的右边时， 过点作于点，延长至点，使得，连接，， ∴， ∴， ∴， 由上可知，，即，点的运动轨迹为与垂直的所在的直线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $